In der universellen Algebra ergibt sich das Problem, dass nicht alle (universellen) Algebren als direktes Produkt direkt irreduzibler Algebren dargestellt werden können. Als Lösung bietet sich das sogenannte subdirekte Produkt an, eine bestimmte Art einer Unteralgebra eines direkten Produktes. Der erste Darstellungssatz von Garrett Birkhoff besagt dann, dass sich jede Algebra als subdirektes Produkt subdirekt irreduzibler Algebren schreiben lässt.
Definition Bearbeiten
Es seien Algebren vom selben Typ, das heißt von derselben algebraischen Struktur, und eine Indexfamilie. Eine Unteralgebra heißt subdirektes Produkt der , falls gilt für alle , wobei die kanonische Projektion bezeichnet.
Subdirekte Irreduzibilität Bearbeiten
Eine Einbettung heißt subdirekte Darstellung von , falls subdirektes Produkt der ist.
heißt subdirekt irreduzibel, falls für jede subdirekte Darstellung ein so existiert, dass ein Isomorphismus ist.
Motivation Bearbeiten
Dass eine Algebra im Normalfall nicht als direktes Produkt direkt irreduzibler Algebren dargestellt werden kann, zeigt folgendes Beispiel: Eine boolesche Algebra ist genau dann direkt oder subdirekt irreduzibel, wenn gilt. Eine abzählbar unendliche boolesche Algebra ist gegeben durch mit Trägermenge . Diese kann unmöglich direktes Produkt zweielementiger Algebren sein, da ein solches Produkt entweder endlich oder überabzählbar ist.
Darstellungssatz von Birkhoff Bearbeiten
Jede Algebra ist isomorph zu einem subdirekten Produkt subdirekt irreduzibler Algebren desselben Typs. Die Darstellung als subdirektes Produkt ist nicht eindeutig.
Beispiel Bearbeiten
Oben erwähnte boolesche Algebra hat beispielsweise folgende subdirekte Darstellung:
mit
Literatur Bearbeiten
- Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 10. Heldermann Verlag, 2003 Lemgo