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Satz von Hurwitz Zahlentheorie Die Mathematik kennt eine Anzahl von Sätzen welche mit dem Namen von Adolf Hurwitz verknü

Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)

Die Mathematik kennt eine Anzahl von Sätzen, welche mit dem Namen von Adolf Hurwitz verknüpft sind. Der Satz von Hurwitz der Zahlentheorie betrifft die sogenannte diophantische Approximation irrationaler Zahlen, also die Approximation irrationaler Zahlen durch Bruchzahlen. Der Satz gibt eine Obergrenze für die Güte der Approximation an.

Der Satz Bearbeiten

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Für jede irrationale Zahl existieren unendlich viele voll gekürzte Brüche , welche

erfüllen.

Im von Scheid entwickelten Beweis des Satzes werden in entscheidender Weise Eigenschaften der Farey-Folgen genutzt.

Güte der Obergrenze Bearbeiten

Die Konstante ist scharf, also im Allgemeinen nicht zu ersetzen durch eine bessere Konstante. Dies lässt sich nachweisen anhand der irrationalen Zahl (bekannt im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt).

Für eine einzelne Zahl kann es bessere Approximationen geben, z. B. für Liouville-Zahlen. Ist eine algebraische Zahl, lässt sich der Exponent von nach dem Satz von Thue-Siegel-Roth aber nicht verbessern.

Verwandte Ergebnisse Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 64.
  2. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 64–65.
  3. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 65.
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Die Mathematik kennt eine Anzahl von Satzen welche mit dem Namen von Adolf Hurwitz verknupft sind Der Satz von Hurwitz der Zahlentheorie betrifft die sogenannte diophantische Approximation irrationaler Zahlen also die Approximation irrationaler Zahlen durch Bruchzahlen Der Satz gibt eine Obergrenze fur die Gute der Approximation an Inhaltsverzeichnis 1 Der Satz 2 Gute der Obergrenze 3 Verwandte Ergebnisse 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDer Satz BearbeitenDer Satz lasst sich formulieren wie folgt 1 Fur jede irrationale Zahl a displaystyle alpha nbsp existieren unendlich viele voll gekurzte Bruche p q displaystyle tfrac p q nbsp welche a p q lt 1 5 q 2 displaystyle left alpha frac p q right lt frac 1 sqrt 5 cdot q 2 nbsp erfullen Im von Scheid 2 entwickelten Beweis des Satzes werden in entscheidender Weise Eigenschaften der Farey Folgen genutzt Gute der Obergrenze BearbeitenDie Konstante 5 displaystyle sqrt 5 nbsp ist scharf also im Allgemeinen nicht zu ersetzen durch eine bessere Konstante Dies lasst sich nachweisen anhand der irrationalen Zahl a 1 5 2 displaystyle mathcal alpha 1 sqrt 5 2 nbsp bekannt im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt 3 Fur eine einzelne Zahl a displaystyle alpha nbsp kann es bessere Approximationen geben z B fur Liouville Zahlen Ist a displaystyle alpha nbsp eine algebraische Zahl lasst sich der Exponent von q displaystyle q nbsp nach dem Satz von Thue Siegel Roth aber nicht verbessern Verwandte Ergebnisse BearbeitenDirichletscher ApproximationssatzLiteratur BearbeitenAdolf Hurwitz Uber die angenaherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Bruche In Math Ann 39 1891 S 279 284 Harald Scheid Zahlentheorie 3 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin 2003 ISBN 3 8274 1365 6 Jurjen Ferdinand Koksma Diophantische Approximationen 3 Auflage Springer Verlag Berlin 1936 William Judson LeVeque Fundamentals of Number Theory Addison Wesley Reading MA 1977 ISBN 0 201 04287 8 Einzelnachweise Bearbeiten Harald Scheid Zahlentheorie 3 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2003 ISBN 3 8274 1365 6 S 64 Harald Scheid Zahlentheorie 3 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2003 ISBN 3 8274 1365 6 S 64 65 Harald Scheid Zahlentheorie 3 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2003 ISBN 3 8274 1365 6 S 65 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Hurwitz Zahlentheorie amp oldid 220672650