Die Quadratsummen Funktion engl sum of squares function r k n displaystyle r k n ist eine zahlentheoretische Funktion die angibt auf wie viele Arten eine gegebene naturliche Zahl n displaystyle n als Summe von k displaystyle k Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezahlt werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Durchschnittliche Grossenordnung 3 Erzeugende Funktion 4 Spezielle Falle 5 Beziehung zur Sierpinski Konstanten 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie ersten Werte von rk Primzahlen mit hellblauen Hintergrund n n r1 n r2 n r3 n r4 n r5 n r6 n r7 n r8 n 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 4 6 8 10 12 14 162 2 0 4 12 24 40 60 84 1123 3 0 0 8 32 80 160 280 4484 22 2 4 6 24 90 252 574 11365 5 0 8 24 48 112 312 840 20166 2 3 0 0 24 96 240 544 1288 31367 7 0 0 0 64 320 960 2368 55048 23 0 4 12 24 200 1020 3444 93289 32 2 4 30 104 250 876 3542 1211210 2 5 0 8 24 144 560 1560 4424 1411211 11 0 0 24 96 560 2400 7560 2131212 22 3 0 0 8 96 400 2080 9240 3180813 13 0 8 24 112 560 2040 8456 3516814 2 7 0 0 48 192 800 3264 11088 3852815 3 5 0 0 0 192 960 4160 16576 5644816 24 2 4 6 24 730 4092 18494 7486417 17 0 8 48 144 480 3480 17808 7862418 2 32 0 4 36 312 1240 4380 19740 8478419 19 0 0 24 160 1520 7200 27720 10976020 22 5 0 8 24 144 752 6552 34440 143136Die Funktion ist fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N geq 0 nbsp und k N 1 displaystyle k in mathbb N geq 1 nbsp definiert als 1 r k n a 1 2 a 2 2 a k 2 n a 1 a 2 a k Z k 1 a 1 a 2 a k Z k a 1 2 a 2 2 a k 2 n displaystyle r k n sum begin array c a 1 2 a 2 2 cdots a k 2 n a 1 a 2 dots a k in mathbb Z k end array 1 big left a 1 a 2 dots a k in mathbb Z k mid a 1 2 a 2 2 cdots a k 2 n right big nbsp d h als Anzahl der Darstellungsmoglichkeiten von n displaystyle n nbsp als Summe von k displaystyle k nbsp Quadraten ganzer Zahlen mit k 1 displaystyle k geq 1 nbsp Beispielsweise gilt r k 0 1 displaystyle r k 0 1 nbsp fur alle k displaystyle k nbsp Es ist r 2 1 4 displaystyle r 2 1 4 nbsp da 1 0 2 1 2 1 2 0 2 displaystyle 1 0 2 pm 1 2 pm 1 2 0 2 nbsp mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt und auch r 2 2 4 displaystyle r 2 2 4 nbsp wegen 2 1 2 1 2 displaystyle 2 pm 1 2 pm 1 2 nbsp mit 4 Vorzeichenkombinationen Andererseits ist r 2 3 0 displaystyle r 2 3 0 nbsp weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt Aus der Definition folgt sofort die Beziehung r k m n t 0 n r k t r m n t displaystyle r k m n sum t 0 n r k t r m n t nbsp aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lasst r k 1 n r k n 2 t 1 n r k n t 2 displaystyle r k 1 n r k n 2 sum t 1 sqrt n r k n t 2 nbsp Durchschnittliche Grossenordnung BearbeitenEs sei 2 R k x n 0 x r k n a 1 2 a 2 2 a k 2 x 1 displaystyle R k x sum n 0 x r k n sum a 1 2 a 2 2 dotsb a k 2 leq x 1 nbsp Das ist anschaulich die Anzahl der ganzzahligen Gitterpunkte in einer k displaystyle k nbsp dimensionalen Kugel mit dem Radius x displaystyle sqrt x nbsp und darum naherungsweise gleich dem Kugelvolumen Genauer lasst sich rekursiv ableiten R k x V k x k 2 O x k 1 2 displaystyle R k x V k x frac k 2 O x frac k 1 2 nbsp wobei O displaystyle O nbsp das Landau Symbol ist und die Konstanten V k displaystyle V k nbsp die Volumina der k displaystyle k nbsp dimensionalen Einheitskugeln sind V 2 p V 3 4 3 p V 4 1 2 p 2 displaystyle V 2 pi V 3 frac 4 3 pi V 4 frac 1 2 pi 2 dots nbsp Die durchschnittliche Grossenordnung von r k n displaystyle r k n nbsp ist damit k 2 V k x k 2 1 displaystyle tfrac k 2 V k x tfrac k 2 1 nbsp also z B p displaystyle pi nbsp die von r 2 x displaystyle r 2 x nbsp Erzeugende Funktion BearbeitenDie erzeugende Funktion erhalt man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion ϑ z q displaystyle vartheta z q nbsp fur den Spezialfall z 0 displaystyle z 0 nbsp Dafur gilt ϑ 3 q ϑ 0 q n q n 2 1 2 q 2 q 4 2 q 9 2 q 16 displaystyle vartheta 3 q vartheta 0 q sum n infty infty q n 2 1 2q 2q 4 2q 9 2q 16 dotsb nbsp Man erhalt daraus ϑ 3 q k n 1 n 2 n k q n 1 2 n 2 2 n k 2 n 0 q n n 1 2 n 2 2 n k 2 n 1 n 0 q n r k n displaystyle vartheta 3 q k sum n 1 n 2 dotsc n k q n 1 2 n 2 2 dotsb n k 2 sum n 0 infty q n sum n 1 2 n 2 2 dotsb n k 2 n 1 sum n 0 infty q n r k n nbsp Spezielle Falle Bearbeiten nbsp Werte und durchschnittliche Grossenordnung von r2 n nbsp Werte und durchschnittliche Grossenordnung von r4 n nbsp Werte und durchschnittliche Grossenordnung von r8 n Einige spezielle Formeln sind z B fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp Fur k 2 displaystyle k 2 nbsp gilt r 2 n 4 d n d 1 mod 2 1 d 1 2 displaystyle r 2 n 4 sum d mid n atop d equiv 1 pmod 2 1 d 1 2 nbsp Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung n 2 g p 1 f 1 p 2 f 2 q 1 h 1 q 2 h 2 displaystyle n 2 g p 1 f 1 p 2 f 2 cdots q 1 h 1 q 2 h 2 cdots nbsp wobei p i displaystyle p i nbsp die Primfaktoren der Form p i 1 mod 4 displaystyle p i equiv 1 pmod 4 nbsp und q i displaystyle q i nbsp die Primfaktoren der Form q i 3 mod 4 displaystyle q i equiv 3 pmod 4 nbsp sind ergibt sich als weitere Formel r 2 n 4 f 1 1 f 2 1 displaystyle r 2 n 4 f 1 1 f 2 1 cdots nbsp wenn alle Exponenten h 1 h 2 displaystyle h 1 h 2 dotsc nbsp gerade sind Ist mindestens ein h i displaystyle h i nbsp ungerade dann ist r 2 n 0 displaystyle r 2 n 0 nbsp Nach Definition ist r 2 n displaystyle r 2 n nbsp auch die Anzahl der Gaussschen Zahlen mit der Norm n displaystyle n nbsp Fur k 3 displaystyle k 3 nbsp bewies Gauss eine Formel fur quadratfreie Zahlen n gt 4 displaystyle n gt 4 nbsp r 3 n 24 h n wenn n 3 mod 8 0 wenn n 7 mod 8 12 h 4 n sonst displaystyle r 3 n begin cases 24h n amp text wenn n equiv 3 pmod 8 0 amp text wenn n equiv 7 pmod 8 12h 4n amp text sonst end cases nbsp wobei h m displaystyle h m nbsp die Klassenzahl einer ganzen Zahl m displaystyle m nbsp bezeichnet Fur beliebige n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp gilt nach dem Drei Quadrate Satz r 3 n 0 displaystyle r 3 n 0 nbsp genau dann wenn n displaystyle n nbsp sich in der Form n 4 a 8 b 7 a 0 b 0 displaystyle n 4 a 8b 7 a geq 0 b geq 0 nbsp darstellen lasst 3 Die Formel fur k 4 displaystyle k 4 nbsp stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert r 4 n displaystyle r 4 n nbsp als achtfache Summe aller Teiler von n displaystyle n nbsp die nicht durch 4 teilbar sind Satz von Jacobi r 4 n 8 d n 4 d d displaystyle r 4 n 8 sum d mid n 4 nmid d d nbsp r 4 n displaystyle r 4 n nbsp ist auch die Anzahl aller Lipschitz Quaternionen mit der Norm n displaystyle n nbsp Jacobi fand auch eine explizite Formel fur k 8 displaystyle k 8 nbsp r 8 n 16 d n 1 n d d 3 displaystyle r 8 n 16 sum d mid n 1 n d d 3 nbsp Beziehung zur Sierpinski Konstanten BearbeitenDer Limes K lim n k 1 n r 2 k k p log n displaystyle K lim n to infty left sum k 1 n frac r 2 k k pi log n right nbsp existiert und wird nach Waclaw Sierpinski als Sierpinski Konstante bezeichnet Diese lasst sich durch die Kreiszahl die Euler Mascheroni Konstante und die Gammafunktion ausdrucken K p 2 g 4 log G 3 4 log p displaystyle K pi 2 gamma 4 log Gamma tfrac 3 4 log pi nbsp Siehe auch BearbeitenHurwitzquaternion Zwei Quadrate Satz Drei Quadrate Satz Vier Quadrate Satz Zahlentheoretische FunktionWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Sum of Squares Function In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten E Kratzel Zahlentheorie VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1981 S 165 E Kratzel Zahlentheorie VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1981 S 197 E Kratzel Zahlentheorie VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1981 S 162 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quadratsummen Funktion amp oldid 212442831
