Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lasst sich die Resonanzfrequenz f 0 displaystyle f 0 eines Schwingkreises Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreis mit der Kapazitat C und der Induktivitat L berechnen Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet f 0 1 2 p L C displaystyle f 0 frac 1 2 pi sqrt LC Oder umgeformt fur die Periodendauer Schwingungszeit T 1 f 0 2 p L C displaystyle T frac 1 f 0 2 pi sqrt LC Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 1 1 Allgemein 1 2 Nach dem Energieerhaltungssatz 2 Literatur 3 WeblinksHerleitung BearbeitenAllgemein Bearbeiten Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so gross wie der Serienwiderstand Der kapazitive Widerstand X C displaystyle X C nbsp des Kondensators und der induktive Widerstand X L displaystyle X L nbsp der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null X L X C 0 w 0 L 1 w 0 C 0 displaystyle X L X C 0 qquad Leftrightarrow qquad omega 0 L frac 1 omega 0 C 0 nbsp w 0 L 1 w 0 C displaystyle omega 0 L frac 1 omega 0 C nbsp 2 p f 0 L 1 2 p f 0 C displaystyle 2 pi f 0 L frac 1 2 pi f 0 C nbsp da gilt w 2 p f displaystyle omega 2 pi f nbsp f 0 2 1 4 p 2 L C displaystyle f 0 2 frac 1 4 pi 2 LC nbsp f 0 1 2 p L C displaystyle f 0 frac 1 2 pi sqrt LC nbsp ublich ist auch die Form w 0 1 L C displaystyle omega 0 frac 1 sqrt LC nbsp Nach dem Energieerhaltungssatz Bearbeiten Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant E m a g t E e l t E G e s a m t displaystyle E mathrm mag t E rm el t E rm Gesamt nbsp E m a g displaystyle E mathrm mag nbsp magnetische Feldenergie der SpuleE e l displaystyle E mathrm el nbsp elektrische Feldenergie des KondensatorsE G e s a m t displaystyle E mathrm Gesamt nbsp Gesamtenergie des Systems konstant Setzt man die entsprechenden Formeln ein so kommt man auf folgende Differentialgleichung 1 2 L I 2 t 1 2 C Q 2 t E G e s a m t displaystyle frac 1 2 LI 2 t frac 1 2C Q 2 t E mathrm Gesamt nbsp Aus I t d Q t d t Q t displaystyle I t frac dQ t dt dot Q t nbsp folgt 1 2 L Q 2 t 1 2 C Q 2 t E G e s a m t displaystyle frac 1 2 L dot Q 2 t frac 1 2C Q 2 t E mathrm Gesamt nbsp Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhalt L Q Q t 1 C Q Q t 0 displaystyle L dot Q ddot Q t frac 1 C Q dot Q t 0 nbsp I t L Q 1 C Q t 0 displaystyle I t left L ddot Q frac 1 C Q t right 0 nbsp L Q 1 C Q t 0 displaystyle L ddot Q frac 1 C Q t 0 nbsp da im Schwingkreis gilt I t 0 displaystyle I t neq 0 nbsp Um diese Gleichung zu losen mussen wir einen Zusammenhang zwischen Q t displaystyle Q t nbsp und Q t displaystyle ddot Q t nbsp herstellen Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Losungsansatz da sie sich auf Grund ihrer Periodizitat gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet Q t Q sin w t f displaystyle Q t hat Q cdot sin omega t varphi nbsp Q t w Q cos w t f displaystyle dot Q t omega hat Q cdot cos omega t varphi nbsp Q t w 2 Q sin w t f w 2 Q t displaystyle ddot Q t omega 2 hat Q cdot sin omega t varphi omega 2 cdot Q t nbsp Q displaystyle hat Q nbsp maximale Ladung Amplitude w displaystyle omega nbsp Kreisfrequenzf displaystyle varphi nbsp PhasenverschiebungDurch Einsetzen ergibt sich 1 C Q t w 2 L Q t 0 displaystyle frac 1 C Q t omega 2 LQ t 0 nbsp Q t 1 C w 2 L 0 displaystyle Q t left frac 1 C omega 2 L right 0 nbsp 1 C w 2 L 0 displaystyle frac 1 C omega 2 L 0 nbsp da im Schwingkreis gilt Q t 0 displaystyle Q t neq 0 nbsp Daraus folgt mit w 2 p f displaystyle omega 2 pi f nbsp 1 C 4 p 2 f 0 2 L 0 displaystyle frac 1 C 4 pi 2 f 0 2 L 0 nbsp f 0 2 1 4 p 2 L C displaystyle f 0 2 frac 1 4 pi 2 LC nbsp f 0 1 2 p L C displaystyle f 0 frac 1 2 pi sqrt LC nbsp Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur fur Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise Bei komplexeren Topologien muss ausgehend von X L X C displaystyle left vert X L right vert left vert X C right vert nbsp die Frequenz abgeleitet werden Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet die Dampfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu gross ist Bei nicht zu grosser Dampfung kann die beim Parallelschwingkreis veranderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand RL von L berechnet werden w D w 0 1 R L 2 C L displaystyle omega D omega 0 sqrt 1 R L 2 frac C L nbsp Literatur BearbeitenLothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler 12 Auflage Band 1 Vieweg Teubner 2009 ISBN 978 3 8348 0545 4 Weblinks BearbeitenElektromagnetischer Schwingkreis ungedampft LEIFI Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Thomsonsche Schwingungsgleichung amp oldid 233908383
