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Ungleichung von Beppo Levi Die ist ein Resultat der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik Die Ungleichung g

Ungleichung von Beppo Levi

Die Ungleichung von Beppo Levi ist ein Resultat der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Ungleichung geht auf den italienischen Mathematiker Beppo Levi (1875–1961) zurück und ist eng mit dem berühmten Projektionssatz verknüpft.

Formulierung Bearbeiten

Gegeben sei ein Prä-Hilbertraum , versehen mit der aus dem zugrundeliegenden Skalarprodukt herrührenden Norm . Weiter seien ein Untervektorraum und drei Vektoren sowie gegeben. Ist nun

der Abstand von zu , so gilt:

Anmerkungen Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1990, S. 107 ff.
  2. Neumark, op. cit., S. 108–109.
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Die Ungleichung von Beppo Levi ist ein Resultat der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik Die Ungleichung geht auf den italienischen Mathematiker Beppo Levi 1875 1961 zuruck und ist eng mit dem beruhmten Projektionssatz verknupft 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Anmerkungen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenGegeben sei ein Pra Hilbertraum H displaystyle mathcal H nbsp versehen mit der aus dem zugrundeliegenden Skalarprodukt herruhrenden Norm displaystyle cdot nbsp Weiter seien ein Untervektorraum M H displaystyle mathcal M subseteq mathcal H nbsp und drei Vektoren x H displaystyle x in mathcal H nbsp sowie y1 y2 M displaystyle y 1 y 2 in mathcal M nbsp gegeben Ist nun d infy M x y displaystyle d inf y in mathcal M x y nbsp der Abstand von x displaystyle x nbsp zu M displaystyle mathcal M nbsp so gilt y1 y2 x y1 2 d2 x y2 2 d2 displaystyle y 1 y 2 leq sqrt x y 1 2 d 2 sqrt x y 2 2 d 2 nbsp Anmerkungen BearbeitenDer Beweis der Ungleichung beruht auf ahnlichen Schlussen wie die des Beweises der Cauchy Bunjakowski Schwarz Ungleichung Die Ungleichung gilt insbesondere fur jeden Hilbertraum H displaystyle mathcal H nbsp Sie liefert im Beweis des Projektionssatzes das entscheidende Argument wonach fur einen Unterhilbertraum der zugehorige Projektionsoperator stets existiert 2 Im Falle M H displaystyle mathcal M mathcal H nbsp ist d 0 displaystyle d 0 nbsp und man erhalt die Dreiecksungleichung Literatur BearbeitenMark Neumark Normierte Algebren Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt Main 1990 ISBN 3 8171 1001 4 MR1038909 Einzelnachweise Bearbeiten Mark Neumark Normierte Algebren Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt am Main 1990 S 107 ff Neumark op cit S 108 109 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ungleichung von Beppo Levi amp oldid 190487852