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Riemannscher homogener Raum Im mathematischen Gebiet der Differenzialgeometrie ist ein häufig auch nur Homogener Raum ei

Riemannscher homogener Raum

Im mathematischen Gebiet der Differenzialgeometrie ist ein Riemannscher homogener Raum (häufig auch nur Homogener Raum) ein Raum, der „in allen Punkten gleich aussieht“.

Definition Bearbeiten

Ein Riemannscher homogener Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit , deren Isometriegruppe transitiv wirkt, d. h. zu je zwei Punkten gibt es eine Isometrie mit .

Beschreibung mittels Lie-Gruppen Bearbeiten

Jeder Riemannsche homogene Raum ist von der Form

für eine Lie-Gruppe und eine kompakte Untergruppe .

Umgekehrt ist für eine Lie-Gruppe und eine abgeschlossene Untergruppe der Quotientenraum eine Hausdorffsche differenzierbare Mannigfaltigkeit und jedes unter der adjungierten Wirkung von auf der Lie-Algebra invariante Skalarprodukt definiert eine links-invariante Riemannsche Metrik, mit der ein Riemannscher homogener Raum wird. Ein solches -invariantes Skalarprodukt auf existiert genau dann, wenn kompakt ist.

Riemannsche Metrik Bearbeiten

Ein Riemannscher homogener Raum hat nach Definition eine -invariante Metrik, die sich zu einer links-invarianten Metrik auf hochheben lässt. Die Quotientenabbildung ist bzgl. dieser Metriken eine Riemannsche Submersion. Insbesondere kann man die Krümmung von mit der O’Neill-Formel berechnen, wenn man die Krümmung von kennt.

Beispiele Bearbeiten

  • Jede Lie-Gruppe mit einer links-invarianten Metrik ist ein Riemannscher homogener Raum.
  • Jeder symmetrische Raum ist ein Riemannscher homogener Raum.
  • Es gibt nicht-Riemannsche homogene Räume mit einer nicht-kompakten Untergruppe .

Literatur Bearbeiten

  • Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1975.
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Gebiet der Differenzialgeometrie ist ein Riemannscher homogener Raum haufig auch nur Homogener Raum ein Raum der in allen Punkten gleich aussieht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beschreibung mittels Lie Gruppen 3 Riemannsche Metrik 4 Beispiele 5 LiteraturDefinition BearbeitenEin Riemannscher homogener Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp deren Isometriegruppe transitiv wirkt d h zu je zwei Punkten x y M displaystyle x y in M nbsp gibt es eine Isometrie g Isom M displaystyle g in operatorname Isom M nbsp mit g x y displaystyle g x y nbsp Beschreibung mittels Lie Gruppen BearbeitenJeder Riemannsche homogene Raum ist von der Form M G H displaystyle M G H nbsp fur eine Lie Gruppe G displaystyle G nbsp und eine kompakte Untergruppe H G displaystyle H subset G nbsp Umgekehrt ist fur eine Lie Gruppe G displaystyle G nbsp und eine abgeschlossene Untergruppe H displaystyle H nbsp der Quotientenraum G H displaystyle G H nbsp eine Hausdorffsche differenzierbare Mannigfaltigkeit und jedes unter der adjungierten Wirkung von H displaystyle H nbsp auf der Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp invariante Skalarprodukt definiert eine links invariante Riemannsche Metrik mit der G H displaystyle G H nbsp ein Riemannscher homogener Raum wird Ein solches A d H displaystyle Ad H nbsp invariantes Skalarprodukt auf g displaystyle mathfrak g nbsp existiert genau dann wenn H displaystyle H nbsp kompakt ist Riemannsche Metrik BearbeitenEin Riemannscher homogener Raum G H displaystyle G H nbsp hat nach Definition eine G displaystyle G nbsp invariante Metrik die sich zu einer links invarianten Metrik auf G displaystyle G nbsp hochheben lasst Die Quotientenabbildung G G H displaystyle G to G H nbsp ist bzgl dieser Metriken eine Riemannsche Submersion Insbesondere kann man die Krummung von G H displaystyle G H nbsp mit der O Neill Formel berechnen wenn man die Krummung von G displaystyle G nbsp kennt Beispiele BearbeitenJede Lie Gruppe mit einer links invarianten Metrik ist ein Riemannscher homogener Raum Jeder symmetrische Raum ist ein Riemannscher homogener Raum Es gibt nicht Riemannsche homogene Raume G H displaystyle G H nbsp mit einer nicht kompakten Untergruppe H G displaystyle H subset G nbsp Literatur BearbeitenJeff Cheeger David G Ebin Comparison theorems in Riemannian geometry North Holland Mathematical Library Vol 9 North Holland Publishing Co Amsterdam Oxford American Elsevier Publishing Co Inc New York 1975 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Riemannscher homogener Raum amp oldid 203019190