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Scottsches Axiomensystem Das Scottsche Axiomensystem benannt nach dem Mathematiker Dana Scott ist ein Axiomensystem der

Scottsches Axiomensystem

Das Scottsche Axiomensystem, benannt nach dem Mathematiker Dana Scott, ist ein Axiomensystem der Mengenlehre, das als alternativer Zugang zum Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, kurz ZF, angesehen werden kann. Es verwendet das in ZF beweisbare Reflexionsprinzip als Axiom und kann auf diese Weise auf einige ZF-Axiome verzichten.

Motivation Bearbeiten

Durch die Von-Neumann-Hierarchie wird das gesamte Mengenuniversum in Stufen eingeteilt, wobei die Ordinalzahlen durchläuft. Wir beschreiben hier drei Konsequenzen, die dann umgekehrt zu Axiomen des Scottschen Axiomensystems werden.

Das heißt, jede Menge liegt in einer Stufe. Das ist genau die zum Fundierungsaxiom äquivalente Aussage der Von-Neumann-Hierarchie, wonach jede Menge bereits in einer Stufe liegt bzw. bezüglich der -Relation bereits durch eine Stufe beschränkt ist; man spricht daher auch vom Beschränktheitslemma.

Wenn also in einer Stufe liegt, so liegt es bereits in einer niedrigeren Stufe mit oder ist als Teilmenge in einer solchen niedrigeren Stufe enthalten. Dieses sogenannte Kumulierungslemma folgt direkt aus der rekursiven Definition der Stufen als Vereinigung aller Vorgänger oder als Potenzmenge des Vorgängers, je nachdem, ob eine Limes-Ordinalzahl ist oder nicht.

Das Reflexionsprinzip besagt, dass jede in ZF formulierbare Aussage bereits durch eine Stufe gespiegelt wird, genauer:

Die Spiegelung durch die Stufe bedeutet dabei die Spiegelung durch das durch „“ definierte Prädikat; Einzelheiten zum Begriff der Spiegelung findet man im Artikel Relativierung (Mengenlehre).

Diese drei Eigenschaften – Beschränktheitslemma, Kumulierungslemma und Reflexionsprinzip – sollen nun zu Axiomen erhoben werden, ohne die in ZF definierten Stufen zu verwenden. Dazu benötigen wir ein neues Prädikat „ ist Stufe“, das wir nennen. Die Schreibweise ist demnach als „ ist Stufe“ zu lesen, und man kann sich darunter etwas Ähnliches wie die Stufen der Von-Neumann-Hierarchie vorstellen. Die genauen Eigenschaften dieser Stufen werden allerdings durch die Axiome des Scottschen Axiomensystems festgelegt, das nun vorgestellt wird.

Das Axiomensystem Bearbeiten

Wir verwenden kleine lateinische Buchstaben als Variablen für Mengen und die Symbole , wobei = für Gleichheit steht und für die Elementbeziehung, ein einstelliges Prädikat ist und die restlichen Symbole die üblichen logischen Symbole sind. In den folgenden Axiomen bezeichne eine mengentheoretische Formel mit der Variablen und möglicherweise weiteren Variablen (Parametern) .

  • Existenz:

Das Existenzaxiom fordert, dass es wenigstens eine Menge im Mengenuniversum gibt.

  • Extensionalität:

Das Extensionalitätsaxiom beschreibt den quantitativen Aspekt des Mengenbegriffs: Enthalten zwei Mengen dieselben Elemente, so sind sie gleich.

  • Aussonderung:

Zu jeder Menge und zu jeder Eigenschaft kann man die Menge derjenigen Elemente aussondern, die diese Eigenschaft erfüllen, genauer: Bei vorgegebener Formel und gegebenen Parametern gibt es zu jeder Menge die Menge , die genau aus denjenigen Elementen aus besteht, die der Eigenschaft genügen. Dies ist kein einzelnes Axiom, sondern ein sogenanntes Schema von Axiomen, da man für jede Formel ein Axiom erhält.

  • Beschränktheit: .

Jede Menge liegt in einer Stufe.

  • Kumulierung:

Dabei steht wie üblich für . In Worten besagt das Kumulierungsaxiom: Wenn eine Stufe ist, so gilt für jedes aus dieser Stufe, dass es eine in enthaltene Stufe gibt, in der als Element oder als Teilmenge liegt.

  • Reflexionsprinzip:

Hier soll alle Formeln ohne das Symbol durchlaufen, es handelt sich also wieder um ein Schema von Axiomen. Der Ausdruck bedeutet dabei

wobei die durch Relativierung nach aus hervorgegangene Formel ist.

Die Gesamtheit dieser Axiome werde im Folgenden mit bezeichnet.

Äquivalenz zu ZF Bearbeiten

Die ersten drei Axiome aus sind auch ZF-Axiome, und die einleitenden Bemerkungen zeigen, dass die Festlegung ein Prädikat definiert, das auch die übrigen drei -Axiome erfüllt. Umgekehrt kann man aus alle ZF-Axiome herleiten, das heißt das Vereinigungsaxiom, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom und das Schema der Ersetzungsaxiome.

In kann man daher wie in ZF Ordinalzahlen und die Von-Neumann-Hierarchie der einführen. In gilt dann der Satz:

Damit sind die Axiomensysteme ZF und gleichwertig. In beiden Axiomatisierungen lassen sich dieselben Sätze beweisen, wobei das in ZF fehlende durch zu ersetzen ist.

Literatur Bearbeiten

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Das Scottsche Axiomensystem benannt nach dem Mathematiker Dana Scott ist ein Axiomensystem der Mengenlehre das als alternativer Zugang zum Axiomensystem der Zermelo Fraenkel Mengenlehre kurz ZF angesehen werden kann Es verwendet das in ZF beweisbare Reflexionsprinzip als Axiom und kann auf diese Weise auf einige ZF Axiome verzichten Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Das Axiomensystem 3 Aquivalenz zu ZF 4 LiteraturMotivation BearbeitenDurch die Von Neumann Hierarchie wird das gesamte Mengenuniversum in Stufen V a displaystyle V alpha nbsp eingeteilt wobei a displaystyle alpha nbsp die Ordinalzahlen durchlauft Wir beschreiben hier drei Konsequenzen die dann umgekehrt zu Axiomen des Scottschen Axiomensystems werden x a x V a displaystyle forall x exists alpha x in V alpha nbsp Das heisst jede Menge x displaystyle x nbsp liegt in einer Stufe Das ist genau die zum Fundierungsaxiom aquivalente Aussage der Von Neumann Hierarchie wonach jede Menge bereits in einer Stufe liegt bzw bezuglich der displaystyle in nbsp Relation bereits durch eine Stufe beschrankt ist man spricht daher auch vom Beschranktheitslemma a x x V a b b lt a x V b x V b displaystyle forall alpha forall x x in V alpha leftrightarrow exists beta beta lt alpha land x in V beta lor x subset V beta nbsp Wenn also x displaystyle x nbsp in einer Stufe V a displaystyle V alpha nbsp liegt so liegt es bereits in einer niedrigeren Stufe V b displaystyle V beta nbsp mit b lt a displaystyle beta lt alpha nbsp oder ist als Teilmenge in einer solchen niedrigeren Stufe enthalten Dieses sogenannte Kumulierungslemma folgt direkt aus der rekursiven Definition der Stufen V a displaystyle V alpha nbsp als Vereinigung aller Vorganger oder als Potenzmenge des Vorgangers je nachdem ob a displaystyle alpha nbsp eine Limes Ordinalzahl ist oder nicht Das Reflexionsprinzip besagt dass jede in ZF formulierbare Aussage f f x displaystyle varphi varphi x nbsp bereits durch eine Stufe V a displaystyle V alpha nbsp gespiegelt wird genauer x a x V a V a spiegelt f x displaystyle forall x exists alpha x in V alpha land V alpha text spiegelt varphi x nbsp Die Spiegelung durch die Stufe V a displaystyle V alpha nbsp bedeutet dabei die Spiegelung durch das durch x V a displaystyle x in V alpha nbsp definierte Pradikat Einzelheiten zum Begriff der Spiegelung findet man im Artikel Relativierung Mengenlehre Diese drei Eigenschaften Beschranktheitslemma Kumulierungslemma und Reflexionsprinzip sollen nun zu Axiomen erhoben werden ohne die in ZF definierten Stufen zu verwenden Dazu benotigen wir ein neues Pradikat x displaystyle x nbsp ist Stufe das wir S displaystyle Sigma nbsp nennen Die Schreibweise S x displaystyle Sigma x nbsp ist demnach als x displaystyle x nbsp ist Stufe zu lesen und man kann sich darunter etwas Ahnliches wie die Stufen der Von Neumann Hierarchie vorstellen Die genauen Eigenschaften dieser Stufen werden allerdings durch die Axiome des Scottschen Axiomensystems festgelegt das nun vorgestellt wird Das Axiomensystem BearbeitenWir verwenden kleine lateinische Buchstaben als Variablen fur Mengen und die Symbole S displaystyle in Sigma neg land lor rightarrow leftrightarrow exists forall nbsp wobei fur Gleichheit steht und displaystyle in nbsp fur die Elementbeziehung S displaystyle Sigma nbsp ein einstelliges Pradikat ist und die restlichen Symbole die ublichen logischen Symbole sind In den folgenden Axiomen bezeichne f f x x 1 x n displaystyle varphi varphi x x 1 ldots x n nbsp eine mengentheoretische Formel mit der Variablen x displaystyle x nbsp und moglicherweise weiteren Variablen Parametern x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp Existenz x x x displaystyle exists x x x nbsp Das Existenzaxiom fordert dass es wenigstens eine Menge im Mengenuniversum gibt Extensionalitat x y z z x z y x y displaystyle forall x y forall z z in x leftrightarrow z in y rightarrow x y nbsp Das Extensionalitatsaxiom beschreibt den quantitativen Aspekt des Mengenbegriffs Enthalten zwei Mengen dieselben Elemente so sind sie gleich Aussonderung x 1 x n x y z z y z x f z x 1 x n displaystyle forall x 1 ldots x n forall x exists y forall z z in y leftrightarrow z in x land varphi z x 1 ldots x n nbsp Zu jeder Menge und zu jeder Eigenschaft kann man die Menge derjenigen Elemente aussondern die diese Eigenschaft erfullen genauer Bei vorgegebener Formel f displaystyle varphi nbsp und gegebenen Parametern gibt es zu jeder Menge x displaystyle x nbsp die Menge y displaystyle y nbsp die genau aus denjenigen Elementen z displaystyle z nbsp aus x displaystyle x nbsp besteht die der Eigenschaft f z x 1 x n displaystyle varphi z x 1 ldots x n nbsp genugen Dies ist kein einzelnes Axiom sondern ein sogenanntes Schema von Axiomen da man fur jede Formel f displaystyle varphi nbsp ein Axiom erhalt Beschranktheit x v S v x v displaystyle forall x exists v Sigma v land x in v nbsp Jede Menge liegt in einer Stufe Kumulierung v S v x x v w S w w v x w x w displaystyle forall v Sigma v rightarrow forall x x in v leftrightarrow exists w Sigma w land w in v land x in w lor x subset w nbsp Dabei steht x w displaystyle x subset w nbsp wie ublich fur z z x z w displaystyle forall z z in x rightarrow z in w nbsp In Worten besagt das Kumulierungsaxiom Wenn v displaystyle v nbsp eine Stufe ist so gilt fur jedes x displaystyle x nbsp aus dieser Stufe dass es eine in v displaystyle v nbsp enthaltene Stufe w displaystyle w nbsp gibt in der x displaystyle x nbsp als Element oder als Teilmenge liegt Reflexionsprinzip x v S v x v v spiegelt f x x 1 x n displaystyle forall x exists v Sigma v land x in v land v text spiegelt varphi x x 1 ldots x n nbsp Hier soll f displaystyle varphi nbsp alle Formeln ohne das Symbol S displaystyle Sigma nbsp durchlaufen es handelt sich also wieder um ein Schema von Axiomen Der Ausdruck v spiegelt f x x 1 x n displaystyle v text spiegelt varphi x x 1 ldots x n nbsp bedeutet dabei x 1 x n x 1 v x n v f x x 1 x n f x x 1 x n v displaystyle forall x 1 ldots x n x 1 in v land ldots land x n in v rightarrow varphi x x 1 ldots x n leftrightarrow varphi x x 1 ldots x n v nbsp wobei f x x 1 x n v displaystyle varphi x x 1 ldots x n v nbsp die durch Relativierung nach v displaystyle v nbsp aus f x x 1 x n displaystyle varphi x x 1 ldots x n nbsp hervorgegangene Formel ist Die Gesamtheit dieser Axiome werde im Folgenden mit S displaystyle Sigma nbsp bezeichnet Aquivalenz zu ZF BearbeitenDie ersten drei Axiome aus S displaystyle Sigma nbsp sind auch ZF Axiome und die einleitenden Bemerkungen zeigen dass die Festlegung S x a x V a displaystyle Sigma x Leftrightarrow exists alpha x V alpha nbsp ein Pradikat definiert das auch die ubrigen drei S displaystyle Sigma nbsp Axiome erfullt Umgekehrt kann man aus S displaystyle Sigma nbsp alle ZF Axiome herleiten das heisst das Vereinigungsaxiom Potenzmengenaxiom Unendlichkeitsaxiom Fundierungsaxiom und das Schema der Ersetzungsaxiome In S displaystyle Sigma nbsp kann man daher wie in ZF Ordinalzahlen und die Von Neumann Hierarchie der V a displaystyle V alpha nbsp einfuhren In S displaystyle Sigma nbsp gilt dann der Satz x S x a x V a displaystyle forall x Sigma x leftrightarrow exists alpha x V alpha nbsp Damit sind die Axiomensysteme ZF und S displaystyle Sigma nbsp gleichwertig In beiden Axiomatisierungen lassen sich dieselben Satze beweisen wobei das in ZF fehlende S x displaystyle Sigma x nbsp durch a x V a displaystyle exists alpha x V alpha nbsp zu ersetzen ist Literatur BearbeitenHeinz Dieter Ebbinghaus Einfuhrung in die Mengenlehre Spektrum Verlag 2003 ISBN 3 8274 1411 3 insbesondere Kapitel X 3 Dana Scott Axiomatizing set theory in Axiomatic Set Theory II Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 13 1974 American Mathematical Society Seiten 207 214 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Scottsches Axiomensystem amp oldid 222435946