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Sequentielles Gleichgewicht Das sequentielle Gleichgewicht kurz SG ist ein spieltheoretisches Lösungskonzept für dynamis

Sequentielles Gleichgewicht

Das sequentielle Gleichgewicht (kurz: SG) ist ein spieltheoretisches Lösungskonzept für dynamische Spiele mit unvollständiger und/oder unvollkommener Information.

Das Konzept des sequentiellen Gleichgewichts, welches von Kreps und Wilson (1982) eingeführt wurde, ist eine Verfeinerung des teilspielperfekten Gleichgewichts. Zum Ausdruck kommt diese Verfeinerung durch das Belief-System und die Forderung nach der sequentiellen Rationalität sowie der Konsistenz insbesondere in dynamischen Spielen mit unvollständiger und/oder unvollkommener (imperfekter) Information.

Entwicklung Bearbeiten

Bei dem Teilspielperfektheitskonzept müssen die Gleichgewichtsstrategien an jedem Entscheidungsknoten optimal sein. Die Voraussetzung dafür ist, dass die Spieler vollkommene Information besitzen, d. h. sie müssen über den bisherigen Spielverlauf informiert sein und damit in der Lage sein, zu wissen, an welchem Knoten sie sich befinden.

In Spielen mit unvollständiger und/oder unvollkommener Information schließt das Konzept der Teilspielperfektheit jedoch nicht alle unplausiblen Nash-Gleichgewichte aus, da in solchen Situationen häufig kein echtes Teilspiel existiert. In einem solchen Spiel entspricht das teilspielperfekte Gleichgewicht dem Nash-Gleichgewicht, und dann hilft die Teilspielperfektheit nicht weiter.

Um diese Schwächen der Teilspielperfektheit zu vermeiden, wurde das Konzept 'sequentielles Gleichgewicht' entwickelt. Es erfordert, dass die Gleichgewichtsstrategien jeder Informationsmenge optimal sein müssen, unter der Voraussetzung, dass das Belief-System konsistent ist. (Mit dem Belief-System werden für jede Informationsmenge die Beliefs bestimmt, die die Spieler, die bei dieser Informationsmenge zum Zug kommen, über den bisherigen Spiellauf haben.)

Darstellung des sequentiellen Gleichgewichts Bearbeiten

mit

  • : Strategiekombination
  • : Wahrscheinlichkeitseinschätzung (Belief)

Formale Definitionen Bearbeiten

Die Einschätzung , die sowohl konsistent als auch sequentiell rational ist.

Sequentielle Rationalität Bearbeiten

Eine Einschätzung ist sequentiell rational, wenn die von einem Spieler 𝑖 gewählten Strategien an jeder Informationsmenge optimal sind angesichts der Einschätzungen und der Fortsetzungsstrategien der anderen Spieler.

Anders formuliert: In einem endlichen extensiven Spiel mit vollkommener Erinnerung (perfect recall) ist eine Einschätzung sequentiell rational, wenn für jeden Spieler und an jeder seiner Informationsmengen gilt:

Konsistenz Bearbeiten

Eine Kombination ist konsistent, wenn eine Folge existiert, die gegen die Einschätzung konvergiert und die Eigenschaften hat, dass jedes strategische Profil vollständig gemischt ist sowie jedes Beliefs-System aus aus der bayesschen Regel abgeleitet ist, so dass gilt:

Bemerkung Bearbeiten

Das Konzept des sequentiellen Gleichgewichts begrenzt Beliefs über Informationsmengen, die nicht im Gleichgewicht erreicht werden, durch die Einführung der Konsistenzforderung.

Hinter dieser Forderung steht folgende Intuition:

Sätze Bearbeiten

  1. Für jedes endliche extensive Spiel existiert mindestens ein sequentielles Gleichgewicht.
  2. Wenn ein sequentielles Gleichgewicht ist, dann ist s ein teilspielperfektes Gleichgewicht.
  3. wenn ein sequentielles Gleichgewicht ist, dann ist erweitert teilspielperfekt.

Beispiel und Lösungsweg Bearbeiten

Eine Einschätzung wird dargestellt wie folgt:

mit

Beispiel für sequentielles Gleichgewicht
Spiel in Matrixform; Auszahlungen und Nash-Gleichgewichte

In diesem Beispiel gibt es zwei Typen der sequentiellen Gleichgewichte.

Erster Typ: Sequentielles Gleichgewicht, falls die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird, d. h.

Die Strategie R ist von L und M strikt dominiert, so dass

Die bayessche Regel ist anwendbar, denn die Informationsmenge von Spieler 2 liegt auf dem Gleichgewichtspfad:

Mit den Beliefs wird Spieler 2 rational l wählen, da die Strategie l eine höhere Auszahlung ergibt:

Daraus folgt:

Die Einschätzung ist sequentiell rational wiederum dann und nur dann, wenn

Fazit

  ist ein sequentielles Gleichgewicht in einem Fall, in dem die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird.

Bemerkung

In diesem Fall ist das Lösungsverfahren identisch mit dem des perfekt bayesschen Gleichgewichts.

Zweiter Typ: Sequentielles Gleichgewicht, falls die Informationsmenge von Spieler 2 nicht erreicht wird, d. h:

Die Strategie bildet einen Teil der sequentiell rationalen Einschätzung dann und nur dann, wenn Spieler 2 r mit einer hohen Wahrscheinlichkeit spielt, z. B.

Ansonsten wird Spieler 1 von der Strategie L abweichen und die Anforderung der sequentiellen Rationalität nicht erfüllt.

(Beim sequentiellen Gleichgewicht wird angenommen, dass die Strategie auf dem Nicht-Gleichgewichtspfad im Spiel vorkommen kann. Daher braucht Spieler 2 die Beliefs über seine Informationsmenge, falls er zum Zug käme.)

Um     sequentiell rational zu sein, muss für die Beliefs gelten:

Um zu überprüfen, ob die Einschätzung mit den Strategien und Beliefs konsistent ist, wird betrachtet:

Mit    zeigt dies, dass die Einschätzung konsistent ist.

Fazit

ist ein sequentielles Gleichgewicht mit   , falls die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird.

Bemerkung

(1) Bemerkung für als sequentiell rationale Strategie von Spieler 2 gegeben      und   

(2) Bemerkung für den speziellen Fall   

Graphische Darstellung der Menge aller Gleichgewichte

Abgrenzung des sequentiellen Gleichgewichts vom perfekt bayesschen Gleichgewicht Bearbeiten

Die beiden Konzepte sind eine Verfeinerung des teilspielperfekten Gleichgewichts. Sie haben die Gemeinsamkeit, dass die Strategien gegeben den Belief sequentiell rational sein müssen. Die zwei Konzepte unterscheiden sich jedoch in folgendem Punkt:

Die Anforderung 4 des perfekt bayesschen Gleichgewichts lautet,

Dieser Anforderung 4 folgend werden im perfekt bayesschen Gleichgewicht die Beliefs durch die bayessche Regel definiert, wann immer möglich ist, während im sequentiellen Gleichgewicht die bayessche Regel durch Konsistenz des Beliefs für alle Pfade im Spiel ihre Anwendung findet (für die Strategien sowohl auf dem Gleichgewichtspfad als auch auf dem Nicht-Gleichgewichtspfad). Konsistenz im Sinne von Kreps und Wilson (1982) ist, dass die Beliefs der Grenzwert der Beliefs sind, die mit einer Folge von vollständig gemischten Strategien verbunden sind, welche gegen s konvergieren.

Da die Anwendung des Konzepts des sequentiellen Gleichgewichts sehr kompliziert ist, wird in der Spieltheorie oft das perfekt bayessche Gleichgewicht als Lösungskonzept für die Spiele mit unvollständiger Information verwendet.

Kritik Bearbeiten

Im Beispiel ist der zweite Typ des sequentiellen Gleichgewichts jedoch nicht plausibel:

Die Einschätzung   ist ein sequentielles Gleichgewicht, dann und nur dann wenn . Dies impliziert, dass es gilt:

Aber da für den Spieler 1 die Strategie R von M und L strikt dominiert ist, wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird und somit Spieler 2 zum Zug kommen würde, ist für Spieler 2 zumutbar zu schätzen, dass die Spieler 1 rational eher M gewählt hat. Also ist   in der Realität nicht vernünftig; somit sind die sequentiellen Gleichgewichte des zweiten Typs nicht plausibel.

Fazit: Das sequentielle Gleichgewicht schließt nicht alle unplausiblen Gleichgewichte aus.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Martin J. Osborne, Ariel Rubinstein: A Course in Game Theory. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts 1994, ISBN 0-262-15041-7.
  • Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie. Springer, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-69372-7.
  • Jurgen Eichberger: Game theory for economists. Emerald Group Publishing Limited, 1993, ISBN 3-540-69372-6.
  • Robert Gibbons: A Primer in Game Theory. Financial Times, Harlow 1992, ISBN 0-7450-1159-4.
  • Siegfried K Berninghaus, Karl-Martin Ehrhart: Strategische Spiele: Eine Einführung in die Spieltheorie. Springer, Berlin Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-11650-6.
  • David M Kreps, Robert Wilson: Sequential Equilibria. In: Econometrica. Econometric Society, Jul. 1982:50(4):863-94.(http://www.jstor.org/pss/1912767).
  • Julio Gonzáles-Díaz, Miguel A. Meléndez-Jiménez: On the Notion of Perfect Bayesian Equilibrium. In: TOP. Springer, Berlin / Heidelberg Nov. 2011:19. ISSN 1863-8279 (Online)
  • Drew Fudenberg, Jean Tirole: Perfect Bayesian equilibrium and sequential equilibrium. In: Journal of Economic Theory. Elsevier, Apr. 1991:53(2):236-260.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Martin J. Osborne, Ariel Rubinstein: A Course in Game Theory. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts 1994, ISBN 978-0-262-15041-5, S. 220.
  2. Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie. Springer, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-69372-7, S. 116.
  3. David M Kreps, Robert Wilson: Sequential Equilibria. In: Econometrica. Econometric Society, Jul. 1982:50(4):863-94.(http://www.jstor.org/pss/1912767). S. 876.
  4. David M Kreps, Robert Wilson: Sequential Equilibria. In: Econometrica. Econometric Society, Jul. 1982:50(4):863-94.(http://www.jstor.org/pss/1912767). S. 876
  5. David M Kreps, Robert Wilson: Sequential Equilibria. In: Econometrica. Econometric Society, Jul. 1982:50(4):863-94.(http://www.jstor.org/pss/1912767). S. 877
  6. Robert Gibbons: A Primer in Game Theory. Financial Times, Harlow 1992, ISBN 978-0-7450-1159-2, S. 180.
  7. Julio Gonzáles-Díaz, Miguel A. Meléndez-Jiménez: On the Notion of Perfect Bayesian Equilibrium. In: TOP. Springer, Berlin / Heidelberg Nov. 2011:19. ISSN 1863-8279 (Online) S. 5
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Das sequentielle Gleichgewicht kurz SG ist ein spieltheoretisches Losungskonzept fur dynamische Spiele mit unvollstandiger und oder unvollkommener Information Das Konzept des sequentiellen Gleichgewichts welches von Kreps und Wilson 1982 eingefuhrt wurde ist eine Verfeinerung des teilspielperfekten Gleichgewichts Zum Ausdruck kommt diese Verfeinerung durch das Belief System und die Forderung nach der sequentiellen Rationalitat sowie der Konsistenz insbesondere in dynamischen Spielen mit unvollstandiger und oder unvollkommener imperfekter Information Inhaltsverzeichnis 1 Entwicklung 2 Darstellung des sequentiellen Gleichgewichts 3 Formale Definitionen 3 1 Sequentielle Rationalitat 3 2 Konsistenz 4 Bemerkung 5 Satze 6 Beispiel und Losungsweg 7 Abgrenzung des sequentiellen Gleichgewichts vom perfekt bayesschen Gleichgewicht 8 Kritik 9 Siehe auch 10 Literatur 11 EinzelnachweiseEntwicklung BearbeitenBei dem Teilspielperfektheitskonzept mussen die Gleichgewichtsstrategien an jedem Entscheidungsknoten optimal sein Die Voraussetzung dafur ist dass die Spieler vollkommene Information besitzen d h sie mussen uber den bisherigen Spielverlauf informiert sein und damit in der Lage sein zu wissen an welchem Knoten sie sich befinden In Spielen mit unvollstandiger und oder unvollkommener Information schliesst das Konzept der Teilspielperfektheit jedoch nicht alle unplausiblen Nash Gleichgewichte aus da in solchen Situationen haufig kein echtes Teilspiel existiert In einem solchen Spiel entspricht das teilspielperfekte Gleichgewicht dem Nash Gleichgewicht und dann hilft die Teilspielperfektheit nicht weiter Um diese Schwachen der Teilspielperfektheit zu vermeiden wurde das Konzept sequentielles Gleichgewicht entwickelt Es erfordert dass die Gleichgewichtsstrategien jeder Informationsmenge optimal sein mussen unter der Voraussetzung dass das Belief System konsistent ist Mit dem Belief System werden fur jede Informationsmenge die Beliefs bestimmt die die Spieler die bei dieser Informationsmenge zum Zug kommen uber den bisherigen Spiellauf haben 1 Darstellung des sequentiellen Gleichgewichts Bearbeiten s m displaystyle s mu nbsp mit s displaystyle textstyle s nbsp Strategiekombination m displaystyle textstyle mu nbsp Wahrscheinlichkeitseinschatzung Belief Formale Definitionen BearbeitenDie Einschatzung s m displaystyle textstyle s mu nbsp die sowohl konsistent als auch sequentiell rational ist Sequentielle Rationalitat Bearbeiten Eine Einschatzung s m displaystyle textstyle s mu nbsp ist sequentiell rational wenn die von einem Spieler 𝑖 gewahlten Strategien an jeder Informationsmenge I i displaystyle textstyle I i nbsp optimal sind angesichts der Einschatzungen und der Fortsetzungsstrategien der anderen Spieler Anders formuliert In einem endlichen extensiven Spiel mit vollkommener Erinnerung perfect recall ist eine Einschatzung s m displaystyle textstyle s mu nbsp sequentiell rational wenn fur jeden Spieler i N displaystyle i in N nbsp und an jeder seiner Informationsmengen I i i i displaystyle I i in iota i nbsp gilt u i s m I i u i s i s i m I i displaystyle u i s mu I i gtrsim u i s i s i mu I i nbsp Konsistenz Bearbeiten Eine Kombination s m displaystyle textstyle s mu nbsp ist konsistent wenn eine Folge s e m e displaystyle textstyle s varepsilon mu varepsilon nbsp existiert die gegen die Einschatzung s m displaystyle textstyle s mu nbsp konvergiert und die Eigenschaften hat dass jedes strategische Profil s e displaystyle textstyle s varepsilon nbsp vollstandig gemischt ist sowie jedes Beliefs System m e displaystyle textstyle mu varepsilon nbsp aus s e displaystyle textstyle s varepsilon nbsp aus der bayesschen Regel abgeleitet ist so dass gilt lim e 0 s e m e s m displaystyle lim varepsilon to 0 s varepsilon mu varepsilon s mu nbsp Bemerkung BearbeitenDas Konzept des sequentiellen Gleichgewichts begrenzt Beliefs uber Informationsmengen die nicht im Gleichgewicht erreicht werden durch die Einfuhrung der Konsistenzforderung Hinter dieser Forderung steht folgende Intuition Sobald eine Abweichung vom Gleichgewichtspfad erfolgt ein beabsichtigter oder unbeabsichtigter Fehler dann muss von diesem Punkt an der weitere Spielverlauf wieder ein sequentielles Gleichgewicht darstellen gegeben irgendwelche Einschatzungen daruber wieso der Fehler passierte D h ausgehend von den Wahrscheinlichkeitseinschatzungen m displaystyle textstyle mu nbsp spielen die Spieler wieder bei jedem Ereignis optimale Strategien sie revidieren dabei ihre Wahrscheinlichkeiten entsprechend der bayesschen Regel wobei nun die Einschatzungen m displaystyle textstyle mu nbsp als Kalkulationsbasis dienen es sei denn ein weiteres Ereignis mit Null Wahrscheinlichkeit tritt ein In letzterem Fall muss der handelnde Spieler wieder konsistente Einschatzungen bilden 2 Satze BearbeitenFur jedes endliche extensive Spiel existiert mindestens ein sequentielles Gleichgewicht 3 Wenn s m displaystyle textstyle s mu nbsp ein sequentielles Gleichgewicht ist dann ist s ein teilspielperfektes Gleichgewicht 4 wenn s m displaystyle textstyle s mu nbsp ein sequentielles Gleichgewicht ist dann ist s m displaystyle textstyle s mu nbsp erweitert teilspielperfekt 5 Beispiel und Losungsweg BearbeitenEine Einschatzung wird dargestellt wie folgt s m s 1 s 2 m displaystyle s mu s 1 s 2 mu nbsp mit s 1 displaystyle textstyle s 1 nbsp Die Strategie von Spieler 1 entspricht der Wahrscheinlichkeitsverteilung uber seine Strategien M L und R s 2 displaystyle textstyle s 2 nbsp Die Strategie von Spieler 2 entspricht der Wahrscheinlichkeitsverteilung uber seine Strategien l und r m displaystyle textstyle mu nbsp Belief von Spieler 2 welches dadurch bedingt ist dass die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird nbsp Beispiel fur sequentielles Gleichgewicht nbsp Spiel in Matrixform Auszahlungen und Nash GleichgewichteIn diesem Beispiel gibt es zwei Typen der sequentiellen Gleichgewichte Erster Typ Sequentielles Gleichgewicht falls die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird d h s 1 L 0 displaystyle s 1 L 0 nbsp Die Strategie R ist von L und M strikt dominiert so dass s 1 R 0 und s 1 M gt 0 displaystyle s 1 R 0 qquad text und qquad s 1 M gt 0 nbsp Die bayessche Regel ist anwendbar denn die Informationsmenge von Spieler 2 liegt auf dem Gleichgewichtspfad m M s 1 M s 1 M s 1 R 1 displaystyle mu M frac s 1 M s 1 M s 1 R 1 nbsp m R s 1 R s 1 M s 1 R 0 displaystyle mu R frac s 1 R s 1 M s 1 R 0 nbsp Mit den Beliefs wird Spieler 2 rational l wahlen da die Strategie l eine hohere Auszahlung ergibt u 2 M l gt u 2 M r displaystyle u 2 M l gt u 2 M r nbsp Daraus folgt s 2 l 1 displaystyle s 2 l 1 nbsp s 2 r 0 displaystyle textstyle s 2 r 0 nbsp Die Einschatzung ist sequentiell rational wiederum dann und nur dann wenn s 1 L 0 displaystyle s 1 L 0 nbsp s 1 M 1 displaystyle s 1 M 1 nbsp s 1 R 0 displaystyle s 1 R 0 nbsp Fazit s m 0 1 0 1 0 1 0 displaystyle textstyle s mu 0 1 0 1 0 1 0 nbsp ist ein sequentielles Gleichgewicht in einem Fall in dem die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird BemerkungIn diesem Fall ist das Losungsverfahren identisch mit dem des perfekt bayesschen Gleichgewichts Zweiter Typ Sequentielles Gleichgewicht falls die Informationsmenge von Spieler 2 nicht erreicht wird d h s 1 L 1 displaystyle textstyle s 1 L 1 nbsp s 1 M 0 displaystyle textstyle s 1 M 0 nbsp s 1 R 0 displaystyle textstyle s 1 R 0 nbsp Die Strategie s 1 L 1 displaystyle textstyle s 1 L 1 nbsp bildet einen Teil der sequentiell rationalen Einschatzung dann und nur dann wenn Spieler 2 r mit einer hohen Wahrscheinlichkeit spielt z B s 2 r 1 displaystyle textstyle s 2 r 1 nbsp Ansonsten wird Spieler 1 von der Strategie L abweichen und die Anforderung der sequentiellen Rationalitat nicht erfullt Beim sequentiellen Gleichgewicht wird angenommen dass die Strategie auf dem Nicht Gleichgewichtspfad im Spiel vorkommen kann Daher braucht Spieler 2 die Beliefs uber seine Informationsmenge falls er zum Zug kame Um s 2 r 1 displaystyle textstyle 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und die Beliefs uber die jeweiligen Entscheidungsknoten in der Informationsmenge von Spieler 2 gleich sind Abgrenzung des sequentiellen Gleichgewichts vom perfekt bayesschen Gleichgewicht BearbeitenDie beiden Konzepte sind eine Verfeinerung des teilspielperfekten Gleichgewichts Sie haben die Gemeinsamkeit dass die Strategien gegeben den Belief sequentiell rational sein mussen Die zwei Konzepte unterscheiden sich jedoch in folgendem Punkt Die Anforderung 4 des perfekt bayesschen Gleichgewichts lautet In Informationsmengen ausserhalb des Gleichgewichtspfades werden die Beliefs mit der bayesschen Regel und Gleichgewichtsstrategien von Spielern bestimmt wann immer moglich 6 Dieser Anforderung 4 folgend werden im perfekt bayesschen Gleichgewicht die Beliefs durch die bayessche Regel definiert wann immer moglich ist wahrend im sequentiellen Gleichgewicht die bayessche Regel durch Konsistenz des Beliefs fur alle Pfade im Spiel ihre Anwendung findet fur die Strategien sowohl auf dem Gleichgewichtspfad als auch auf dem Nicht Gleichgewichtspfad Konsistenz im Sinne von Kreps und Wilson 1982 ist dass die Beliefs m displaystyle textstyle mu nbsp der Grenzwert der Beliefs m e displaystyle textstyle mu varepsilon nbsp sind die mit einer Folge von vollstandig gemischten Strategien s e displaystyle textstyle s varepsilon nbsp verbunden sind welche gegen s konvergieren 7 Da die Anwendung des Konzepts des sequentiellen Gleichgewichts sehr kompliziert ist wird in der Spieltheorie oft das perfekt bayessche Gleichgewicht als Losungskonzept fur die Spiele mit unvollstandiger Information verwendet Kritik BearbeitenIm Beispiel ist der zweite Typ des sequentiellen Gleichgewichts jedoch nicht plausibel Die Einschatzung s m 1 0 0 0 1 1 q q displaystyle textstyle s mu 1 0 0 0 1 1 q q nbsp ist ein sequentielles Gleichgewicht dann und nur dann wenn q 1 2 displaystyle q geq tfrac 1 2 nbsp Dies impliziert dass es gilt m M R M lt m M R R displaystyle mu M R M lt mu M R R nbsp Aber da fur den Spieler 1 die Strategie R von M und L strikt dominiert ist wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird und somit Spieler 2 zum Zug kommen wurde ist fur Spieler 2 zumutbar zu schatzen dass die Spieler 1 rational eher M gewahlt hat Also ist q 1 2 displaystyle q geq tfrac 1 2 nbsp in der Realitat nicht vernunftig somit sind die sequentiellen Gleichgewichte des zweiten Typs nicht plausibel Fazit Das sequentielle Gleichgewicht schliesst nicht alle unplausiblen Gleichgewichte aus Siehe auch BearbeitenNash Gleichgewicht Teilspielperfektes Gleichgewicht Trembling hand perfektes GleichgewichtLiteratur BearbeitenMartin J Osborne Ariel Rubinstein A Course in Game Theory The MIT Press Cambridge Massachusetts 1994 ISBN 0 262 15041 7 Manfred J Holler Gerhard Illing Einfuhrung in die Spieltheorie Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 69372 7 Jurgen Eichberger Game theory for economists Emerald Group Publishing Limited 1993 ISBN 3 540 69372 6 Robert Gibbons A Primer in Game Theory Financial Times Harlow 1992 ISBN 0 7450 1159 4 Siegfried K Berninghaus Karl Martin Ehrhart Strategische Spiele Eine Einfuhrung in die Spieltheorie Springer Berlin Heidelberg 2010 ISBN 978 3 642 11650 6 David M Kreps Robert Wilson Sequential Equilibria In Econometrica Econometric Society Jul 1982 50 4 863 94 http www jstor org pss 1912767 Julio Gonzales Diaz Miguel A Melendez Jimenez On the Notion of Perfect Bayesian Equilibrium In TOP Springer Berlin Heidelberg Nov 2011 19 ISSN 1863 8279 Online Drew Fudenberg Jean Tirole Perfect Bayesian equilibrium and sequential equilibrium In Journal of Economic Theory Elsevier Apr 1991 53 2 236 260 Einzelnachweise Bearbeiten Martin J Osborne Ariel Rubinstein A Course in Game Theory The MIT Press Cambridge Massachusetts 1994 ISBN 978 0 262 15041 5 S 220 Manfred J Holler Gerhard Illing Einfuhrung in die Spieltheorie Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 69372 7 S 116 David M Kreps Robert Wilson Sequential Equilibria In Econometrica Econometric Society Jul 1982 50 4 863 94 http www jstor org pss 1912767 S 876 David M Kreps Robert Wilson Sequential Equilibria In Econometrica Econometric Society Jul 1982 50 4 863 94 http www jstor org pss 1912767 S 876 David M Kreps Robert Wilson Sequential Equilibria In Econometrica Econometric Society Jul 1982 50 4 863 94 http www jstor org pss 1912767 S 877 Robert Gibbons A Primer in Game Theory Financial Times Harlow 1992 ISBN 978 0 7450 1159 2 S 180 Julio Gonzales Diaz Miguel A Melendez Jimenez On the Notion of Perfect Bayesian Equilibrium In TOP Springer Berlin Heidelberg Nov 2011 19 ISSN 1863 8279 Online S 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sequentielles Gleichgewicht amp oldid 235777081