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Satz über die Ausbreitung der Singularitäten Unter dem englisch propagation of singularities theorem auch Satz von Duist

Satz über die Ausbreitung der Singularitäten

Unter dem Satz über die Ausbreitung der Singularitäten (englisch propagation of singularities theorem), auch Satz von Duistermaat-Hörmander, versteht man ein mathematisches Resultat aus mikrolokalen Analysis, welches die Wellenfrontmenge der distributionalen Lösung der partiellen (Pseudo-)Differentialgleichung

für einen Pseudodifferentialoperator auf einer glatten Mannigfaltigkeit charakterisiert. Es sagt, dass die Ausbreitung der Singularitäten entlang des bicharakteristischen Flusses des Hauptsymboles von folgt.

Das Theorem erschien 1972 in einem Werk über Fourier-Integraloperatoren von Johannes Jisse Duistermaat und Lars Hörmander und seither gibt es viele Verallgemeinerungen, welche unter dem Namen Ausbreitung der Singularitäten oder Propagation der Singularitäten geläufig sind.

Grundbegriffe Bearbeiten

Notation:

Phasen-Funktion Bearbeiten

Seien und offene Mengen. Eine Funktion nennt man reelle, positiv-homogene Funktion vom Grad in , falls für jedes und jedes

Falls und zusätzlich (glatt, außer wenn ), dann nennt man eine Phasen-Funktion.

Fourier-Integraloperator Bearbeiten

Sei wie oben und eine Phasen-Funktion. Wir nennen den Operator

für und einen Fourier-Integraloperator (FIO) mit Phasenfunktion und Symbol mit .

Pseudodifferentialoperator Bearbeiten

Ein Fourier-Integraloperator heißt Pseudodifferentialoperator vom Typ , falls mit Phasenfunktion und einem Symbol ist. Mit notieren wir sein Hauptsymbol.

Wellenfrontmenge Bearbeiten

Hamiltonisches System des Hauptsymbol Bearbeiten

Sei die Hamilton-Funktion, dann ist das hamiltonsche System auf gegeben durch

Eine Lösungs-Kurve des Systems nennt man Bicharakteristik von und den Fluss des hamiltonschen Vektorfeldes nennt man bicharakteristischer Fluss. Die Kurven mit nennt man Null-Bicharakteristik und die Menge bezeichnen wir mit

Theorem Bearbeiten

Sei ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator der Klasse mit reellem Hauptsymbol , welches homogen und vom Grad in ist. Sei , das die Gleichung löst, dann folgt

Des Weiteren ist invariant unter dem durch induzierten hamiltonischen Fluss.

Literatur Bearbeiten

  • Lars Hörmander: Fourier integral operators. I. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 79 - 183, doi:10.1007/BF02392052.
  • J. J. Duistermaat und L. Hörmander: Fourier integral operators. II. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 183 - 269, doi:10.1007/BF02392165.
  • Mikhail A. Shubin: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-41195-6.
  • Michael E. Taylor: Propagation, reflection, and diffraction of singularities of solutions to wave equations. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society. Band 84, Nr. 4, 1978, S. 589 -- 611 (projecteuclid.org).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. J. J. Duistermaat und L. Hörmander: Fourier integral operators. II. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 196, doi:10.1007/BF02392165.
  2. Lars Hörmander: Fourier integral operators. I. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 98, doi:10.1007/BF02392052.
  3. Mikhail A. Shubin: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-41195-6, S. 134–135.
  4. J. J. Duistermaat und L. Hörmander: Fourier integral operators. II. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 196, doi:10.1007/BF02392165.
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Unter dem Satz uber die Ausbreitung der Singularitaten englisch propagation of singularities theorem auch Satz von Duistermaat Hormander versteht man ein mathematisches Resultat aus mikrolokalen Analysis welches die Wellenfrontmenge W F u displaystyle WF u der distributionalen Losung der partiellen Pseudo Differentialgleichung P u f displaystyle Pu f fur einen Pseudodifferentialoperator P displaystyle P auf einer glatten Mannigfaltigkeit charakterisiert Es sagt dass die Ausbreitung der Singularitaten entlang des bicharakteristischen Flusses des Hauptsymboles von P displaystyle P folgt Das Theorem erschien 1972 in einem Werk uber Fourier Integraloperatoren von Johannes Jisse Duistermaat und Lars Hormander und seither gibt es viele Verallgemeinerungen welche unter dem Namen Ausbreitung der Singularitaten oder Propagation der Singularitaten gelaufig sind 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1 Phasen Funktion 1 2 Fourier Integraloperator 1 3 Pseudodifferentialoperator 1 4 Wellenfrontmenge 1 5 Hamiltonisches System des Hauptsymbol 2 Theorem 3 Literatur 4 EinzelnachweiseGrundbegriffe BearbeitenNotation X displaystyle X nbsp eine C displaystyle C infty nbsp differenzierbare Mannigfaltigkeit und C 0 X displaystyle C 0 infty X nbsp ist der Raum der glatten Funktionen u displaystyle u nbsp mit einer kompakten Menge K X displaystyle K subset X nbsp so dass u X K 0 displaystyle u mid X setminus K 0 nbsp L s d m X displaystyle L sigma delta m X nbsp ist die Klasse der Pseudodifferentialoperatoren vom Typ s d displaystyle sigma delta nbsp mit Symbol a x y 8 S s d m X X R n displaystyle a x y theta in S sigma delta m X times X times mathbb R n nbsp S s d m displaystyle S sigma delta m nbsp ist die Symbolklasse L 1 m X L 1 0 m X displaystyle L 1 m X L 1 0 m X nbsp D X C 0 X displaystyle D X C 0 infty X nbsp ist der Raum der Distributionen der Dualraum von C 0 X displaystyle C 0 infty X nbsp Phasen Funktion Bearbeiten Seien X R n X displaystyle X in mathbb R n X nbsp und Y R n Y displaystyle Y in mathbb R n Y nbsp offene Mengen Eine Funktion ϕ x y 8 X Y R N R displaystyle phi x y theta X times Y times mathbb R N to mathbb R nbsp nennt man reelle positiv homogene Funktion vom Grad k R displaystyle k in mathbb R nbsp in 8 displaystyle theta nbsp falls ϕ x y t 8 t k ϕ x y 8 displaystyle phi x y t theta t k phi x y theta nbsp fur jedes x X y Y 8 R N displaystyle x in X y in Y theta in mathbb R N nbsp und jedes t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp Falls k 1 displaystyle k 1 nbsp und zusatzlich ϕ C X Y R N 0 displaystyle phi in C infty X times Y times mathbb R N setminus 0 nbsp glatt ausser wenn 8 0 displaystyle theta 0 nbsp dann nennt man ϕ displaystyle phi nbsp eine Phasen Funktion Fourier Integraloperator Bearbeiten Sei X Y displaystyle X Y nbsp wie oben und ϕ displaystyle phi nbsp eine Phasen Funktion Wir nennen den Operator A u x e i ϕ x y 8 a x y 8 u y d y d 8 displaystyle Au x int int e i phi x y theta a x y theta u y mathrm d y mathrm d theta nbsp fur u C 0 Y displaystyle u in C 0 infty Y nbsp und x X displaystyle x in X nbsp einen Fourier Integraloperator FIO mit Phasenfunktion ϕ displaystyle phi nbsp und Symbol a x y 8 S s d m X Y R N displaystyle a x y theta in S sigma delta m X times Y times mathbb R N nbsp mit s gt 0 d lt 1 displaystyle sigma gt 0 delta lt 1 nbsp 2 Pseudodifferentialoperator Bearbeiten Hauptartikel Pseudodifferentialoperator Ein Fourier Integraloperator heisst Pseudodifferentialoperator vom Typ s d displaystyle sigma delta nbsp falls n X n y N n displaystyle n X n y N n nbsp mit Phasenfunktion ϕ x y 8 x y 8 X X R n displaystyle phi x y theta langle x y theta rangle in X times X times mathbb R n nbsp und einem Symbol a S s d m X X R n displaystyle a in S sigma delta m X times X times mathbb R n nbsp ist Mit p m x 3 displaystyle p m x xi nbsp notieren wir sein Hauptsymbol Wellenfrontmenge Bearbeiten Hauptartikel Wellenfrontmenge Hamiltonisches System des Hauptsymbol Bearbeiten Sei p m x t 3 t displaystyle p m x t xi t nbsp die Hamilton Funktion dann ist das hamiltonsche System auf T X displaystyle T X nbsp gegeben durch 3 t x p m x t 3 t x t 3 p m x t 3 t displaystyle begin cases dot xi t nabla x p m x t xi t dot x t nabla xi p m x t xi t end cases nbsp Eine Losungs Kurve des Systems nennt man Bicharakteristik von p m displaystyle p m nbsp und den Fluss des hamiltonschen Vektorfeldes nennt man bicharakteristischer Fluss Die Kurven mit p m x t 3 t 0 displaystyle p m x t xi t 0 nbsp nennt man Null Bicharakteristik und die Menge bezeichnen wir mit char p m x 3 T X 0 p m x t 3 t 0 displaystyle operatorname char p m x xi in T X setminus 0 p m x t xi t 0 nbsp 3 Theorem BearbeitenSei P displaystyle P nbsp ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator der Klasse L 1 m X displaystyle L 1 m X nbsp mit reellem Hauptsymbol p m x 3 displaystyle p m x xi nbsp welches homogen und vom Grad m displaystyle m nbsp in 3 displaystyle xi nbsp ist Sei u D X displaystyle u in D X nbsp das die Gleichung P u f displaystyle Pu f nbsp lost dann folgt W F u W F f char p m displaystyle WF u setminus WF f subset operatorname char p m nbsp Des Weiteren ist W F u W F f displaystyle WF u setminus WF f nbsp invariant unter dem durch p m displaystyle p m nbsp induzierten hamiltonischen Fluss 4 Literatur BearbeitenLars Hormander Fourier integral operators I In Institut Mittag Leffler Hrsg Acta Mathematica Band 128 1972 S 79 183 doi 10 1007 BF02392052 J J Duistermaat und L Hormander Fourier integral operators II In Institut Mittag Leffler Hrsg Acta Mathematica Band 128 1972 S 183 269 doi 10 1007 BF02392165 Mikhail A Shubin Pseudodifferential Operators and Spectral Theory Hrsg Springer Berlin Heidelberg ISBN 978 3 540 41195 6 Michael E Taylor Propagation reflection and diffraction of singularities of solutions to wave equations In American Mathematical Society Hrsg Bulletin of the American Mathematical Society Band 84 Nr 4 1978 S 589 611 projecteuclid org Einzelnachweise Bearbeiten J J Duistermaat und L Hormander Fourier integral operators II In Institut Mittag Leffler Hrsg Acta Mathematica Band 128 1972 S 196 doi 10 1007 BF02392165 Lars Hormander Fourier integral operators I In Institut Mittag Leffler Hrsg Acta Mathematica Band 128 1972 S 98 doi 10 1007 BF02392052 Mikhail A Shubin Pseudodifferential Operators and Spectral Theory Hrsg Springer Berlin Heidelberg ISBN 978 3 540 41195 6 S 134 135 J J Duistermaat und L Hormander Fourier integral operators II In Institut Mittag Leffler Hrsg Acta Mathematica Band 128 1972 S 196 doi 10 1007 BF02392165 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz uber die Ausbreitung der Singularitaten amp oldid 225666715