Der Satz von Euler der Vierecksgeometrie ist ein geometrischer Lehrsatz der eine grundlegende Identitatsgleichung uber den Zusammenhang zwischen den Seitenlangen eines Vierecks und den Langen seiner beiden Diagonalen angibt Der Satz ist einer der vielen Beitrage des grossen Schweizer Mathematikers Leonhard Euler zur Elementargeometrie Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Folgerung 3 Hilfssatz 4 Literatur 5 Weblinks 6 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung des Satzes Bearbeiten nbsp Bild zum EulerviereckDer Satz lautet wie folgt 1 Gegeben sei ein konvexes Viereck A B C D displaystyle square ABCD nbsp der euklidischen Ebene Auf den beiden Diagonalen A C e displaystyle AC e nbsp und B D f displaystyle BD f nbsp seien M displaystyle M nbsp bzw N displaystyle N nbsp die beiden Mittelpunkte Dann gilt A B 2 B C 2 C D 2 A D 2 A C 2 B D 2 4 M N 2 displaystyle AB 2 BC 2 CD 2 AD 2 AC 2 BD 2 4 cdot MN 2 nbsp dd odera 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 4 g 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 4 cdot g 2 nbsp dd Folgerung BearbeitenAus dem Satz von Euler folgt unmittelbar die bekannte Parallelogrammgleichung Denn im Falle dass A B C D displaystyle square ABCD nbsp ein Parallelogramm ist folgt M N displaystyle M N nbsp also M N g 0 displaystyle MN g 0 nbsp sowie A B C D a c displaystyle AB CD a c nbsp und B C A D b d displaystyle BC AD b d nbsp und damit 2 A B 2 B C 2 A C 2 B D 2 displaystyle 2 cdot AB 2 BC 2 AC 2 BD 2 nbsp oder 2 a 2 c 2 e 2 f 2 displaystyle 2 cdot a 2 c 2 e 2 f 2 nbsp Hilfssatz Bearbeiten nbsp Bild zum DreieckDer Satz von Euler lasst sich unter Zuhilfenahme des folgenden Hilfssatzes herleiten Fur ein Dreieck A B C displaystyle triangle ABC nbsp der euklidischen Ebene dessen Seite B C displaystyle BC nbsp den Mittelpunkt M displaystyle M nbsp hat gilt stets A B 2 A C 2 2 A M 2 B M 2 2 A M 2 C M 2 displaystyle AB 2 AC 2 2 cdot AM 2 BM 2 2 cdot AM 2 CM 2 nbsp dd oderb 2 c 2 2 a 2 2 e 2 displaystyle b 2 c 2 2 cdot left left frac a 2 right 2 e 2 right nbsp dd Die soeben genannte Gleichung welche offenbar eine andere Version der Apollonios Gleichung darstellt wurde schon von Apollonios von Perge angegeben Sie ist auch bei Pappus Alexandrinus zu finden 2 3 Literatur BearbeitenFriedrich Joseph Pythagoras Riecke Hrsg Mathematische Unterhaltungen Erstes Heft Dr Martin Sandig Walluf bei Wiesbaden 1973 ISBN 3 500 26010 1 Unveranderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867 1873 4 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Satz von Euler Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Friedrich Joseph Pythagoras Riecke Hrsg Mathematische Unterhaltungen Erstes Heft 1973 S 65 Riecke op cit S 31 65 Der Hilfssatz lasst sich sowohl aus dem Satz von Stewart als auch mit dem Kosinussatz herleiten Vgl Artikel uber Riecke auf Wikisource Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Euler Vierecksgeometrie amp oldid 213802153
