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Duffin Schaeffer Vermutung Die Duffin Schaeffer Vermutung ist ein 2019 von Dimitris Koukoulopoulos und James Maynard bew

Duffin-Schaeffer-Vermutung

Die Duffin–Schaeffer-Vermutung ist ein 2019 von Dimitris Koukoulopoulos und James Maynard bewiesener und ursprünglich 1941 R. J. Duffin und A. C. Schaeffer vermuteter Lehrsatz der analytischen Zahlentheorie.

Aussage Bearbeiten

Sei eine beliebige Funktion, die positive Werte annimmt. Dann gibt es genau dann für Lebesgue-fast alle unendlich viele rationale Zahlen mit teilerfremden mit

wenn

mit der Eulerschen Phi-Funktion gilt.

Die Hinrichtung folgt aus dem Borel-Cantelli-Lemma. Koukoulopoulos und Maynard bewiesen 2019 die Rückrichtung.

Beispiele Bearbeiten

Für folgt aus dem Approximationssatz von Dirichlet, dass alle irrationale Zahlen die gewünschte Eigenschaft haben. Der Satz von Chintschin gibt die Aussage der Duffin-Schaeffer-Vermutung für den Fall, dass eine monoton fallende Folge und ist.

Literatur Bearbeiten

  • Duffin-Schaeffer: Khintchine's problem in metric diophantine approximation, Duke Math. J. 8, 243–255 (1941)
  • Koukoulopoulos-Maynard: On the Duffin-Shaeffer conjecture, Ann. Math. 192, 251–307 (2020)

Weblinks Bearbeiten

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Die Duffin Schaeffer Vermutung ist ein 2019 von Dimitris Koukoulopoulos und James Maynard bewiesener und ursprunglich 1941 R J Duffin und A C Schaeffer vermuteter Lehrsatz der analytischen Zahlentheorie Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beispiele 3 Literatur 4 WeblinksAussage BearbeitenSei f N R displaystyle f mathbb N rightarrow mathbb R nbsp eine beliebige Funktion die positive Werte annimmt Dann gibt es genau dann fur Lebesgue fast alle a displaystyle alpha nbsp unendlich viele rationale Zahlen pq displaystyle tfrac p q nbsp mit teilerfremden p q N displaystyle p q in mathbb N nbsp mit a pq lt f q q displaystyle left alpha frac p q right lt frac f q q nbsp wenn q 1 f q f q q displaystyle sum q 1 infty f q frac varphi q q infty nbsp mit der Eulerschen Phi Funktion f q displaystyle varphi q nbsp gilt Die Hinrichtung folgt aus dem Borel Cantelli Lemma Koukoulopoulos und Maynard bewiesen 2019 die Ruckrichtung Beispiele BearbeitenFur f q 1q displaystyle f q frac 1 q nbsp folgt aus dem Approximationssatz von Dirichlet dass alle irrationale Zahlen a displaystyle alpha nbsp die gewunschte Eigenschaft haben Der Satz von Chintschin gibt die Aussage der Duffin Schaeffer Vermutung fur den Fall dass qf q q N displaystyle qf q q in mathbb N nbsp eine monoton fallende Folge und q 1 f q displaystyle sum q 1 infty f q infty nbsp ist Literatur BearbeitenDuffin Schaeffer Khintchine s problem in metric diophantine approximation Duke Math J 8 243 255 1941 Koukoulopoulos Maynard On the Duffin Shaeffer conjecture Ann Math 192 251 307 2020 Weblinks BearbeitenDuffin Schaeffer conjecture Encyclopedia of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Duffin Schaeffer Vermutung amp oldid 239537840