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Reversionspendel Ein ist in der Gravimetrie ein Pendel zur Messung der Schwerebeschleunigung Es ist durch die Verschiebb

Reversionspendel

Ein Reversionspendel ist in der Gravimetrie ein Pendel zur Messung der Schwerebeschleunigung. Es ist durch die Verschiebbarkeit der Aufhängungspunkte (auch Schneiden genannt) oder alternativ durch die Veränderbarkeit der Massenverteilung (verschiebbare Massen) charakterisiert.

Pendelapparat mit Sekunden-Reversionspendel von Adolf Repsold aus dem Jahre 1869, GeoForschungsZentrum, Potsdam

Je nach Bauart müssen die Aufhängungspunkte oder die Massen so verschoben werden, dass die Schwingung um den ersten Aufhängungspunkt dieselbe Periodendauer wie die Schwingung um den zweiten Aufhängungspunkt hat. Der Abstand zwischen den Aufhängungspunkten entspricht dann der reduzierten Pendellänge. Mit der Periodendauer kann daraus die Schwerebeschleunigung bestimmt werden. Damit wird das schwierige Problem umgangen, das Trägheitsmoment des Pendels genau bestimmen zu müssen.

Mit diesem Verfahren konnte bereits im 19. Jahrhundert die Erdbeschleunigung auf etwa ein Millionstel ihres Wertes bestimmt werden (siehe Pendelapparat von Sterneck). Die um die Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten Gravimeter nach dem Prinzip der Federwaage erreichten diese Genauigkeit nur durch hohen Aufwand an Konstruktion, Rechenmethoden und Reduktion, sind aber mittlerweile um den Faktor 10 bis 100 genauer.

Nach Angabe mehrerer Quellen wurde das Reversionspendel von Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger erfunden. Außerhalb des deutschen Sprachraums hat sich für das Reversionspendel weitgehend die Bezeichnung Katers Pendel durchgesetzt, die sich auf die Konstruktion des britischen Physikers Henry Kater aus dem Jahre 1817 bezieht.

Messung der Schwerebeschleunigung Bearbeiten

Zuerst wird die Periodendauer des Pendels bestimmt, wenn es um die erste Schneide schwingt, dann die Periodendauer bei Schwingungen um die zweite Schneide. Sind die Periodendauern nicht gleich, müssen die Schneiden oder Massen verschoben werden. Dieser Prozess wird so lange wiederholt, bis beide Periodendauern gleich lang sind. Anschließend muss der Abstand zwischen den Schneiden bestimmt werden, um die Schwerebeschleunigung mit folgender Formel berechnen zu können

Die Auslenkung des Pendels sollte dabei möglichst klein gehalten werden, weil die obige Formel mit der Kleinwinkelnäherung hergeleitet wird.

Herleitung des Funktionsprinzips Bearbeiten

Schematischer Aufbau eines Reversionspendels mit verschiebbaren Massen

Für die Periodendauer eines Pendels bei kleiner Auslenkung mit der reduzierten Pendellänge gilt

Wenn das Pendel so eingestellt ist, dass die Periodendauer um die erste Schneide gleich der Periodendauer um die zweite Schneide ist, sind auch die reduzierten Pendellängen und gleich.

Zusammen mit der Formel für die reduzierte Pendellänge gilt damit

Dabei ist das Trägheitsmoment, die Gesamtmasse des Pendels und der Abstand der Rotationsachse vom Schwerpunkt .

Mit dem Trägheitsmoment im Schwerpunkt gilt nach dem Steinerschen Satz für die beiden Trägheitsmomente

Ersetzt man die Trägheitsmomente in der obigen Gleichung und formt um, erhält man

und nach weiterem Umformen

Eine Lösung dieser Gleichung ist . Umgeformt ergibt sich

Die Abstände und der beiden Schneiden vom Schwerpunkt ergeben zusammen den Abstand zwischen den beiden Schneiden: . Setzt man dies ein, erhält man

Das entspricht genau der Formel für die reduzierte Pendellänge , folglich ist der Abstand die reduzierte Pendellänge.

Für die Gleichung ist auch eine Lösung. Beide Schneiden sind dabei gleich weit vom Schwerpunkt entfernt und besitzen deshalb auch das gleiche Trägheitsmoment. Ihr Abstand muss dann aber nicht der reduzierten Pendellänge entsprechen. Die Schneiden dürfen deshalb nicht gleich weit vom Schwerpunkt entfernt sein, damit diese Methode funktioniert.

Literatur Bearbeiten

  • Friedrich Georg Wieck, Otto Wilhelm Alund: Naturkrafterna och deras användning (Naturkräfte und deren Anwendung, schwedisch). 1873–1875, S. 99, Website

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Schnieder: Fadenpendel und Reversionspendel. 27. März 2022, abgerufen am 13. März 2023.
  2. 1997 Uni Bonn (PDF; 13 kB)
  3. Uni Tübingen
  4. Katers Pendel, vgl. die entsprechenden Artikel in den fremdsprachigen Wikipedias (en:, fr:, nl:)
  5. Peter Schäfer: Versuch M9-Reversionspendel. 4. Mai 2018, abgerufen am 19. November 2020.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Reversionspendel ist in der Gravimetrie ein Pendel zur Messung der Schwerebeschleunigung Es ist durch die Verschiebbarkeit der Aufhangungspunkte auch Schneiden genannt oder alternativ durch die Veranderbarkeit der Massenverteilung verschiebbare Massen charakterisiert Pendelapparat mit Sekunden Reversionspendel von Adolf Repsold aus dem Jahre 1869 GeoForschungsZentrum PotsdamJe nach Bauart mussen die Aufhangungspunkte oder die Massen so verschoben werden dass die Schwingung um den ersten Aufhangungspunkt dieselbe Periodendauer wie die Schwingung um den zweiten Aufhangungspunkt hat Der Abstand zwischen den Aufhangungspunkten entspricht dann der reduzierten Pendellange Mit der Periodendauer kann daraus die Schwerebeschleunigung bestimmt werden Damit wird das schwierige Problem umgangen das Tragheitsmoment des Pendels genau bestimmen zu mussen 1 Mit diesem Verfahren konnte bereits im 19 Jahrhundert die Erdbeschleunigung g displaystyle g auf etwa ein Millionstel ihres Wertes bestimmt werden siehe Pendelapparat von Sterneck Die um die Mitte des 20 Jahrhunderts entwickelten Gravimeter nach dem Prinzip der Federwaage erreichten diese Genauigkeit nur durch hohen Aufwand an Konstruktion Rechenmethoden und Reduktion sind aber mittlerweile um den Faktor 10 bis 100 genauer Nach Angabe mehrerer Quellen wurde das Reversionspendel von Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger erfunden 2 3 Ausserhalb des deutschen Sprachraums hat sich fur das Reversionspendel weitgehend die Bezeichnung Katers Pendel 4 durchgesetzt die sich auf die Konstruktion des britischen Physikers Henry Kater aus dem Jahre 1817 bezieht Inhaltsverzeichnis 1 Messung der Schwerebeschleunigung 2 Herleitung des Funktionsprinzips 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseMessung der Schwerebeschleunigung BearbeitenZuerst wird die Periodendauer des Pendels bestimmt wenn es um die erste Schneide schwingt dann die Periodendauer bei Schwingungen um die zweite Schneide Sind die Periodendauern nicht gleich mussen die Schneiden oder Massen verschoben werden Dieser Prozess wird so lange wiederholt bis beide Periodendauern T displaystyle T nbsp gleich lang sind Anschliessend muss der Abstand L displaystyle L nbsp zwischen den Schneiden bestimmt werden um die Schwerebeschleunigung g displaystyle g nbsp mit folgender Formel berechnen zu konnen g 4 p 2 L T 2 displaystyle g 4 pi 2 frac L T 2 nbsp Die Auslenkung des Pendels sollte dabei moglichst klein gehalten werden weil die obige Formel mit der Kleinwinkelnaherung hergeleitet wird 5 Herleitung des Funktionsprinzips Bearbeiten nbsp Schematischer Aufbau eines Reversionspendels mit verschiebbaren MassenFur die Periodendauer T displaystyle T nbsp eines Pendels bei kleiner Auslenkung mit der reduzierten Pendellange l r displaystyle l r nbsp gilt T 2 p l r g displaystyle T 2 pi sqrt frac l r g nbsp Wenn das Pendel so eingestellt ist dass die Periodendauer T 1 displaystyle T 1 nbsp um die erste Schneide S 1 displaystyle S 1 nbsp gleich der Periodendauer T 2 displaystyle T 2 nbsp um die zweite Schneide S 2 displaystyle S 2 nbsp ist sind auch die reduzierten Pendellangen l r a displaystyle l r a nbsp und l r b displaystyle l r b nbsp gleich Zusammen mit der Formel fur die reduzierte Pendellange l r I M r displaystyle l r frac I Mr nbsp gilt damit I a M r a I b M r b 1 displaystyle frac I a Mr a frac I b Mr b quad quad 1 nbsp Dabei ist I displaystyle I nbsp das Tragheitsmoment M displaystyle M nbsp die Gesamtmasse des Pendels und r displaystyle r nbsp der Abstand der Rotationsachse vom Schwerpunkt S displaystyle S nbsp Mit dem Tragheitsmoment im Schwerpunkt I S displaystyle I S nbsp gilt nach dem Steinerschen Satz fur die beiden Tragheitsmomente I a b displaystyle I a b nbsp I a b M r a b 2 I S displaystyle I a b Mr a b 2 I S nbsp Ersetzt man die Tragheitsmomente in der obigen Gleichung 1 displaystyle 1 nbsp und formt um erhalt man I S M r a 2 r b I S M r b 2 r a displaystyle I S Mr a 2 r b I S Mr b 2 r a nbsp und nach weiterem Umformen r b r a I S M r a r b 0 2 displaystyle r b r a I S Mr a r b 0 quad quad 2 nbsp Eine Losung dieser Gleichung ist I S M r a r b displaystyle I S Mr a r b nbsp Umgeformt ergibt sich r a I S M r b displaystyle r a frac I S Mr b nbsp Die Abstande r 1 displaystyle r 1 nbsp und r 2 displaystyle r 2 nbsp der beiden Schneiden vom Schwerpunkt ergeben zusammen den Abstand L displaystyle L nbsp zwischen den beiden Schneiden L r a r b displaystyle L r a r b nbsp Setzt man dies ein erhalt man L I S M r a 2 M r a I a M r a l r displaystyle L frac I S Mr a 2 Mr a frac I a Mr a l r nbsp Das entspricht genau der Formel fur die reduzierte Pendellange l r displaystyle l r nbsp folglich ist der Abstand L displaystyle L nbsp die reduzierte Pendellange Fur die Gleichung 2 displaystyle 2 nbsp ist auch r a r b L 2 displaystyle r a r b L 2 nbsp eine Losung Beide Schneiden sind dabei gleich weit vom Schwerpunkt entfernt und besitzen deshalb auch das gleiche Tragheitsmoment Ihr Abstand muss dann aber nicht der reduzierten Pendellange entsprechen Die Schneiden durfen deshalb nicht gleich weit vom Schwerpunkt entfernt sein damit diese Methode funktioniert 1 Literatur BearbeitenFriedrich Georg Wieck Otto Wilhelm Alund Naturkrafterna och deras anvandning Naturkrafte und deren Anwendung schwedisch 1873 1875 S 99 WebsiteWeblinks BearbeitenPhysikpraktikum RP TU Dresden PDF 2 1 MB Einzelnachweise Bearbeiten a b Schnieder Fadenpendel und Reversionspendel 27 Marz 2022 abgerufen am 13 Marz 2023 1997 Uni Bonn PDF 13 kB Uni Tubingen Katers Pendel vgl die entsprechenden Artikel in den fremdsprachigen Wikipedias en fr nl Peter Schafer Versuch M9 Reversionspendel 4 Mai 2018 abgerufen am 19 November 2020 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reversionspendel amp oldid 231784126