Der Satz von Chintschin benannt nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin 1894 1959 ist ein Lehrsatz der Zahlentheorie Er war ein Vorlaufer der metrischen Theorie diophantischer Approximation und fand eine weitreichende Verallgemeinerung in der Duffin Schaeffer Vermutung Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Beispiele 3 Simultane Approximation 4 Literatur 5 WeblinksFormulierung des Satzes BearbeitenMit N displaystyle mathbb N nbsp bezeichnen wir die naturlichen Zahlen ohne die Null Sei ϕ q N R displaystyle phi q mathbb N to mathbb R nbsp eine monoton fallende Funktion und l displaystyle lambda nbsp das eindimensionale Lebesgue Mass Fur eine reelle Zahl a displaystyle alpha nbsp bezeichnen wir mit aq displaystyle Vert alpha q Vert nbsp den Abstand von aq displaystyle alpha q nbsp zur nachstliegenden ganzen Zahl aq minz Z aq z displaystyle Vert alpha q Vert min limits z in mathbb Z alpha q z nbsp Sei f R N displaystyle f mathbb R to mathbb N nbsp die Funktion die die Anzahl der Losungen q N displaystyle q in mathbb N nbsp der Ungleichung aq lt ϕ q displaystyle Vert alpha q Vert lt phi q nbsp zahlt f a q N aq lt ϕ q displaystyle f alpha q in mathbb N Vert alpha q Vert lt phi q nbsp Eine Zahl a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp heisst ϕ displaystyle phi nbsp approximierbar falls f a displaystyle f alpha infty nbsp Fur die Menge der ϕ displaystyle phi nbsp approximierbaren Zahlen gelten nun folgende Aussagen bezuglich des Lebesgue Mass Wenn q 1 ϕ q displaystyle sum q 1 infty phi q infty nbsp dann ist l a R f a 1 displaystyle lambda alpha in mathbb R f alpha infty 1 nbsp Wenn q 1 ϕ q lt displaystyle sum q 1 infty phi q lt infty nbsp dann ist l a R f a 0 displaystyle lambda alpha in mathbb R f alpha infty 0 nbsp Eine aquivalente Formulierung besagt dass unter obigen Voraussetzungen gilt Wenn die Reihe q 1 ϕ q displaystyle sum q 1 infty phi q nbsp divergiert dann gibt es fur Lebesgue fast alle a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp unendlich viele rationale Zahlen pq displaystyle frac p q nbsp mit a pq lt F q q displaystyle vert alpha frac p q vert lt frac Phi q q nbsp Wenn die Reihe q 1 ϕ q displaystyle sum q 1 infty phi q nbsp konvergiert dann gibt es fur Lebesgue fast allea R displaystyle alpha in mathbb R nbsp nur endlich viele rationale Zahlen pq displaystyle frac p q nbsp mit a pq lt F q q displaystyle vert alpha frac p q vert lt frac Phi q q nbsp Beispiele BearbeitenFur fast alle a displaystyle alpha nbsp gibt es unendlich viele rationale Zahlen pq displaystyle frac p q nbsp mit a pq lt 1q2ln q displaystyle vert alpha frac p q vert lt frac 1 q 2 ln q nbsp Dagegen gibt es fur ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp fur fast alle a displaystyle alpha nbsp nur endlich viele rationale Zahlen pq displaystyle frac p q nbsp mit a pq lt 1q2 ln q 1 ϵ displaystyle vert alpha frac p q vert lt frac 1 q 2 ln q 1 epsilon nbsp Simultane Approximation BearbeitenDie mehrdimensionale Version des Satzes von Chintschin besagt Wenn die Reihe q 1 ϕ q n displaystyle sum q 1 infty phi q n nbsp divergiert dann hat fur Lebesgue fast alle a a1 an Rn displaystyle alpha alpha 1 ldots alpha n in mathbb R n nbsp das Ungleichungssystem max a1q anq lt ϕ q displaystyle max Vert alpha 1 q Vert ldots Vert alpha n q Vert lt phi q nbsp unendlich viele ganzzahlige Losungen q 1 displaystyle q geq 1 nbsp Wenn die Reihe q 1 ϕ q displaystyle sum q 1 infty phi q nbsp konvergiert dann hat fur Lebesgue fast alle a a1 an Rn displaystyle alpha alpha 1 ldots alpha n in mathbb R n nbsp das Ungleichungssystem max a1q anq lt ϕ q displaystyle max Vert alpha 1 q Vert ldots Vert alpha n q Vert lt phi q nbsp nur endlich viele ganzzahlige Losungen q 1 displaystyle q geq 1 nbsp Literatur BearbeitenA J Chintschin Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen Math Z 24 706 714 1926 J W Cassels An introduction to diophantine approximation Cambridge University Press 1957Weblinks Bearbeitendiophantine approximation metric theory of Encyclopedia of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Chintschin amp oldid 240161919
