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Telegraphengleichung Dieser Artikel befasst sich mit der der Elektrodynamik Die speziellere für die Ausbreitung von Stro

Telegraphengleichung

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Allgemeines Bearbeiten

Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei hyperbolisch, bei elliptisch und bei parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:

Dabei ist der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also . Die Ableitung nach steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar stehen.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).

Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0 Bearbeiten

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

Der Vorfaktor hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.

Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

und

wobei (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.

Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0 Bearbeiten

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:

Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung und dem Strom in einer Doppelleitung mit Induktivität und Kapazität (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):

bzw.

wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit aus.

Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste ( wie im freien Raum).

Literatur Bearbeiten

  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel befasst sich mit der Telegraphengleichung der Elektrodynamik Die speziellere Telegraphengleichung fur die Ausbreitung von Strom und Spannung auf einer Leitung wird unter Leitungsgleichung behandelt Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2 Ordnung Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Telegraphengleichung mit a gt 0 b gt 0 c d 0 3 Telegraphengleichung mit a gt 0 b c d 0 4 Literatur 5 WeblinksAllgemeines BearbeitenDie Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung bei a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp hyperbolisch bei a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp elliptisch und bei a 0 displaystyle a 0 nbsp parabolisch und lautet in der allgemeinen Form D F a 2 F t 2 b F t c F x d F displaystyle Delta vec F a cdot frac partial 2 vec F partial t 2 b cdot frac partial vec F partial t c cdot frac partial vec F partial x d cdot vec F nbsp Dabei ist D F displaystyle Delta vec F nbsp der Laplace Operator in einer Orts Dimension also D F 2 F x 2 displaystyle Delta vec F frac partial 2 vec F partial x 2 nbsp Die Ableitung nach x displaystyle x nbsp steht hier stellvertretend fur die Ableitung nach Ortskoordinaten Statt eines Vektors kann auch ein Skalar F displaystyle F nbsp stehen In dieser Form ist sie eine Gleichung die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfalle enthalt Wellengleichung Diffusionsgleichung Helmholtz Gleichung Potentialgleichung Telegraphengleichung mit a gt 0 b gt 0 c d 0 BearbeitenDie Gleichungen sind allgemein vom Typ D F a 2 F t 2 b F t displaystyle Delta vec F a frac partial 2 vec F partial t 2 b frac partial vec F partial t nbsp Der Vorfaktor a displaystyle a nbsp hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu D E m e c 2 2 E t 2 s m 0 m E t displaystyle Delta vec E frac mu varepsilon c 2 frac partial 2 vec E partial t 2 sigma mu 0 mu frac partial vec E partial t nbsp und D H m e c 2 2 H t 2 s m 0 m H t displaystyle Delta vec H frac mu varepsilon c 2 frac partial 2 vec H partial t 2 sigma mu 0 mu frac partial vec H partial t nbsp wobei c 2 1 m 0 e 0 displaystyle c 2 frac 1 mu 0 varepsilon 0 nbsp c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum benutzt wurde Das sind Wellengleichungen fur ein verlustbehaftetes Dielektrikum Im Fall eines Isolators ist s 0 displaystyle sigma 0 nbsp und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur vektoriellen Wellengleichung Telegraphengleichung mit a gt 0 b c d 0 BearbeitenDie Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung D F a 2 F t 2 displaystyle Delta F a frac partial 2 F partial t 2 nbsp Insbesondere erhalt man die ursprunglich von Oliver Heaviside eingefuhrten Telegraphengleichungen fur die Spannung U displaystyle U nbsp und dem Strom I displaystyle I nbsp in einer Doppelleitung mit Induktivitat L displaystyle L nbsp und Kapazitat C displaystyle C nbsp Auf die Lange bezogen und im Allgemeinen ortsabhangig 2 U x 2 L C 2 U t 2 displaystyle frac partial 2 U partial x 2 L C frac partial 2 U partial t 2 nbsp bzw 2 I x 2 L C 2 I t 2 displaystyle frac partial 2 I partial x 2 L C frac partial 2 I partial t 2 nbsp wobei Leitungsverluste vernachlassigt wurden Da a L C displaystyle a L C nbsp breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit 1 L C displaystyle frac 1 sqrt L C nbsp aus Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste s 0 displaystyle sigma 0 nbsp wie im freien Raum Literatur BearbeitenAdolf J Schwab Begriffswelt der Feldtheorie Praxisnahe anschauliche Einfuhrung Elektromagnetische Felder Maxwellsche Gleichungen Gradient Rotation Divergenz Finite Elemente Finite Differenzen Ersatzladungsverfahren Boundary Element Methode Momentenmethode Monte Carlo Verfahren 6 unveranderte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2002 ISBN 3 540 42018 5 Weblinks BearbeitenTelegraphengleichung Lexikon der Physik Spektrum Verlag Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Telegraphengleichung amp oldid 208892339