Satz von Hellinger Toeplitz Der ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis Er ist nach den Mathematikern Ern

Satz von Hellinger-Toeplitz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt. Ursprünglich wurde der Satz im Sinne von Bilinearformen unendlich vieler Veränderlicher formuliert.

Formulierung Bearbeiten

Es seien ein Hilbertraum und ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle die Gleichung

erfüllt. Dann ist stetig, d. h. beschränkt.

Beweis Bearbeiten

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist eine Nullfolge und konvergent, dann ist .
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf und setzt , dann folgt

also .

Folgerungen Bearbeiten

Da der Operator linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
Jeder symmetrische, überall auf definierte Operator ist selbstadjungiert.
Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien und Hilberträume und ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator , der für alle und die Gleichung

erfüllt. Dann sind und stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur Bearbeiten

Siehe die Einzelnachweise oder Fachbücher der Funktionalanalysis.

Einzelnachweise Bearbeiten

R. E. Edward: The Hellinger-Toeplitz Theorem. In: Journal of the London Mathematical Society. s1-32, Nr. 4, Oktober 1957, S. 499–501, doi:10.1112/jlms/s1-32.4.499 (englisch, wiley.com [abgerufen am 10. November 2022]).
Ernst Hellinger, Otto Toeplitz: Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen. In: Mathematische Annalen. Band 69, Nr. 3, September 1910, ISSN 0025-5831, S. 321 ff., doi:10.1007/BF01456325 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]).
Ernst Hellinger, Otto Toeplitz: Integralgleichungen und Gleichungen mit Unendlichvielen Unbekannten. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1928, ISBN 978-3-663-15348-1, doi:10.1007/978-3-663-15917-9 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]).
Marshall Harvey Stone: Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis. American Mathematical Society, New York 1932, ISBN 0-8218-1015-4, S. 59 ff. (englisch, archive.org [abgerufen am 10. November 2022]).
Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, S. 260 ff., doi:10.1007/978-3-662-55407-4 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]).

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 03:02 am

Der Satz von Hellinger Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt Ursprunglich wurde der Satz im Sinne von Bilinearformen unendlich vieler Veranderlicher formuliert 1 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Beweis 3 Folgerungen 4 Verallgemeinerung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenEs seien H displaystyle H nbsp ein Hilbertraum und T H H displaystyle T H rightarrow H nbsp ein symmetrischer linearer Operator das heisst ein Operator der fur alle x y H displaystyle x y in H nbsp die Gleichung T x y x T y displaystyle langle Tx y rangle langle x Ty rangle nbsp erfullt Dann ist T displaystyle T nbsp stetig d h beschrankt 4 Beweis BearbeitenNach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend Folgendes zu zeigen 5 Ist x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp eine Nullfolge und T x n displaystyle Tx n nbsp konvergent dann ist lim n T x n 0 displaystyle lim n rightarrow infty Tx n 0 nbsp Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf H displaystyle H nbsp und setzt y lim n T x n displaystyle y lim n rightarrow infty Tx n nbsp dann folgt y y lim n T x n y lim n T x n y lim n x n T y lim n x n T y 0 T y 0 displaystyle langle y y rangle langle lim n rightarrow infty Tx n y rangle lim n rightarrow infty langle Tx n y rangle lim n rightarrow infty langle x n Ty rangle langle lim n rightarrow infty x n Ty rangle langle 0 Ty rangle 0 nbsp also y 0 displaystyle y 0 nbsp Folgerungen BearbeitenDa der Operator T displaystyle T nbsp linear und stetig ist ist er auch beschrankt Jeder symmetrische uberall auf H displaystyle H nbsp definierte Operator ist selbstadjungiert Unbeschrankte selbstadjungierte Operatoren konnen hochstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein Verallgemeinerung BearbeitenMan kann die Bedingung im Satz von Hellinger Toeplitz abschwachen Es seien H 1 displaystyle H 1 nbsp und H 2 displaystyle H 2 nbsp Hilbertraume und T H 1 H 2 displaystyle T H 1 rightarrow H 2 nbsp ein linearer Operator der ein Adjungiertes besitzt das heisst Es gibt einen Operator S H 2 H 1 displaystyle S H 2 rightarrow H 1 nbsp der fur alle x H 1 displaystyle x in H 1 nbsp und y H 2 displaystyle y in H 2 nbsp die Gleichung T x y H 2 x S y H 1 displaystyle langle Tx y rangle H 2 langle x Sy rangle H 1 nbsp erfullt Dann sind T displaystyle T nbsp und S displaystyle S nbsp stetig Der Beweis geht analog Literatur BearbeitenSiehe die Einzelnachweise oder Fachbucher der Funktionalanalysis Einzelnachweise Bearbeiten R E Edward The Hellinger Toeplitz Theorem In Journal of the London Mathematical Society s1 32 Nr 4 Oktober 1957 S 499 501 doi 10 1112 jlms s1 32 4 499 englisch wiley com abgerufen am 10 November 2022 Ernst Hellinger Otto Toeplitz Grundlagen fur eine Theorie der unendlichen Matrizen In Mathematische Annalen Band 69 Nr 3 September 1910 ISSN 0025 5831 S 321 ff doi 10 1007 BF01456325 springer com abgerufen am 10 November 2022 Ernst Hellinger Otto Toeplitz Integralgleichungen und Gleichungen mit Unendlichvielen Unbekannten Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden 1928 ISBN 978 3 663 15348 1 doi 10 1007 978 3 663 15917 9 springer com abgerufen am 10 November 2022 Marshall Harvey Stone Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis American Mathematical Society New York 1932 ISBN 0 8218 1015 4 S 59 ff englisch archive org abgerufen am 10 November 2022 Dirk Werner Funktionalanalysis Springer Lehrbuch Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2018 ISBN 978 3 662 55406 7 S 260 ff doi 10 1007 978 3 662 55407 4 springer com abgerufen am 10 November 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Hellinger Toeplitz amp oldid 227870640