Die Selbergsche Zetafunktion ist eine Funktion aus dem mathematischen Gebiet der harmonischen Analysis. Sie wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten des Laplace-Operators und dem Längenspektrum einer hyperbolischen Fläche zu untersuchen.
Definition Bearbeiten
Es sei eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte bezeichne ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion wird durch meromorphe Fortsetzung der für durch
gegebenen Funktion definiert.
Nullstellen Bearbeiten
Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen , die die Gleichung
für einen der Eigenwerte
des Laplace-Operators auf erfüllen.
Mayerscher Transfer-Operator Bearbeiten
Für hat man die Identität
Dabei bezeichnet den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch
Literatur Bearbeiten
- U. Bunke, M. Olbrich: Selberg Zeta and Theta Functions. A differential operator approach. Vol. 83 of Mathematical Research (Akademie-Verlag, 1995).
- d'Hoker, E. und Phong, D. H.: Multiloop Amplitudes for the Bosonic Polyakov String. Nucl. Phys. B 269, 205–234, 1986.
- d'Hoker, E. und Phong, D. H.: On Determinants of Laplacians on Riemann Surfaces. Commun. Math. Phys. 104, 537–545, 1986.
- Fried, D.: Analytic Torsion and Closed Geodesics on Hyperbolic Manifolds. Invent. Math. 84, 523–540, 1986.
- Selberg, A.: Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces with Applications to Dirichlet Series. J. Indian Math. Soc. 20, 47–87, 1956.
- Voros, A.: Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function. Commun. Math. Phys. 110, 439–465, 1987.