Die Split Operator Methode SOP ist ein numerisches Verfahren mit dem die zeitabhangige Schrodingergleichung gelost werden kann Bei der Methode wird der Hamiltonoperator H displaystyle hat H in einen kinetischen Teil T displaystyle hat T Impulsteil und in einen Potentialteil V displaystyle hat V gespalten und einzeln angewendet Dabei wird von der schnellen Fourier Transformation FFT Gebrauch gemacht um zwischen Impulsraum und Ortsraum zu wechseln Inhaltsverzeichnis 1 Die Schrodingergleichung 2 Anwendung der diskreten Fourier Transformation 3 Split Operator Methode 4 Diagonalform 5 Numerischer Algorithmus 6 LiteraturDie Schrodingergleichung Bearbeiten nbsp Die Wellenfunktion ps x displaystyle psi x nbsp auf einem aquidistanten Gitter dargestellt Ortsraum nbsp Die Wellenfunktion ps k displaystyle psi k nbsp auf einem aquidistanten Gitter dargestellt Impulsraum Die zeitabhangige Schrodingergleichung ist definiert als i ℏ ps x t t H t ps x t displaystyle i hbar frac partial psi x t partial t hat H t psi x t nbsp wobei H t ℏ 2 2 m D V t displaystyle textstyle hat H t frac hbar 2 2m Delta V t nbsp der Hamiltonoperator ist Die Wellenfunktion ps x t displaystyle psi x t nbsp wird im Ortsraum auf einem aquidistanten Gitter dargestellt Als Startwerte werden die Werte von ps x t 0 displaystyle psi x t 0 nbsp zur Zeit t 0 displaystyle t 0 nbsp an den Gitterpunkten vorgegeben Durch das Verfahren wird die Wellenfunktion zu einem spateren Zeitpunkt t t 0 D t displaystyle t t 0 Delta t nbsp berechnet Die Wirkung des Hamiltonoperators H t p 2 2 m V t displaystyle textstyle hat H t frac hat mathbf p 2 2m hat V t nbsp auf eine Wellenfunktion H ps T ps V ps displaystyle hat H psi hat T psi hat V psi nbsp wird mit der schnellen Fourier Transformation berechnet Dazu wird neben dem Gitter im Ortsraum auch ein Gitter im Impulsraum benotigt Die Auflosung im Impulsraum D k 2 p L displaystyle Delta k tfrac 2 pi L nbsp ist durch die Lange L displaystyle L nbsp des Gitters im Ortsraum festgelegt Es gilt D k D x 2 p N displaystyle Delta k Delta x tfrac 2 pi N nbsp wobei N displaystyle N nbsp die Anzahl der Gitterpunkte ist Anwendung der diskreten Fourier Transformation BearbeitenDer Potentialoperator V displaystyle hat V nbsp besitzt im Ortsraum eine diagonale Matrixdarstellung und wirkt daher lokal auf jeden Gitterpunkt x i displaystyle x i nbsp V t ps x i V x i t ps x i displaystyle left hat V t psi right x i V x i t cdot psi x i nbsp Genauso wird der kinetische Operator T displaystyle hat T nbsp mit seiner diagonalen Darstellung im Impulsraum berechnet Fur jeden Gitterpunkt k i displaystyle k i nbsp gilt T ps k i ℏ 2 2 m k i 2 ps k i displaystyle left hat T tilde psi right k i frac hbar 2 2m k i 2 tilde psi k i nbsp Dabei ist die diskrete Darstellung der Wellenfunktion ps k i displaystyle tilde psi k i nbsp im Impulsraum durch die diskrete Fourier Transformation Z displaystyle hat Z dagger nbsp gegeben ps k i k i ps x j k i x j x j ps D x 2 p x j e i k i x j ps x j displaystyle tilde psi k i langle k i psi rangle sum x j langle k i x j rangle langle x j psi rangle frac Delta x sqrt 2 pi sum x j e ik i x j psi x j nbsp In Vektorschreibweise lautet diese Gleichung ps c 1 Z ps displaystyle vec tilde psi c 1 hat Z dagger vec psi nbsp mit ps ps k 0 ps k N 1 T displaystyle vec tilde psi tilde psi k 0 dotsm tilde psi k N 1 T nbsp ps ps x 0 ps x N 1 T displaystyle vec psi psi x 0 dotsm psi x N 1 T nbsp Z i j N 1 2 e i k i x j displaystyle Z ij N frac 1 2 e ik i x j nbsp c 2 p N L displaystyle c tfrac sqrt 2 pi N L nbsp Entsprechend erhalt man fur die Rucktransformation in den Ortsraum ps x j D k 2 p k i e i k i x j ps k i displaystyle psi x j frac Delta k sqrt 2 pi sum k i e ik i x j tilde psi k i nbsp beziehungsweise ps c Z ps displaystyle vec psi c hat Z vec tilde psi nbsp mit den Gitterschrittweiten D x L N displaystyle Delta x tfrac L N nbsp bzw D k 2 p L displaystyle Delta k tfrac 2 pi L nbsp Hierbei ist L displaystyle L nbsp die Lange des Gitters im Ortsraum und N displaystyle N nbsp die Zahl der Punkte im Orts und Impulsraum Die Konstante c displaystyle c nbsp wird nur benotigt wenn die richtige Normierung der Funktion ps displaystyle tilde psi nbsp gewunscht wird Die Fourier Transformation erhalt die Norm der Vektoren ps displaystyle vec tilde psi nbsp und ps displaystyle vec psi nbsp Split Operator Methode BearbeitenDie Berechnung der e displaystyle e nbsp Funktion eines Operators wird in der Diagonaldarstellung des Operators besonders einfach Die Split Operator Methode verwendet eine Zerlegung des Hamiltonoperators in die Operatoren fur kinetische Energie T displaystyle hat T nbsp und fur potentielle Energie V displaystyle hat V nbsp welche im Impuls bzw Ortsraum Diagonalform annehmen Der durch die Nicht Vertauschbarkeit von T displaystyle hat T nbsp und V displaystyle hat V nbsp entstehende Fehler kann durch die symmetrische Aufspaltung e i ℏ H D t e i ℏ T 2 D t e i ℏ V D t e i ℏ T 2 D t displaystyle e frac i hbar hat H Delta t approx e frac i hbar frac hat T 2 Delta t cdot e frac i hbar hat V Delta t cdot e frac i hbar frac hat T 2 Delta t nbsp auf Terme der Grossenordnung D t 3 displaystyle Delta t 3 nbsp reduziert werden Mit X i ℏ T D t displaystyle hat X tfrac i hbar hat T Delta t nbsp und Y i ℏ V D t displaystyle hat Y tfrac i hbar hat V Delta t nbsp erhalt man fur die rechte Seite exp X 2 exp Y exp X 2 exp X 2 Y X 2 1 2 X 2 Y 1 2 Y X 2 0 1 12 X 2 Y X 2 Y displaystyle exp left frac hat X 2 right exp left hat Y right exp left frac hat X 2 right exp left frac hat X 2 hat Y frac hat X 2 underbrace frac 1 2 left frac hat X 2 hat Y right frac 1 2 left hat Y frac hat X 2 right 0 frac 1 12 left left frac hat X 2 hat Y right hat X 2 hat Y right dotsm right nbsp Der fuhrende Fehlerterm ist somit proportional zu D t 3 T V T 2 V displaystyle Delta t 3 left left hat T hat V right hat T 2 hat V right nbsp Diagonalform BearbeitenEine Koordinatentransformation Z displaystyle hat Z dagger nbsp vom Orts in den Impulsraum ermoglicht eine einfache Berechnung von e i ℏ T 2 D t ps Z e i ℏ T 2 D t Z ps displaystyle e frac i hbar frac hat T 2 Delta t psi hat Z e frac i hbar frac hat T 2 Delta t hat Z dagger psi nbsp Mit der diagonalen Darstellung des Operators der kinetischen Energie T Z T Z ℏ 2 2 m k 0 2 0 0 0 0 0 0 0 ℏ 2 2 m k N 1 2 displaystyle hat T hat Z dagger hat T hat Z begin pmatrix frac hbar 2 2m k 0 2 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp ddots amp 0 amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp frac hbar 2 2m k N 1 2 end pmatrix nbsp erhalt man e i ℏ T 2 D t 0 0 0 e i ℏ D t 2 ℏ 2 2 m k i 2 0 0 0 0 displaystyle e frac i hbar frac hat T 2 Delta t begin pmatrix ddots amp 0 amp cdots amp 0 0 amp e frac i hbar frac Delta t 2 frac hbar 2 2m k i 2 amp 0 amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp ddots end pmatrix nbsp Die Koordinatentransformation erfolgt auf dem N displaystyle N nbsp Punkt Gitter x 0 x N 1 displaystyle x 0 dotsm x N 1 nbsp mit Hilfe der diskreten Fourier Transformation ps k i N 1 2 j 0 N 1 ps x j e i k i x j displaystyle tilde psi k i N frac 1 2 sum j 0 N 1 psi x j e ik i x j nbsp fur i 0 N 1 displaystyle i 0 dotsm N 1 nbsp oder ps Z ps displaystyle vec tilde psi hat Z dagger vec psi nbsp Numerischer Algorithmus BearbeitenSiehe auch Algorithmus Durch Zusammenfassen der aufeinanderfolgenden Terme Z e i ℏ T 2 D t Z displaystyle hat Z e frac i hbar frac hat T 2 Delta t hat Z dagger nbsp zweier Zeitschritte lasst sich die Zahl der Fourier Transformationen d h der numerische Aufwand reduzieren Z Z 1 displaystyle hat Z dagger hat Z 1 nbsp und die beiden e displaystyle e nbsp Funktionen mit T 2 displaystyle frac hat T 2 nbsp ergeben e i ℏ T D t displaystyle e frac i hbar hat T Delta t nbsp Die Wellenfunktion nach n displaystyle n nbsp Zeitschritten erhalt man also durch Fourier Transformation von ps 0 displaystyle psi 0 nbsp Multiplikation mit den Diagonalelementen e i ℏ D t 2 ℏ 2 2 m k i 2 displaystyle e frac i hbar frac Delta t 2 frac hbar 2 2m k i 2 nbsp halber Zeitschritt Rucktransformation Multiplikation mit den Diagonalelementen e i ℏ V i D t displaystyle e frac i hbar V i Delta t nbsp Fourier Transformation Multiplikation mit den Diagonalelementen e i ℏ D t ℏ 2 2 m k i 2 displaystyle e frac i hbar Delta t frac hbar 2 2m k i 2 nbsp ganzer Zeitschritt usw bis beim letzten Schritt noch einmal eine Multiplikation mit halben Zeitschritt wie in der zweiten Zeile notwendig wird Literatur BearbeitenI N Bronstein K A Semendjajew G Musiol H Muehlig Taschenbuch der Mathematik Deutsch Harri GmbH 2008 T Fliessbach Quantenmechanik Lehrbuch zur Theoretischen Physik III 5 Auflage Spektrum Akademischer Verlag 2008 ISBN 978 3 8274 2020 6 Herbert Sager Fourier Transformation vdf Hochschulverlag Zurich 2012 ISBN 978 3 7281 3393 9 A Askar A S Cakmak Explicit integration method for the time dependent Schrodinger equation for collision problems In Journal of Chemical Physics Band 68 Nr 6 1978 S 2794 2798 doi 10 1063 1 436072 J B Delos Theory of Electronic Transitions in Slow Atomic Collisions In Physical Review Band 176 Nr 1 1968 S 141 150 doi 10 1103 PhysRev 176 141 Juha Javanainen Janne Ruostekoski Symbolic calculation in development of algorithms split step methods for the Gross Pitaevskii equation In Journal of Physics A Band 39 2006 S L179 L184 doi 10 1088 0305 4470 39 12 L0 Michael Hintenender Propagation von Wellenpaketen In MPQ Berichte MPQ163 Garching 1992 online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Split Operator Methode amp oldid 228588554
