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Satz von Palm Chintschin Der der Stochastik besagt dass sich die überlagerung Superposition einer hinreichend großen Anz

Satz von Palm-Chintschin

Der Satz von Palm-Chintschin der Stochastik besagt, dass sich die Überlagerung (Superposition) einer hinreichend großen Anzahl von nicht notwendigerweise poissonschen Erneuerungsprozessen asymptotisch einem Poisson-Prozess annähert, wenn die Ereignisse in den einzelnen Prozessen relativ selten auftreten. Der Satz beruht auf Arbeiten von Conny Palm aus dem Jahr 1943 und Aleksander Chintschin aus dem Jahr 1955. Er findet Anwendung in der Warteschlangentheorie und Zuverlässigkeitsanalyse, zum Beispiel bei der Modellierung von Ankunftsprozessen von Kunden oder seltenen Ereignissen in der Versicherungsmathematik.

Aussage Bearbeiten

Seien für , unabhängige Erneuerungsprozesse und

die Superposition dieser Prozesse. Weiter bezeichne die Zeit zwischen der ersten und zweiten Erneuerung in Prozess sowie . Unter den Annahmen

  1. Für alle hinreichend große gelte: .
  2. Gegeben , für jedes und hinreichend große gelte: für alle .

strebt dann die Überlagerung der Zählprozesse für gegen gegen einen Poisson-Prozess mit Rate .

Erweiterungen Bearbeiten

Es gibt zahlreiche Erweiterungen, z. B. den Satz von Grigelionis, der die Annahmen verallgemeinert und als Grenzprozess einen nicht-homogenen Poisson-Prozess ableitet. In der Software-Zuverlässigkeit gibt es zahlreiche Erweiterungen für Software-Zuverlässigkeitswachstumsmodelle, klassisch z. B. den Satz von Littlewood, bei dem der Ausfallprozess für komplexe Software-Systeme, deren interne Struktur durch Markow-Ketten beschrieben werden kann, ebenfalls wieder gegen einen Poisson-Prozess strebt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Conny Palm: Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr, Ericsson Techniks 44, 1–189 (1943)
  2. Aleksander Chintschin: Matematicheskie metody teorii massovogo obsluzhivaniia, Trudy Matematicheskogo Instituta Steklov, Akad. Nauk, U.S.S.R., Vol. 49 (1955)
  3. Daniel P. Heyman, Matthew J. Sobel: Stochastic Models in Operations Research: Stochastic Processes and Operating Characteristics, Courier Corporation, 2003, ISBN 978-0-48643-259-5, S. 156–161
  4. Alessandro Birolini: Reliability Theory, 7. Auflage, Springer, Heidelberg, 2013, Kapitel A7.8.3
  5. Littlewood, B.: A reliability model for systems with Markov structure, Applied Statistics 24 (1975), 172–177.
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Der Satz von Palm Chintschin der Stochastik besagt dass sich die Uberlagerung Superposition einer hinreichend grossen Anzahl von nicht notwendigerweise poissonschen Erneuerungsprozessen asymptotisch einem Poisson Prozess annahert wenn die Ereignisse in den einzelnen Prozessen relativ selten auftreten Der Satz beruht auf Arbeiten von Conny Palm aus dem Jahr 1943 1 und Aleksander Chintschin aus dem Jahr 1955 2 Er findet Anwendung in der Warteschlangentheorie und Zuverlassigkeitsanalyse zum Beispiel bei der Modellierung von Ankunftsprozessen von Kunden oder seltenen Ereignissen in der Versicherungsmathematik Aussage BearbeitenSeien N m i t t 0 displaystyle N mi t t geq 0 nbsp fur m N displaystyle m in mathbb N nbsp i 1 2 m displaystyle i 1 2 dotsc m nbsp unabhangige Erneuerungsprozesse und N m t N m 1 t N m 2 t N m m t displaystyle N m t N m1 t N m2 t ldots N mm t nbsp die Superposition dieser Prozesse Weiter bezeichne X m i displaystyle X mi nbsp die Zeit zwischen der ersten und zweiten Erneuerung in Prozess i displaystyle i nbsp sowie l m i 1 E X m i displaystyle lambda mi 1 E X mi nbsp Unter den Annahmen Fur alle hinreichend grosse m displaystyle m nbsp gelte l m 1 l m 2 l m m l lt displaystyle lambda m1 lambda m2 ldots lambda mm lambda lt infty nbsp Gegeben e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp fur jedes t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp und hinreichend grosse m displaystyle m nbsp gelte P X m i t lt e displaystyle P X mi leq t lt varepsilon nbsp fur alle i displaystyle i nbsp strebt dann die Uberlagerung der Zahlprozesse N m t displaystyle N m t nbsp fur m displaystyle m nbsp gegen displaystyle infty nbsp gegen einen Poisson Prozess mit Rate l displaystyle lambda nbsp 3 Erweiterungen BearbeitenEs gibt zahlreiche Erweiterungen z B den Satz von Grigelionis 4 der die Annahmen verallgemeinert und als Grenzprozess einen nicht homogenen Poisson Prozess ableitet In der Software Zuverlassigkeit gibt es zahlreiche Erweiterungen fur Software Zuverlassigkeitswachstumsmodelle klassisch z B den Satz von Littlewood 5 bei dem der Ausfallprozess fur komplexe Software Systeme deren interne Struktur durch Markow Ketten beschrieben werden kann ebenfalls wieder gegen einen Poisson Prozess strebt Einzelnachweise Bearbeiten Conny Palm Intensitatsschwankungen im Fernsprechverkehr Ericsson Techniks 44 1 189 1943 Aleksander Chintschin Matematicheskie metody teorii massovogo obsluzhivaniia Trudy Matematicheskogo Instituta Steklov Akad Nauk U S S R Vol 49 1955 Daniel P Heyman Matthew J Sobel Stochastic Models in Operations Research Stochastic Processes and Operating Characteristics Courier Corporation 2003 ISBN 978 0 48643 259 5 S 156 161 Alessandro Birolini Reliability Theory 7 Auflage Springer Heidelberg 2013 Kapitel A7 8 3 Littlewood B A reliability model for systems with Markov structure Applied Statistics 24 1975 172 177 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Palm Chintschin amp oldid 158360407