Tarski Endlichkeit Der Begriff der ist ein Begriff der Mengenlehre Er geht auf Alfred Tarski und dessen Arbeit Sur les e

Tarski-Endlichkeit

Der Begriff der Tarski-Endlichkeit ist ein Begriff der Mengenlehre. Er geht auf Alfred Tarski und dessen Arbeit Sur les ensembles finis des Jahres 1924 zurück. Mit dem Begriff der Tarski-Endlichkeit ist es möglich, das Konzept der endlichen Menge zu fassen, ohne auf die natürlichen Zahlen zurückzugreifen.

Definition Bearbeiten

Eine Menge ist endlich im Sinne von Tarski oder (kurz) Tarski-endlich (engl. Tarski-finite), wenn sie der folgenden Bedingung genügt:

Anders gesagt bedeutet dies:

Damit gleichbedeutend ist die folgende Kennzeichnung:

Satz Bearbeiten

Dass der Begriff der Tarski-Endlichkeit zum üblichen Endlichkeitsbegriff hinführt, zeigt der folgende grundlegende Lehrsatz:

Beweisskizze Bearbeiten

Nimmt man eine im üblichen Sinne endliche Menge und dazu ein , so lässt sich die nicht leere Menge der aus diesem Teilmengensystem gebildeten endlichen Anzahlen bilden. Da wohlgeordnet ist, gibt es darin eine kleinste Anzahl , etwa für ein gewisses . Dieses ist dann sicher auch minimal bezüglich der Teilmengenrelation auf .

Ist dagegen eine Menge, welche nicht endlich im üblichen Sinne ist, so lässt sich dazu das Teilmengensystem aller bilden, welche diese Eigenschaft haben, also nicht endlich im üblichen Sinne sind. ist nicht leer, denn es gilt in jedem Falle .

Zudem lässt sich jedes um mindestens ein Element reduzieren, denn ein solches ist nicht die leere Menge, enthält somit mindestens ein . Bei Wegnahme dieses Elements ist die Restmenge immer noch eine im üblichen Sinne nicht endliche Menge; denn wäre die Restmenge im üblichen Sinne endlich, so wäre dies auch selbst, da durch Hinzunahme des Elements aus der Restmenge bildbar ist. Folglich kann kein bezüglich der Teilmengenrelation auf minimal sein.

Weitere Ansätze zum Endlichkeitsbegriff Bearbeiten

Auf den Mathematiker Paul Stäckel geht ein dem tarskischen verwandter Ansatz zur Fassung eines Endlichkeitsbegriffs von Mengen zurück, welcher ebenfalls auf Ordnungskonzepten beruht. Diesem Ansatz liegt die folgende Endlichkeitsdefinition zugrunde:

Stäckels Endlichkeitsbegriff lässt sich auch beschreiben wie folgt:

Auch beim stäckelschen Endlichkeitsbegriff gilt:

Neben dem tarskischen und dem stäckelschen Ansatz zur Fassung des Begriffs der endlichen Menge gibt es noch eine Anzahl anderer Ansätze. Mathematikgeschichtlich herausragend ist der Begriff der endlichen Menge im Sinne von Dedekind (Dedekind-Endlichkeit). Anders als (etwa) beim tarskischen Endlichkeitsbegriff wird zum Beweis, dass Dedekind-Endlichkeit und Endlichkeit im üblichen Sinne zusammenfallen, das Auswahlaxiom benötigt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1978, ISBN 3-411-01538-1 (MR0516505).
Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium edition, revised and expanded (= Springer Monographs in Mathematics). Springer Verlag, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2 (MR1940513).
Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1989, ISBN 3-411-03194-8 (MR1116324).
Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1958 (MR0095787).
Paul Stäckel: Zu H. Webers Elementarer Mengenlehre. In: Jahresber. DMV. Band 16, 1907, S. 425–428 (digizeitschriften.de [PDF]).
Alfred Tarski: Sur les ensembles finis. In: Fund. Math. Band 6, 1924, S. 45–95 (matwbn.icm.edu.pl [PDF]).

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

Tarski: Fundamenta Mathematicae. Band 6, S. 45 ff.
Sierpiński: S. 50 ff.
Felscher: S. 180 ff.
Jech: S. 14.
Lüneburg: S. 52–54.
Felscher: S. 181.
Felscher: S. 181.
Sierpiński: S. 50.
Jech: S. 14.
Felscher: S. 175.
Felscher: S. 175–177.
Felscher: S. 175–185.
Sierpiński: S. 50.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 17:53 pm

Der Begriff der Tarski Endlichkeit ist ein Begriff der Mengenlehre Er geht auf Alfred Tarski und dessen Arbeit Sur les ensembles finis des Jahres 1924 zuruck Mit dem Begriff der Tarski Endlichkeit ist es moglich das Konzept der endlichen Menge zu fassen ohne auf die naturlichen Zahlen zuruckzugreifen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Satz 2 1 Beweisskizze 3 Weitere Ansatze zum Endlichkeitsbegriff 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Einzelnachweise und FussnotenDefinition BearbeitenEine Menge M displaystyle M nbsp ist endlich im Sinne von Tarski oder kurz Tarski endlich engl Tarski finite wenn sie der folgenden Bedingung genugt 1 2 3 4 5 Jedes nicht leere Teilmengensystem T P M displaystyle mathcal T subseteq mathcal P M nbsp enthalt ein T T displaystyle T in mathcal T nbsp mit der Eigenschaft dass fur keine echte Teilmenge S T displaystyle S subsetneqq T nbsp die Elementrelation S T displaystyle S in mathcal T nbsp erfullt ist Anders gesagt bedeutet dies Eine Menge ist genau dann Tarski endlich 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wenn auf ihr eine Totalordnung existiert so dass jede nicht leere Teilmenge bezuglich dieser Totalordnung ein kleinstes Element und ein grosstes Element enthalt Stackels Endlichkeitsbegriff lasst sich auch beschreiben wie folgt 10 Eine Menge ist endlich im Sinne von Stackel genau dann wenn auf ihr eine Totalordnung existiert so dass sowohl diese als auch die zugehorige duale Ordnungsrelation Wohlordnungen sind Auch beim stackelschen Endlichkeitsbegriff gilt 11 Eine Menge ist endlich im Sinne von Stackel genau dann wenn sie endlich im ublichen Sinne ist Neben dem tarskischen und dem stackelschen Ansatz zur Fassung des Begriffs der endlichen Menge gibt es noch eine Anzahl anderer Ansatze 12 Mathematikgeschichtlich herausragend ist der Begriff der endlichen Menge im Sinne von Dedekind Dedekind Endlichkeit Anders als etwa beim tarskischen Endlichkeitsbegriff wird zum Beweis dass Dedekind Endlichkeit und Endlichkeit im ublichen Sinne zusammenfallen das Auswahlaxiom benotigt 13 Siehe auch BearbeitenEndliche Menge Unendliche Menge UnendlichkeitLiteratur BearbeitenWalter Felscher Naive Mengen und abstrakte Zahlen BI Wissenschaftsverlag Mannheim u a 1978 ISBN 3 411 01538 1 MR0516505 Thomas Jech Set Theory The Third Millennium edition revised and expanded Springer Monographs in Mathematics Springer Verlag Berlin u a 2003 ISBN 3 540 44085 2 MR1940513 Heinz Luneburg Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics BI Wissenschaftsverlag Mannheim u a 1989 ISBN 3 411 03194 8 MR1116324 Waclaw Sierpinski Cardinal and Ordinal Numbers Panstwowe Wydawnictwo Naukowe Warszawa 1958 MR0095787 Paul Stackel Zu H Webers Elementarer Mengenlehre In Jahresber DMV Band 16 1907 S 425 428 digizeitschriften de PDF Alfred Tarski Sur les ensembles finis In Fund Math Band 6 1924 S 45 95 matwbn icm edu pl PDF Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten Tarski Fundamenta Mathematicae Band 6 S 45 ff Sierpinski S 50 ff Felscher S 180 ff Jech S 14 Luneburg S 52 54 Felscher S 181 Felscher S 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