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Quasigeodäte In der Mathematik kommen n auch Quasi Geodäten in Differentialgeometrie metrischer Geometrie und geometrisc

Quasigeodäte

In der Mathematik kommen Quasigeodäten (auch Quasi-Geodäten) in Differentialgeometrie, metrischer Geometrie und geometrischer Gruppentheorie vor. Es handelt sich um Kurven, die nicht unbedingt kürzeste Verbindungen sind, aber deren Länge nur auf kontrollierte Weise von der der kürzesten Verbindungen abweicht.

Definition Bearbeiten

Es sei ein metrischer Raum und ein (endliches oder unendliches) abgeschlossenes Intervall. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung

ist eine Quasigeodäte, wenn es Konstanten gibt, so dass für alle gilt:

Mit anderen Worten: ist eine quasi-isometrische Einbettung.

Beispiele Bearbeiten

  • Wenn eine Quasigeodäte und eine quasi-isometrische Einbettung ist, dann ist eine Quasigeodäte.

Morse-Lemma Bearbeiten

Es sei ein Gromov-hyperbolischer Raum, zum Beispiel eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung. Dann hat jede Quasigeodäte endlichen Hausdorff-Abstand von der (eindeutigen) Geodäte durch und .

Genauer: Zu allen gibt es ein , so dass jede -Quasigeodäte in einem -hyperbolischen Raum im Abstand von einer Geodäten liegt.

Insbesondere, wenn -hyperbolisch und stetig und rektifizierbar ist, dann gilt für alle

wobei die Länge von bezeichnet.

Die analoge Aussage für CAT(0)-Räume oder Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung trifft nicht zu. Ein Gegenbeispiel ist die logarithmische Spirale im .

Literatur Bearbeiten

  • Ghys, Étienne; de la Harpe, Pierre: Quasi-isométries et quasi-géodésiques. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), 79–102, Progr. Math., 83, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik kommen Quasigeodaten auch Quasi Geodaten in Differentialgeometrie metrischer Geometrie und geometrischer Gruppentheorie vor Es handelt sich um Kurven die nicht unbedingt kurzeste Verbindungen sind aber deren Lange nur auf kontrollierte Weise von der der kurzesten Verbindungen abweicht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Morse Lemma 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenEs sei X d displaystyle X d nbsp ein metrischer Raum und I R displaystyle I subset mathbb R nbsp ein endliches oder unendliches abgeschlossenes Intervall Eine nicht notwendig stetige Abbildung c I X displaystyle c colon I to X nbsp ist eine Quasigeodate wenn es Konstanten l ϵ gt 0 displaystyle lambda epsilon gt 0 nbsp gibt so dass fur alle s t I displaystyle s t in I nbsp gilt 1l s t ϵ d c s c t l s t ϵ displaystyle frac 1 lambda s t epsilon leq d c s c t leq lambda s t epsilon nbsp Mit anderen Worten c I X displaystyle c colon I to X nbsp ist eine quasi isometrische Einbettung Beispiele BearbeitenIm Rn displaystyle mathbb R n nbsp oder allgemeiner in jeder einfach zusammenhangende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrummung ist eine Geodate immer eine Quasigeodate Die logarithmische Spirale c t tcos ln 1 t tsin ln 1 t displaystyle c t t cos ln 1 t t sin ln 1 t nbsp ist eine Quasigeodate denn es gilt s t d c s c t 2p 1 s t displaystyle s t leq d c s c t leq 2 pi 1 s t nbsp Kontrollierte Storungen einer Quasigeodaten sind wieder Quasigeodaten mit einer evtl anderen Konstanten ϵ displaystyle epsilon nbsp Genauer Wenn c displaystyle c nbsp eine Quasigeodate ist und d c t c t lt K displaystyle d c t c prime t lt K nbsp fur eine Konstante K displaystyle K nbsp und alle t I displaystyle t in I nbsp gilt dann ist c displaystyle c prime nbsp eine Quasigeodate Wenn c I X displaystyle c colon I to X nbsp eine Quasigeodate und f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp eine quasi isometrische Einbettung ist dann ist f c displaystyle f circ c nbsp eine Quasigeodate Morse Lemma BearbeitenEs sei X d displaystyle X d nbsp ein Gromov hyperbolischer Raum zum Beispiel eine einfach zusammenhangende Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrummung Dann hat jede Quasigeodate c a b X displaystyle c colon left a b right to X nbsp endlichen Hausdorff Abstand von der eindeutigen Geodate c displaystyle c prime nbsp durch c a displaystyle c a nbsp und c b displaystyle c b nbsp Genauer Zu allen l ϵ d displaystyle lambda epsilon delta nbsp gibt es ein R l ϵ d displaystyle R lambda epsilon delta nbsp so dass jede l ϵ displaystyle lambda epsilon nbsp Quasigeodate in einem d displaystyle delta nbsp hyperbolischen Raum im Abstand lt R displaystyle lt R nbsp von einer Geodaten liegt Insbesondere wenn X displaystyle X nbsp d displaystyle delta nbsp hyperbolisch und c displaystyle c nbsp stetig und rektifizierbar ist dann gilt fur alle x im c displaystyle x in im c prime nbsp d x im c d log2 l c 1 displaystyle d x im c leq delta log 2 l c 1 nbsp wobei l c displaystyle l c nbsp die Lange von c displaystyle c nbsp bezeichnet Die analoge Aussage fur CAT 0 Raume oder Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrummung trifft nicht zu Ein Gegenbeispiel ist die logarithmische Spirale im R2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Literatur BearbeitenGhys Etienne de la Harpe Pierre Quasi isometries et quasi geodesiques Sur les groupes hyperboliques d apres Mikhael Gromov Bern 1988 79 102 Progr Math 83 Birkhauser Boston Boston MA 1990 Weblinks BearbeitenLuck Hyperbolische Gruppen Wilton Quasi geodesics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quasigeodate amp oldid 239906986