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Satz vom regulären Wert Der ist ein Resultat aus der Differentialtopologie Auf Englisch heißt dieser Satz Preimage Theor

Satz vom regulären Wert

Der Satz vom regulären Wert ist ein Resultat aus der Differentialtopologie. Auf Englisch heißt dieser Satz Preimage Theorem. Mit Hilfe des Satzes ist es möglich, konstruktiv Untermannigfaltigkeiten zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zu finden.

Satz Bearbeiten

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei eine differenzierbare Abbildung. Außerdem sei ein regulärer Wert von . Dann ist die Menge

eine abgeschlossene, differenzierbare Untermannigfaltigkeit von . Für den Tangentialraum gilt dann

wobei das Differential von im Punkt bezeichne.

Falls endlichdimensional ist, so gilt für die Kodimension von

Dies folgt aus der Aussage über den Tangentialraum. Falls noch zusätzlich endlichdimensional ist, kann man die Dimension von mit Hilfe der Formel

berechnen.

Beispiel Bearbeiten

Mit Hilfe des Satzes kann man zeigen, dass die -dimensionale Einheitssphäre eine Untermannigfaltigkeit des ist. Es sei

Dann gilt . Es muss nur noch gezeigt werden, dass 1 ein regulärer Wert ist. Dies sieht man durch

Der Operator steht für die Matrixtransposition. Nur für wird der Term null. Für alle anderen gilt für den Rang

Also ist insbesondere das Differential für surjektiv und damit ist eine reelle Untermannigfaltigkeit.

Literatur Bearbeiten

  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7, S. 118f.
  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). Springer, New York NY 1988, ISBN 0-387-96790-7.
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Der Satz vom regularen Wert ist ein Resultat aus der Differentialtopologie Auf Englisch heisst dieser Satz Preimage Theorem Mit Hilfe des Satzes ist es moglich konstruktiv Untermannigfaltigkeiten zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zu finden Satz BearbeitenEs seien M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei f M N displaystyle f colon M to N nbsp eine differenzierbare Abbildung Ausserdem sei n displaystyle n nbsp ein regularer Wert von f displaystyle f nbsp Dann ist die Menge U f 1 n m M f m n displaystyle U f 1 n m in M mid f m n nbsp eine abgeschlossene differenzierbare Untermannigfaltigkeit von M displaystyle M nbsp Fur den Tangentialraum gilt dann T m U Kern D f m displaystyle T m U operatorname Kern Df m nbsp wobei D f m displaystyle Df m nbsp das Differential von f displaystyle f nbsp im Punkt m displaystyle m nbsp bezeichne Falls N displaystyle N nbsp endlichdimensional ist so gilt fur die Kodimension von U displaystyle U nbsp codim U dim N displaystyle operatorname codim U dim N nbsp Dies folgt aus der Aussage uber den Tangentialraum Falls M displaystyle M nbsp noch zusatzlich endlichdimensional ist kann man die Dimension von U displaystyle U nbsp mit Hilfe der Formel dim U dim M codim U dim M dim N displaystyle dim U dim M operatorname codim U dim M dim N nbsp berechnen Beispiel BearbeitenMit Hilfe des Satzes kann man zeigen dass die n displaystyle n nbsp dimensionale Einheitssphare S n displaystyle mathbb S n nbsp eine Untermannigfaltigkeit des R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp ist Es sei f R n 1 R displaystyle f colon mathbb R n 1 to mathbb R nbsp definiert durch f x x 2 i 1 n 1 x i 2 displaystyle f x x 2 sum i 1 n 1 x i 2 nbsp Dann gilt S n f 1 1 displaystyle mathbb S n f 1 1 nbsp Es muss nur noch gezeigt werden dass 1 ein regularer Wert ist Dies sieht man durch D f x D x 2 2 x t displaystyle Df x D x 2 2x t nbsp Der Operator t displaystyle t nbsp steht fur die Matrixtransposition Nur fur x 0 displaystyle x 0 nbsp wird der Term 2 x t displaystyle 2x t nbsp null Fur alle anderen x R n 1 displaystyle x in mathbb R n 1 nbsp gilt fur den Rang Rg 2 x t 1 displaystyle operatorname Rg 2x t 1 nbsp Also ist insbesondere das Differential fur x 1 displaystyle x 1 nbsp surjektiv und damit ist S n displaystyle mathbb S n nbsp eine reelle Untermannigfaltigkeit Literatur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis Band 2 3 uberarbeitete Auflage Springer Berlin u a 2000 ISBN 3 540 66902 7 S 118f R Abraham J E Marsden T Ratiu Manifolds Tensor Analysis and Applications Applied Mathematical Sciences 75 Springer New York NY 1988 ISBN 0 387 96790 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz vom regularen Wert amp oldid 232177575