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Satz von Slutsky Der bzw das Slutsky Theorem entwickelt von Jewgeni Sluzki E Slutsky ist ein mathematischer Satz aus dem

Satz von Slutsky

Der Satz von Slutsky bzw. das Slutsky-Theorem, entwickelt von Jewgeni Sluzki (E. Slutsky), ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, der die Konvergenz von Zufallsvariablen betrifft. Der Satz von Slutsky spielt in der Anwendung eine wichtige Rolle, da die Parameter einer Verteilung in der Praxis selten bekannt sind und daher geschätzt werden müssen. Der Satz von Slutsky ermöglicht es, die unbekannten Verteilungsparameter durch geschätzte Größen zu ersetzen, die in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Parameter konvergieren.

Theorem Bearbeiten

Falls die Folge von Zufallsvariablen für gegen unendlich gegen die Zufallsvariable in Verteilung konvergiert und die Folgen von Zufallsvariablen und gegen die Werte bzw. in Wahrscheinlichkeit konvergieren, dann konvergiert die Funktion in Verteilung gegen . Kurz:

Beweisskizze Bearbeiten

Der Satz von Slutsky folgt in dieser Form aus drei Beobachtungen:

  • Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert Konvergenz in Verteilung.

Beispiel Bearbeiten

Seien unabhängige, identisch Poisson-verteilte Zufallsvariablen, wobei . Man möchte nun z. B. ein Konfidenzintervall für zum Konfidenzniveau herleiten. Dabei wird der Satz von Slutsky helfen. Es gilt zunächst nach dem zentralen Grenzwertsatz. Also weiter:

Möchte man nun nach auflösen, hat man folgendes Problem: Dass der unbekannte Parameter hier sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommt, was zu einer quadratischen Gleichung führt. Man kann dies aber umgehen, indem man durch den Schätzer ersetzt. Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt . Nun gilt mit dem Satz von Slutsky, dass:

Es ergibt sich folglich als asymptotisches Konfidenzintervall für : .

Literatur Bearbeiten

  • Erich L. Lehmann: Elements of large sample theory. Springer, New York 1999, ISBN 0-387-98595-6, S. 70.
  • Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton 1946, S. 254.

Weblinks Bearbeiten

  • (PDF; 329 kB) (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 20. Juli 2004; abgerufen am 23. Juni 2015.
  • Slutsky-Theorem

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Michael Messer, Gaby Schneider: Statistik: Theorie und Praxis im Dialog. Hrsg.: Springer Spektrum. 2019, ISBN 978-3-662-59338-7, S. 19.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Slutsky bzw das Slutsky Theorem entwickelt von Jewgeni Sluzki E Slutsky ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie der die Konvergenz von Zufallsvariablen betrifft Der Satz von Slutsky spielt in der Anwendung eine wichtige Rolle da die Parameter einer Verteilung in der Praxis selten bekannt sind und daher geschatzt werden mussen Der Satz von Slutsky ermoglicht es die unbekannten Verteilungsparameter durch geschatzte Grossen zu ersetzen die in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Parameter konvergieren 1 Inhaltsverzeichnis 1 Theorem 2 Beweisskizze 3 Beispiel 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseTheorem BearbeitenFalls die Folge von Zufallsvariablen X n displaystyle X n nbsp fur n displaystyle n nbsp gegen unendlich gegen die Zufallsvariable X displaystyle X nbsp in Verteilung konvergiert und die Folgen von Zufallsvariablen A n displaystyle A n nbsp und B n displaystyle B n nbsp gegen die Werte a displaystyle a nbsp bzw b displaystyle b nbsp in Wahrscheinlichkeit konvergieren dann konvergiert die Funktion A n B n X n displaystyle A n B n X n nbsp in Verteilung gegen a b X displaystyle a bX nbsp Kurz A n B n X n D a b X displaystyle A n B n X n stackrel mathcal D rightarrow a bX nbsp Beweisskizze BearbeitenDer Satz von Slutsky folgt in dieser Form aus drei Beobachtungen Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert Konvergenz in Verteilung Wenn X n D X displaystyle X n xrightarrow mathcal D X nbsp und A n P a displaystyle A n xrightarrow mathbb P a nbsp bzw B n P b displaystyle B n xrightarrow mathbb P b nbsp so konvergiert der Zufallsvektor X n A n B n displaystyle X n A n B n nbsp in Verteilung gegen X a b displaystyle X a b nbsp Nun wendet man den Satz von der stetigen Abbildung auf g x y z y z x displaystyle g x y z y zx nbsp an Beispiel BearbeitenSeien X 1 X n Poi ϑ displaystyle X 1 X n sim operatorname Poi vartheta nbsp unabhangige identisch Poisson verteilte Zufallsvariablen wobei ϑ gt 0 displaystyle vartheta gt 0 nbsp Man mochte nun z B ein Konfidenzintervall fur ϑ displaystyle vartheta nbsp zum Konfidenzniveau g 1 a displaystyle gamma 1 alpha nbsp herleiten Dabei wird der Satz von Slutsky helfen Es gilt zunachst n X n ϑ ϑ D N 0 1 displaystyle sqrt n frac overline X n vartheta sqrt vartheta xrightarrow mathcal D mathcal N 0 1 nbsp nach dem zentralen Grenzwertsatz Also weiter lim n P ϑ z a 2 n X n ϑ ϑ z 1 a 2 1 a displaystyle lim limits n to infty mathbb P vartheta left z alpha 2 leq sqrt n frac overline X n vartheta sqrt vartheta leq z 1 alpha 2 right 1 alpha nbsp Mochte man nun z a 2 n X n ϑ ϑ z 1 a 2 displaystyle z alpha 2 leq sqrt n frac overline X n vartheta sqrt vartheta leq z 1 alpha 2 nbsp nach ϑ displaystyle vartheta nbsp auflosen hat man folgendes Problem Dass der unbekannte Parameter ϑ displaystyle vartheta nbsp hier sowohl im Zahler als auch im Nenner vorkommt was zu einer quadratischen Gleichung fuhrt Man kann dies aber umgehen indem man ϑ displaystyle vartheta nbsp durch den Schatzer X n displaystyle overline X n nbsp ersetzt Nach dem starken Gesetz der grossen Zahlen gilt ϑ X n f s 1 displaystyle sqrt vartheta overline X n xrightarrow text f s 1 nbsp Nun gilt mit dem Satz von Slutsky dass n X n ϑ X n n X n ϑ ϑ ϑ X n D N 0 1 displaystyle sqrt n frac overline X n vartheta sqrt overline X n sqrt n frac overline X n vartheta sqrt vartheta sqrt frac vartheta overline X n xrightarrow mathcal D mathcal N 0 1 nbsp Es ergibt sich folglich als asymptotisches Konfidenzintervall fur ϑ displaystyle vartheta nbsp X n z 1 a 2 n X n X n z 1 a 2 n X n displaystyle left overline X n frac z 1 alpha 2 sqrt n sqrt overline X n overline X n frac z 1 alpha 2 sqrt n sqrt overline X n right nbsp Literatur BearbeitenErich L Lehmann Elements of large sample theory Springer New York 1999 ISBN 0 387 98595 6 S 70 Harald Cramer Mathematical Methods of Statistics Princeton University Press Princeton 1946 S 254 Weblinks BearbeitenSkript zur Wahrscheinlichkeitstheorie englisch enthalt das Slutsky Theorem und seinen Beweis PDF 329 kB Nicht mehr online verfugbar Archiviert vom Original am 20 Juli 2004 abgerufen am 23 Juni 2015 Slutsky TheoremEinzelnachweise Bearbeiten Michael Messer Gaby Schneider Statistik Theorie und Praxis im Dialog Hrsg Springer Spektrum 2019 ISBN 978 3 662 59338 7 S 19 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Slutsky amp oldid 239151937