Satz von Kolmogorow Tschenzow Der auch Stetigkeitssatz von Kolmogorow Tschenzow genannt ist ein mathematischer Satz der

Satz von Kolmogorow-Tschenzow

Der Satz von Kolmogorow-Tschenzow, auch Stetigkeitssatz von Kolmogorow-Tschenzow genannt, ist ein mathematischer Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie und beschäftigt sich mit Eigenschaften von Pfaden oder Realisierungen von stochastischen Prozessen. Er trifft eine Aussage darüber, wann Modifikationen eines stochastischen Prozesses stetig beziehungsweise lokal hölderstetig sind. Die Aussage geht in einer einfacheren Form auf Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow zurück und wurde von Nikolai Nikolajewitsch Tschenzow 1956 entsprechend verallgemeinert.

Anwendung findet der Satz beispielsweise bei der Konstruktion des Wienerprozesses, wo er die Existenz stetiger Pfade garantiert.

Aussage Bearbeiten

Gegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess , der als Indexmenge die nichtnegativen reellen Zahlen besitzt. Es ist also . Des Weiteren gebe es für jedes reelle Zahlen , so dass

für alle aus dem Intervall gilt.

Dann existiert eine Modifikation von , die lokal hölderstetige Pfade der Ordnung hat für alle .

Außerdem existiert dann zu jedem eine endliche Zahl , so dass

Beispiel: Wienerprozess Bearbeiten

Der Wienerprozess ist ein reellwertiger Prozess mit Indexmenge , der durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert wird:

.
ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen.
ist ein Prozess mit stationären Zuwächsen.
Die Zuwächse sind normalverteilt, es gilt also .
Die Pfade des Prozesses sind fast sicher stetig.

Mit dem Satz von Kolmogorow-Tschenzow kann man nun zeigen, dass die fünfte Bedingung redundant ist, d. h. wenn die ersten vier Bedingungen für einen Prozess gelten, so existiert immer eine Modifikation des Prozesses, welche die fünfte Bedingung erfüllt.

Denn aufgrund der stationären unabhängigen Zuwächse und den Skalierungseigenschaften der Normalverteilung gilt

Mit den Rechenregeln des Erwartungswertes folgt damit

und beispielsweise durch die momenterzeugende Funktion erhält man . Nach dem Satz von Kolmogorow-Tschenzow mit und existiert nun für jedes und jedes eine lokal hölder--stetige Modifikation des Prozesses .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Die Aussage des Satzes gilt ohne weitere Einschränkungen auch für Prozesse, die Werte in polnischen Räumen annehmen. Bei Veränderungen der Zeitmenge muss man jedoch stärkere Forderungen stellen.

Einzelnachweise Bearbeiten

Nikolai Nikolaevich Chentsov (Obituary) Beschränkter Online-Zugriff auf den Nachruf von Tschenzow in 1993 Russ. Math. Surv. 48 161 mit Überblick über sein Lebenswerk. Abgerufen am 14. November 2015.

Literatur Bearbeiten

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 470–473, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 03, 2023, 00:12 am

Der Satz von Kolmogorow Tschenzow auch Stetigkeitssatz von Kolmogorow Tschenzow genannt ist ein mathematischer Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie und beschaftigt sich mit Eigenschaften von Pfaden oder Realisierungen von stochastischen Prozessen Er trifft eine Aussage daruber wann Modifikationen eines stochastischen Prozesses stetig beziehungsweise lokal holderstetig sind Die Aussage geht in einer einfacheren Form auf Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow zuruck und wurde von Nikolai Nikolajewitsch Tschenzow 1956 entsprechend verallgemeinert 1 Anwendung findet der Satz beispielsweise bei der Konstruktion des Wienerprozesses wo er die Existenz stetiger Pfade garantiert Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beispiel Wienerprozess 3 Verallgemeinerungen 4 Einzelnachweise 5 LiteraturAussage BearbeitenGegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess X X t t I displaystyle X X t t in I nbsp der als Indexmenge die nichtnegativen reellen Zahlen besitzt Es ist also I 0 displaystyle I 0 infty nbsp Des Weiteren gebe es fur jedes T I displaystyle T in I nbsp reelle Zahlen a b C gt 0 displaystyle a b C gt 0 nbsp so dass E X t X s a C t s 1 b displaystyle operatorname E X t X s a leq C t s 1 b nbsp fur alle s t displaystyle s t nbsp aus dem Intervall 0 T displaystyle 0 T nbsp gilt Dann existiert eine Modifikation X displaystyle X nbsp von X displaystyle X nbsp die lokal holderstetige Pfade der Ordnung h displaystyle h nbsp hat fur alle h 0 b a displaystyle h in 0 tfrac b a nbsp Ausserdem existiert dann zu jedem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp eine endliche Zahl K K e T a b C h displaystyle K K varepsilon T a b C h nbsp so dass P X t X s K t s h fur s t 0 T 1 e displaystyle P left X t X s leq K t s h text fur s t in 0 T right geq 1 varepsilon nbsp Beispiel Wienerprozess BearbeitenDer Wienerprozess ist ein reellwertiger Prozess W W t t I displaystyle W W t t in I nbsp mit Indexmenge I 0 displaystyle I 0 infty nbsp der durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert wird W 0 0 displaystyle W 0 0 nbsp W displaystyle W nbsp ist ein Prozess mit unabhangigen Zuwachsen W displaystyle W nbsp ist ein Prozess mit stationaren Zuwachsen Die Zuwachse sind normalverteilt es gilt also W t N 0 t displaystyle W t sim mathcal N 0 t nbsp Die Pfade des Prozesses sind fast sicher stetig Mit dem Satz von Kolmogorow Tschenzow kann man nun zeigen dass die funfte Bedingung redundant ist d h wenn die ersten vier Bedingungen fur einen Prozess gelten so existiert immer eine Modifikation des Prozesses welche die funfte Bedingung erfullt Denn aufgrund der stationaren unabhangigen Zuwachse und den Skalierungseigenschaften der Normalverteilung gilt W t W s t s W 1 N 0 t s displaystyle W t W s sim sqrt t s W 1 sim mathcal N 0 t s nbsp Mit den Rechenregeln des Erwartungswertes folgt damit E W t W s 2 n E t s W 1 2 n E W 1 2 n t s n displaystyle operatorname E left W t W s 2n right operatorname E left sqrt t s W 1 2n right operatorname E W 1 2n t s n nbsp und beispielsweise durch die momenterzeugende Funktion erhalt man E W 1 2 n 2 n 2 n n displaystyle operatorname E W 1 2n tfrac 2n 2 n n nbsp Nach dem Satz von Kolmogorow Tschenzow mit a 2 n b n 1 displaystyle a 2n b n 1 nbsp und C C n 2 n 2 n n displaystyle C C n tfrac 2n 2 n n nbsp existiert nun fur jedes h 0 n 1 2 n displaystyle h in 0 tfrac n 1 2n nbsp und jedes n 2 displaystyle n geq 2 nbsp eine lokal holder h displaystyle h nbsp stetige Modifikation des Prozesses W displaystyle W nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenDie Aussage des Satzes gilt ohne weitere Einschrankungen auch fur Prozesse die Werte in polnischen Raumen annehmen Bei Veranderungen der Zeitmenge muss man jedoch starkere Forderungen stellen Einzelnachweise Bearbeiten Nikolai Nikolaevich Chentsov Obituary Beschrankter Online Zugriff auf den Nachruf von Tschenzow in 1993 Russ Math Surv 48 161 mit Uberblick uber sein Lebenswerk Abgerufen am 14 November 2015 Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 470 473 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Kolmogorow Tschenzow amp oldid 231459735