Der Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, auch Prozess mit unabhängigen Inkrementen genannt, ist ein Begriff aus der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilbereich der Wahrscheinlichkeitstheorie. Anschaulich ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ein Prozess, bei dem der Verlauf der Zukunft des Prozesses unabhängig von der Vergangenheit ist. Viele wichtige Klassen von Prozessen wie der Lévy-Prozess und damit auch der Wienerprozess und der Poisson-Prozess sind Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess mit . Der Prozess heißt ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, wenn für jedes und beliebige mit
gilt, dass die Zufallsvariablen
stochastisch unabhängig sind. Die nennt man in naheliegender Weise Zuwächse.
Beispiel Bearbeiten
Wir betrachten als Beispiel die zeitdiskrete symmetrische Irrfahrt auf . Sei dazu für alle unabhängig und identisch Rademacher-verteilt, also . Die Irrfahrt wird dann definiert als
Demnach ist die Differenz zu zwei beliebigen Zeitpunkten mit immer
Da aber bereits die Familie unabhängig ist, ist dann auch jede überschneidungsfrei aus ihnen gebildete Teilfamilie unabhängig. Demnach sind auch die unabhängig voneinander und der Prozess ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen.
Literatur Bearbeiten
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.