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Satz von Hadwiger Integralgeometrie Der Satz von Hadwiger ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Integralgeo

Satz von Hadwiger (Integralgeometrie)

Der Satz von Hadwiger ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Integralgeometrie. Er besagt, dass jede stetige und unter Isometrien invariante Bewertung kompakter, konvexer Teilmengen des eine Linearkombination von Quermaßintegralen ist.

Begriffe Bearbeiten

Eine stetige Bewertung ist ein reellwertiges Funktional auf der Menge aller kompakten, konvexen Teilmengen mit und für alle , welches stetig bezüglich der Hausdorff-Metrik ist.

Die Quermaßintegrale sind Funktionale , die als Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung

für die Einheitskugel und jeden kompakten, konvexen Körper definiert sind.

Satz von Hadwiger Bearbeiten

Jede stetige Bewertung , die invariant unter allen Isometrien des ist, ist eine Linearkombination von Quermaßintegralen:

mit von unabhängigen Koeffizienten .

Literatur Bearbeiten

  • D.A. Klain, G.-C. Rota: Introduction to geometric probability. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-59362-X (archive.org).
  • B. Chen: A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem. In: Geom. Dedicata. 105. Jahrgang, 2004, S. 107–120, doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46.
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Der Satz von Hadwiger ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Integralgeometrie Er besagt dass jede stetige und unter Isometrien invariante Bewertung kompakter konvexer Teilmengen des R n displaystyle mathbb R n eine Linearkombination von Quermassintegralen ist Begriffe BearbeitenEine stetige Bewertung ist ein reellwertiges Funktional v displaystyle v nbsp auf der Menge aller kompakten konvexen Teilmengen K R n displaystyle K subset mathbb R n nbsp mit v 0 displaystyle v emptyset 0 nbsp und v S T v S T v S v T displaystyle v S cup T v S cap T v S v T nbsp fur alle S T displaystyle S T nbsp welches stetig bezuglich der Hausdorff Metrik ist Die Quermassintegrale sind Funktionale W 0 W n displaystyle W 0 ldots W n nbsp die als Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung V o l n K t B n j 0 n n j W j K t j displaystyle mathrm Vol n K tB n sum j 0 n binom n j W j K t j nbsp fur die Einheitskugel B n displaystyle B n nbsp und jeden kompakten konvexen Korper K R n displaystyle K subset mathbb R n nbsp definiert sind Satz von Hadwiger BearbeitenJede stetige Bewertung v displaystyle v nbsp die invariant unter allen Isometrien des R n displaystyle mathbb R n nbsp ist ist eine Linearkombination von Quermassintegralen v K j 0 n c j W j K displaystyle v K sum j 0 n c j W j K nbsp mit von K displaystyle K nbsp unabhangigen Koeffizienten c j displaystyle c j nbsp Literatur BearbeitenD A Klain G C Rota Introduction to geometric probability Cambridge University Press Cambridge 1997 ISBN 0 521 59362 X archive org B Chen A simplified elementary proof of Hadwiger s volume theorem In Geom Dedicata 105 Jahrgang 2004 S 107 120 doi 10 1023 b geom 0000024665 02286 46 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Hadwiger Integralgeometrie amp oldid 199859248