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Satz von Erdős Kac Der Satz von Erdős Kac ˈɛrdøːʃ kaʦ von Paul Erdős und Mark Kac ist ein Satz aus der Zahlentheorie und

Satz von Erdős-Kac

Der Satz von Erdős–Kac [ˈɛrdøːʃ-kaʦ] von Paul Erdős und Mark Kac ist ein Satz aus der Zahlentheorie und besagt, dass die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren einer zufällig gezogenen Zahl aus der Menge für große annähernd normalverteilt ist. Das gleiche Resultat gilt für die mit Vielfachheit gezählten Primfaktoren .

Genauer gilt, wenn die Anzahl der voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl bezeichnet, für feste mit

wobei die Kardinalität bedeutet und

die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung ist, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik häufig als Grenzwert von Verteilungen auftritt.

Heuristische Motivation Bearbeiten

Sind und zwei verschiedene Primzahlen und ist eine große Zahl, so ist jede aus den Zahlen von 1 bis gleich wahrscheinlich gezogene Zahl ungefähr mit Wahrscheinlichkeit durch , ungefähr mit Wahrscheinlichkeit durch und ungefähr mit Wahrscheinlichkeit durch und teilbar. Die Ereignisse und sind also annähernd stochastisch unabhängig. Die Funktion lässt sich als Summe annähernd unabhängiger Indikatorfunktionen

darstellen und sollte daher für große durch die Normalverteilung approximiert werden.

Geschichte Bearbeiten

Histogramm von Ω(n) mit n = 1, …, 107

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Hardy-Ramanujan über die durchschnittliche asymptotische Anzahl der Primfaktoren. Erdős hörte Kac den Satz als Vermutung in einer Vorlesung in Princeton aussprechen und kam mit dem Beweis kurz nach Ende des Vortrags. Der Satz wurde 1940 von Erdős und Kac veröffentlicht, blieb für zehn Jahre weitgehend unbeachtet und wurde 1958 von Alfréd Rényi und Paul Turán in einer Version mit explizitem Fehlerterm bewiesen. Nach Einschätzung von Kac markiert der Satz „den Einzug des Gesetzes der Normalverteilung […] in die Zahlentheorie und war die Geburtsstunde eines neuen Zweiges dieser altehrwürdigen Disziplin“, der probabilistischen Zahlentheorie.

Quellen Bearbeiten

  • Paul Erdős and Mark Kac: The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions. In: American Journal of Mathematics. Band 62, Nr. 1/4, (1940), Seiten 738–742.
  • Mark Kac: Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. Wiley, New York 1959.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. G. H. Hardy, S. Ramanujan: The normal number of prime factors of a number. Quart. J. Math. 48 (1917), S. 76–92.
  2. Bruce Schechter: Mein Geist ist offen. Birkhäuser, Basel 1999.
  3. Mark Kac: Enigmas of Chance. University of California Press, Berkeley 1974.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Erdos Kac ˈɛrdoːʃ kaʦ von Paul Erdos und Mark Kac ist ein Satz aus der Zahlentheorie und besagt dass die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren w n displaystyle omega n einer zufallig gezogenen Zahl n displaystyle n aus der Menge 1 2 3 N displaystyle 1 2 3 dotsc N fur grosse N N displaystyle N in mathbb N annahernd normalverteilt ist Das gleiche Resultat gilt fur die mit Vielfachheit gezahlten Primfaktoren W n displaystyle Omega n Genauer gilt wenn w n displaystyle omega n die Anzahl der voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl n N displaystyle n in mathbb N bezeichnet fur feste a b R displaystyle a b in mathbb R mit a lt b displaystyle a lt b lim N 1 N n 1 N a w n ln ln N ln ln N b a b f u d u displaystyle lim N to infty frac 1 N left left n in 1 dotsc N mid a leq frac omega n ln ln N sqrt ln ln N leq b right right int a b varphi u rm d u wobei displaystyle cdot die Kardinalitat bedeutet und f u 1 2 p e u 2 2 displaystyle varphi u frac 1 sqrt 2 pi e u 2 2 die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung ist die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik haufig als Grenzwert von Verteilungen auftritt Heuristische Motivation BearbeitenSind p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp zwei verschiedene Primzahlen und ist N displaystyle N nbsp eine grosse Zahl so ist jede aus den Zahlen von 1 bis N displaystyle N nbsp gleich wahrscheinlich gezogene Zahl n displaystyle n nbsp ungefahr mit Wahrscheinlichkeit 1 p displaystyle frac 1 p nbsp durch p displaystyle p nbsp ungefahr mit Wahrscheinlichkeit 1 q displaystyle frac 1 q nbsp durch q displaystyle q nbsp und ungefahr mit Wahrscheinlichkeit 1 p q displaystyle frac 1 pq nbsp durch p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp teilbar Die Ereignisse n p teilt n displaystyle n mid p text teilt n nbsp und n q teilt n displaystyle n mid q text teilt n nbsp sind also annahernd stochastisch unabhangig Die Funktion w n displaystyle omega n nbsp lasst sich als Summe annahernd unabhangiger Indikatorfunktionen w n p p ist prim 1 n p teilt n displaystyle omega n sum p colon p text ist prim 1 n mid p text teilt n nbsp darstellen und sollte daher fur grosse N displaystyle N nbsp durch die Normalverteilung approximiert werden Geschichte Bearbeiten nbsp Histogramm von W n mit n 1 107Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Hardy Ramanujan 1 uber die durchschnittliche asymptotische Anzahl der Primfaktoren Erdos horte Kac den Satz als Vermutung in einer Vorlesung in Princeton aussprechen und kam mit dem Beweis kurz nach Ende des Vortrags 2 Der Satz wurde 1940 von Erdos und Kac veroffentlicht blieb fur zehn Jahre weitgehend unbeachtet und wurde 1958 von Alfred Renyi und Paul Turan in einer Version mit explizitem Fehlerterm bewiesen Nach Einschatzung von Kac markiert der Satz den Einzug des Gesetzes der Normalverteilung in die Zahlentheorie und war die Geburtsstunde eines neuen Zweiges dieser altehrwurdigen Disziplin 3 der probabilistischen Zahlentheorie Quellen BearbeitenPaul Erdos and Mark Kac The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions In American Journal of Mathematics Band 62 Nr 1 4 1940 Seiten 738 742 Mark Kac Statistical Independence in Probability Analysis and Number Theory Wiley New York 1959 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Erdos Kac Theorem In MathWorld englisch Die Originalarbeit PDF 863 kB auf den Seiten des Alfred Renyi Institute of Mathematics englisch Einzelnachweise Bearbeiten G H Hardy S Ramanujan The normal number of prime factors of a number Quart J Math 48 1917 S 76 92 Bruce Schechter Mein Geist ist offen Birkhauser Basel 1999 Mark Kac Enigmas of Chance University of California Press Berkeley 1974 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Erdos Kac amp oldid 225612527