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Reguläres statistisches Modell Ein reguläres statistisches Modell oder kurz reguläres Modell ist ein spezielles statisti

Reguläres statistisches Modell

Ein reguläres statistisches Modell oder kurz reguläres Modell ist ein spezielles statistisches Modell, in dem noch gewisse Zusatzannahmen gelten. Diese Zusatzannahmen liefern die Existenz weitreichender Eigenschaften wie beispielsweise die Existenz der Score-Funktion und damit auch der Fisher-Information. Manche Autoren nennen diese Zusatzannahmen auch Cramér-Rao-Regularitätsbedingungen, da sie häufig im Kontext der Cramér-Rao-Ungleichung verwendet werden. Nicht alle Autoren verwenden dieselben Zusatzannahmen an das statistische Modell. Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die auftretenden Regularitätsvoraussetzungen und die möglichen Schlussfolgerungen.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell , für das gilt:

  1. Es ist ein einparametrisches Modell. Es ist also .
  2. Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß besitzt eine Dichtefunktion bezüglich eines σ-endlichen Maßes , das heißt ist eine dominierte Verteilungsklasse. In den meisten Fällen ist die Dichtefunktion eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, wird also durch das Lebesgue-Maß dominiert (stetiger Fall), oder eine Zähldichte, wird also vom Zählmaß dominiert (diskreter Fall).

Das statistische Modell heißt dann ein reguläres statistisches Modell, wenn gilt:

  • ist ein offenes Intervall. Dies ist notwendig, um die Wohldefiniertheit der Differentiation nach zu garantieren. Manche Autoren fordern hier auch nur, dass eine offene Menge sein soll.
  • Die Dichtefunktion ist auf ganz echt größer als 0. Diese Forderung ist notwendig, um bei der Definition der Score-Funktion logarithmieren zu können. Manche Autoren fordern die echte Positivität nur auf einer Menge , die nicht von dem Parameter abhängt. Diese Definition erlaubt mehr Spielraum bei Definition der Grundmenge.
  • Die Score-Funktion
  • Es ist
  • Es gilt die Vertauschungsrelation
  • Manche Autoren fordern, dass die stärkere Vertauschungsrelation

Verwendung Bearbeiten

Hauptaufgabe eines regulären statistischen Modells ist es, die Rahmenbedingungen für den Beweis der Cramér-Rao-Ungleichung zu liefern. Aus dieser ergeben sich weitreichende Folgen:

Literatur Bearbeiten

  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  • Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Czado Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 115.
  2. Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 159–160.
  3. Georgii: Stochastik. 2009, S. 210–211.
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Ein regulares statistisches Modell oder kurz regulares Modell ist ein spezielles statistisches Modell in dem noch gewisse Zusatzannahmen gelten Diese Zusatzannahmen liefern die Existenz weitreichender Eigenschaften wie beispielsweise die Existenz der Score Funktion und damit auch der Fisher Information Manche Autoren nennen diese Zusatzannahmen auch Cramer Rao Regularitatsbedingungen 1 da sie haufig im Kontext der Cramer Rao Ungleichung verwendet werden Nicht alle Autoren verwenden dieselben Zusatzannahmen an das statistische Modell Dieser Artikel gibt eine Ubersicht uber die auftretenden Regularitatsvoraussetzungen und die moglichen Schlussfolgerungen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Verwendung 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp fur das gilt Es ist ein einparametrisches Modell Es ist also 8 R displaystyle Theta subset mathbb R nbsp Jedes Wahrscheinlichkeitsmass P ϑ displaystyle P vartheta nbsp besitzt eine Dichtefunktion f x ϑ displaystyle f x vartheta nbsp bezuglich eines s endlichen Masses m displaystyle mu nbsp das heisst P ϑ ϑ 8 displaystyle P vartheta vartheta in Theta nbsp ist eine dominierte Verteilungsklasse In den meisten Fallen ist die Dichtefunktion eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird also durch das Lebesgue Mass dominiert stetiger Fall oder eine Zahldichte wird also vom Zahlmass dominiert diskreter Fall Das statistische Modell heisst dann ein regulares statistisches Modell wenn gilt 8 displaystyle Theta nbsp ist ein offenes Intervall Dies ist notwendig um die Wohldefiniertheit der Differentiation nach ϑ displaystyle vartheta nbsp zu garantieren Manche Autoren fordern hier auch nur dass 8 displaystyle Theta nbsp eine offene Menge sein soll Die Dichtefunktion f x ϑ displaystyle f x vartheta nbsp ist auf ganz X 8 displaystyle X times Theta nbsp echt grosser als 0 Diese Forderung ist notwendig um bei der Definition der Score Funktion logarithmieren zu konnen Manche Autoren fordern die echte Positivitat nur auf einer Menge A displaystyle A nbsp die nicht von dem Parameter ϑ displaystyle vartheta nbsp abhangt Diese Definition erlaubt mehr Spielraum bei Definition der Grundmenge Die Score FunktionS ϑ x ϑ ln f x ϑ displaystyle S vartheta x frac partial partial vartheta ln f x vartheta nbsp existiert und ist endlich Manche Autoren fordern hier etwas starker dass die Dichtefunktion nach ϑ displaystyle vartheta nbsp stetig differenzierbar sein soll Wichtig ist hier nur dass die Score Funktion existiert und endlich ist um auf ihr aufbauend die Fisher Information zu definieren Es ist0 lt I ϑ Var ϑ S ϑ lt displaystyle 0 lt I vartheta operatorname Var vartheta S vartheta lt infty nbsp Die Fisher Information I ϑ displaystyle I vartheta nbsp soll also echt positiv und endlich sein Dies garantiert die Wohldefiniertheit der Cramer Rao Ungleichung wo die Fisher Information im Nenner steht Es gilt die Vertauschungsrelation ϑ f x ϑ d m x ϑ f x ϑ d m x displaystyle int frac partial partial vartheta f x vartheta mathrm d mu x frac partial partial vartheta int f x vartheta mathrm d mu x nbsp Daraus folgt dass die Score Funktion zentriert ist es ist also E ϑ S ϑ 0 displaystyle operatorname E vartheta S vartheta 0 nbsp Damit vereinfacht sich die Fisher Information zu I ϑ E ϑ S ϑ 2 displaystyle I vartheta operatorname E vartheta S vartheta 2 nbsp Manche Autoren fordern dass die starkere Vertauschungsrelation ϑ T x f x ϑ d m x ϑ T x f x ϑ d m x displaystyle int frac partial partial vartheta T x f x vartheta mathrm d mu x frac partial partial vartheta int T x f x vartheta mathrm d mu x nbsp fur alle T displaystyle T nbsp mit endlicher Varianz gilt Diese enthalt die obere Vertauschungsrelation als Spezialfall Sie ist fur den Beweis der Cramer Rao Ungleichung notwendig 2 Wird sie nicht im Rahmen der Regularitat des statistischen Modells gefordert so wird sie als separate Eigenschaft in der Formulierung der Cramer Rao Ungleichung gefordert 3 siehe beispielsweise regularer erwartungstreuer Schatzer Verwendung BearbeitenHauptaufgabe eines regularen statistischen Modells ist es die Rahmenbedingungen fur den Beweis der Cramer Rao Ungleichung zu liefern Aus dieser ergeben sich weitreichende Folgen Sie liefert eine untere Schranke fur die Varianz von Schatzern und damit Kriterien fur deren Qualitat und fur gleichmassig beste erwartungstreue Schatzer Sie liefert die Definition eines Cramer Rao effizienten Schatzers und damit einen nicht asymptotischen Effizienzbegriff fur Schatzer Aus ihr lasst sich die Exponentialfamilie motivieren Literatur BearbeitenHans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 doi 10 1515 9783110215274 Ludger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Einzelnachweise Bearbeiten Czado Schmidt Mathematische Statistik 2011 S 115 Ruschendorf Mathematische Statistik 2014 S 159 160 Georgii Stochastik 2009 S 210 211 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Regulares statistisches Modell amp oldid 228090707