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Satz von Eilenberg Zilber Der benannt nach S Eilenberg und J A Zilber ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der

Satz von Eilenberg-Zilber

Der Satz von Eilenberg-Zilber, benannt nach S. Eilenberg und J. A. Zilber, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er stellt einer Verbindung zwischen den singulären Homologiegruppen eines kartesischen Produktes zweier topologischer Räume und Homologiegruppen der Räume selbst her.

Tensorprodukte von Kettenkomplexen Bearbeiten

Sind und zwei Kettenkomplexe, so sei das Tensorprodukt der Kettenkomplex mit

Damit ist auf Erzeugern erklärt, und die Rechnung

zeigt, dass tatsächlich wieder ein Kettenkomplex vorliegt.

Wenn die Randoperatoren bzw. nicht besonders erwähnt werden sollen, so schreibt man auch einfach , das gilt insbesondere für singuläre Kettenkomplexe topologischer Räume , bei denen die Randoperatoren gegeben sind.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Sind und topologische Räume, so ist der singuläre Kettenkomplex des Produktraumes ketten-homotopieäquivalent zum Tensorprodukt .

Bedeutung Bearbeiten

Wegen der Homotopieäquivalenz haben und dieselben Homologiegruppen. Die Berechnung der singulären Homologiegruppen eines Produktraumes ist daher auf ein Problem der homologischen Algebra zurückgeführt, nämlich auf die Berechnung der Homologie eines Tensorproduktes von Kettenkomplexen. Dieses algebraische Problem ist durch den Satz von Künneth gelöst.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homotopy and Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 212 (1975), ISBN 3-540-06758-2, Theorem 13.30
  2. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology, Springer-Verlag (1966), ISBN 0-387-90646-0, Kapitel 5, §3, Theorem 6
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Der Satz von Eilenberg Zilber benannt nach S Eilenberg und J A Zilber ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie Er stellt einer Verbindung zwischen den singularen Homologiegruppen eines kartesischen Produktes zweier topologischer Raume und Homologiegruppen der Raume selbst her Inhaltsverzeichnis 1 Tensorprodukte von Kettenkomplexen 2 Formulierung des Satzes 3 Bedeutung 4 EinzelnachweiseTensorprodukte von Kettenkomplexen BearbeitenSind C d displaystyle C d nbsp und C d displaystyle C d nbsp zwei Kettenkomplexe so sei das Tensorprodukt C d C d displaystyle C d otimes C d nbsp der Kettenkomplex C d displaystyle C d nbsp mit C n i j n C i C j displaystyle C n bigoplus i j n C i otimes C j nbsp d n c i c j d i c i c j 1 i c i d j c j displaystyle d n c i otimes c j d i c i otimes c j 1 i c i otimes d j c j nbsp wobei c i C i c j C j i j n displaystyle c i in C i c j in C j i j n nbsp Damit ist d n displaystyle d n nbsp auf Erzeugern erklart und die Rechnung d n 1 d n c i c j d n 1 d i c i c j 1 i d n 1 c i d j c j displaystyle d n 1 d n c i otimes c j d n 1 d i c i otimes c j 1 i d n 1 c i otimes d j c j nbsp d i 1 d i c i 0 c j 1 i 1 d i c i d j c j 1 i d i c i d j c j 0 1 i 1 i 1 c i d j 1 d j c j 0 0 displaystyle underbrace d i 1 d i c i 0 otimes c j underbrace 1 i 1 d i c i otimes d j c j 1 i d i c i otimes d j c j 0 1 i 1 i 1 c i otimes underbrace d j 1 d j c j 0 0 nbsp zeigt dass tatsachlich wieder ein Kettenkomplex vorliegt Wenn die Randoperatoren d d displaystyle d d nbsp bzw d displaystyle d nbsp nicht besonders erwahnt werden sollen so schreibt man auch einfach C C C displaystyle C C otimes C nbsp das gilt insbesondere fur singulare Kettenkomplexe S X displaystyle S X nbsp topologischer Raume X displaystyle X nbsp bei denen die Randoperatoren gegeben sind Formulierung des Satzes BearbeitenSind X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp topologische Raume so ist der singulare Kettenkomplex S X Y displaystyle S X times Y nbsp des Produktraumes ketten homotopieaquivalent zum Tensorprodukt S X S Y displaystyle S X otimes S Y nbsp 1 2 Bedeutung BearbeitenWegen der Homotopieaquivalenz haben S X Y displaystyle S X times Y nbsp und S X S Y displaystyle S X otimes S Y nbsp dieselben Homologiegruppen Die Berechnung der singularen Homologiegruppen eines Produktraumes ist daher auf ein Problem der homologischen Algebra zuruckgefuhrt namlich auf die Berechnung der Homologie eines Tensorproduktes von Kettenkomplexen Dieses algebraische Problem ist durch den Satz von Kunneth gelost Einzelnachweise Bearbeiten Robert M Switzer Algebraic Topology Homotopy and Homology Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 212 1975 ISBN 3 540 06758 2 Theorem 13 30 Edwin H Spanier Algebraic Topology Springer Verlag 1966 ISBN 0 387 90646 0 Kapitel 5 3 Theorem 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Eilenberg Zilber amp oldid 199855631