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Gabriels Horn auch Torricellis Trompete ist ein von Evangelista Torricelli beschriebener Körper der eine unendliche Ober

Gabriels Horn

Gabriels Horn (auch Torricellis Trompete) ist ein von Evangelista Torricelli beschriebener Körper, der eine unendliche Oberfläche, aber ein endliches Volumen besitzt. Der Name leitet sich zum einen aus der einem Blasinstrument ähnelnden Form, zum anderen aus der Tradition her, den Erzengel Gabriel als den Engel anzusehen, der das Horn bläst, um das Jüngste Gericht anzukündigen, wobei dabei die Unendlichkeit mit der Göttlichkeit assoziiert wird.

3D-Modell von Gabriels Horn

Mathematische Definition Bearbeiten

Das linke Ende von Gabriels Horn
Plot der hyperbolischen Funktion y = 1/x

Gabriels Horn ergibt sich, wenn man den Graphen der Funktion mit dem Definitionsbereich (um die Polstelle bei x = 0 zu vermeiden) um die x-Achse rotieren lässt. Volumen () und Mantelfläche () dieses Rotationskörpers berechnen sich auf folgende Weise:

Im Fall des Volumens existiert – wie bei allen Funktionen mit – das uneigentliche Integral von 1 bis , das heißt, es konvergiert gegen einen endlichen Wert, denn es ist

Um die Größe der Mantelfläche abschätzen zu können, muss die Funktion integriert werden. Eine Stammfunktion ist der natürliche Logarithmus und das Integral über den Bereich von 1 bis zu einem festen ist:

Da der natürliche Logarithmus unbeschränkt ist, gibt es keinen endlichen Grenzwert dieses Integrals für , so dass die Mantelfläche des Körpers unendlich groß ist.

Farbmenge bei Füllung und Bedeckung mit Farbe Bearbeiten

Da Gabriels Horn ein endliches Volumen besitzt, kann man es mit einer endlichen Menge Farbe füllen. Für das Bedecken einer unendlich großen Fläche benötigt man jedoch eine unendlich große Menge Farbe. Wenn man die Innenseite des Horns betrachtet, scheint für deren Bedeckung einerseits – wegen der unendlich großen Fläche – unendlich viel Farbe erforderlich zu sein. Andererseits ist die Innenseite bei der Füllung des Horns, für die nur ein endliches Volumen benötigt wird, vollständig bedeckt.

Dieser Widerspruch wird auch als Maler-Paradoxon bezeichnet. Bei diesem scheinbaren Paradoxon ist nicht berücksichtigt, dass bei einer realen Bedeckung mit Farbe die Farbschicht eine bestimmte Dicke hat. Wenn diese endlich große Dicke größer als der Radius des Horns wird, wird von der Farbe der gesamte Querschnitt des Horns ausgefüllt. Dann wird die benötigte Farbmenge nicht mehr durch die Oberfläche, sondern durch das Volumen bestimmt. Die benötigte Farbmenge kann also nicht bestimmt werden, indem die unendlich große Fläche mit einer endlich großen Dicke der Farbschicht multipliziert wird. Geht man dagegen von einer unendlichen dünnen Farbschicht ohne Volumeneigenschaft aus, kann man deren nicht existierendes Volumen auch nicht mit dem Volumen des Körpers vergleichen.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Johanna Heitzer: Spiralen, ein Kapitel phänomenaler Mathematik. Ernst Klett Schulbuchverlag, Leipzig 1998, S. 48
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Veröffentlichungsdatum:
Gabriels Horn auch Torricellis Trompete ist ein von Evangelista Torricelli beschriebener Korper der eine unendliche Oberflache aber ein endliches Volumen besitzt 1 Der Name leitet sich zum einen aus der einem Blasinstrument ahnelnden Form zum anderen aus der Tradition her den Erzengel Gabriel als den Engel anzusehen der das Horn blast um das Jungste Gericht anzukundigen wobei dabei die Unendlichkeit mit der Gottlichkeit assoziiert wird 3D Modell von Gabriels Horn Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Definition 2 Farbmenge bei Fullung und Bedeckung mit Farbe 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseMathematische Definition Bearbeiten nbsp Das linke Ende von Gabriels Horn nbsp Plot der hyperbolischen Funktion y 1 xGabriels Horn ergibt sich wenn man den Graphen der Funktion y 1 x displaystyle y tfrac 1 x nbsp mit dem Definitionsbereich x 1 displaystyle x geq 1 nbsp um die Polstelle bei x 0 zu vermeiden um die x Achse rotieren lasst Volumen V displaystyle V nbsp und Mantelflache A displaystyle A nbsp dieses Rotationskorpers berechnen sich auf folgende Weise V p 1 1 x 2 d x p displaystyle V pi int 1 infty 1 over x 2 mathrm d x pi nbsp A 2 p 1 1 x 1 1 x 4 d x gt 2 p 1 1 x d x displaystyle A 2 pi int 1 infty frac 1 x sqrt 1 frac 1 x 4 mathrm d x gt 2 pi int 1 infty frac 1 x mathrm d x infty nbsp Im Fall des Volumens existiert wie bei allen Funktionen f x x n displaystyle f x x n nbsp mit n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp das uneigentliche Integral von 1 bis displaystyle infty nbsp das heisst es konvergiert gegen einen endlichen Wert denn es ist 1 x n d x 1 1 n x 1 n 1 1 n 1 displaystyle int 1 infty x n mathrm d x left frac 1 1 n x 1 n right 1 infty frac 1 n 1 nbsp Um die Grosse der Mantelflache abschatzen zu konnen muss die Funktion f x 1 x displaystyle f x tfrac 1 x nbsp integriert werden Eine Stammfunktion ist der naturliche Logarithmus und das Integral uber den Bereich von 1 bis zu einem festen a displaystyle a nbsp ist 1 a 1 x d x ln x 1 a ln a displaystyle int 1 a frac 1 x mathrm d x left ln x right 1 a ln a nbsp Da der naturliche Logarithmus unbeschrankt ist gibt es keinen endlichen Grenzwert dieses Integrals fur a displaystyle a to infty nbsp so dass die Mantelflache des Korpers unendlich gross ist Farbmenge bei Fullung und Bedeckung mit Farbe BearbeitenDa Gabriels Horn ein endliches Volumen besitzt kann man es mit einer endlichen Menge Farbe fullen Fur das Bedecken einer unendlich grossen Flache benotigt man jedoch eine unendlich grosse Menge Farbe Wenn man die Innenseite des Horns betrachtet scheint fur deren Bedeckung einerseits wegen der unendlich grossen Flache unendlich viel Farbe erforderlich zu sein Andererseits ist die Innenseite bei der Fullung des Horns fur die nur ein endliches Volumen benotigt wird vollstandig bedeckt Dieser Widerspruch wird auch als Maler Paradoxon bezeichnet Bei diesem scheinbaren Paradoxon ist nicht berucksichtigt dass bei einer realen Bedeckung mit Farbe die Farbschicht eine bestimmte Dicke hat Wenn diese endlich grosse Dicke grosser als der Radius des Horns wird wird von der Farbe der gesamte Querschnitt des Horns ausgefullt Dann wird die benotigte Farbmenge nicht mehr durch die Oberflache sondern durch das Volumen bestimmt Die benotigte Farbmenge kann also nicht bestimmt werden indem die unendlich grosse Flache mit einer endlich grossen Dicke der Farbschicht multipliziert wird Geht man dagegen von einer unendlichen dunnen Farbschicht ohne Volumeneigenschaft aus kann man deren nicht existierendes Volumen auch nicht mit dem Volumen des Korpers vergleichen Siehe auch BearbeitenPseudosphare Zenons Paradoxien der VielheitWeblinks BearbeitenThomas Peters Gabriels Horn PDF 104 kB Torricellis Trompete auf PlanetMath englisch Eric W Weisstein Gabriel s Horn In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Johanna Heitzer Spiralen ein Kapitel phanomenaler Mathematik Ernst Klett Schulbuchverlag Leipzig 1998 S 48 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gabriels Horn amp oldid 224390590