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Pseudokonvexe Funktion en spielen in der nichtlinearen Optimierung eine entscheidende Rolle Die starke Voraussetzung der

Pseudokonvexe Funktion

Pseudokonvexe Funktionen spielen in der nichtlinearen Optimierung eine entscheidende Rolle. Die starke Voraussetzung der Konvexität an Zielfunktionen oder Nebenbedingungen ist in vielen Fällen nicht erfüllt. Mit abschwächenden Konvexitätsbegriffen wie Quasikonvexität oder Pseudokonvexität versucht man dann gewisse Eigenschaften zu retten, um sie in der Algorithmik einzusetzen. Im Folgenden sei eine reellwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge differenzierbar. Falls die Funktion die folgende Eigenschaft erfüllt, so heißt sie pseudokonvex: Für alle gilt:

Gilt sogar

so nennt man die Funktion strikt pseudokonvex. Dabei bezeichnet den Gradienten von an der Stelle .

Ist (also ) so lautet die Bedingung zur Pseudokonvexität einfach:

Eine Funktion heißt pseudokonkav, wenn das Negative der Funktion pseudokonvex ist.

Beispiele und Eigenschaften Bearbeiten

blau: , rot:

Differenzierbare konvexe Funktionen sind pseudokonvex. Die Funktionen

sind Beispiele für pseudokonvexe Funktionen , die nicht konvex sind.

Pseudokonvexe Funktionen auf konvexen Bereichen sind strikt quasikonvex.

Bedeutung für die Optimierung Bearbeiten

Verschwindet die Ableitung einer pseudokonvexen Funktion im Punkt , so liegt dort ein Minimum vor. Das folgt sofort aus der Definition, denn in diesem Fall ist die Prämisse unabhängig von erfüllt und es folgt . Die Definition der Pseudokonvexität ist gerade so angelegt, dass das gilt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Karl-Heinz Borgwardt, Optimierung, Operations Research, Spieltheorie, Birkhäuser, Basel 2001, ISBN 3-7643-6519-6, Definition 12.14
  2. L. Collatz, W. Wetterling: Optimierungsaufgaben, Springer-Verlag (1966), ISBN 0-387-05616-5, Absatz 6.4
  3. L. Collatz, W. Wetterling: Optimierungsaufgaben, Springer-Verlag (1966), ISBN 0-387-05616-5, §6, Satz 10
  4. D. Jungnickel: Optimierungsmethoden, Springer-Verlag (2008), ISBN 3-540-76789-4, Korollar 3.4.14
  5. D. Jungnickel: Optimierungsmethoden, Springer-Verlag (2008), ISBN 3-540-76789-4, Satz 3.4.15
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Pseudokonvexe Funktionen spielen in der nichtlinearen Optimierung eine entscheidende Rolle Die starke Voraussetzung der Konvexitat an Zielfunktionen oder Nebenbedingungen ist in vielen Fallen nicht erfullt Mit abschwachenden Konvexitatsbegriffen wie Quasikonvexitat oder Pseudokonvexitat versucht man dann gewisse Eigenschaften zu retten um sie in der Algorithmik einzusetzen Im Folgenden sei eine reellwertige Funktion f displaystyle f auf einer offenen Teilmenge G Rn displaystyle Gamma subseteq mathbb R n differenzierbar Falls die Funktion die folgende Eigenschaft erfullt so heisst sie pseudokonvex Fur alle x1 x2 G displaystyle forall x 1 x 2 in Gamma gilt Aus f x1 T x2 x1 0 displaystyle nabla f left x 1 right T left x 2 x 1 right geq 0 folgt f x2 f x1 displaystyle f left x 2 right geq f left x 1 right Gilt sogar Aus f x1 T x2 x1 0 displaystyle nabla f left x 1 right T left x 2 x 1 right geq 0 und x1 x2 displaystyle x 1 not x 2 folgt f x2 gt f x1 displaystyle f left x 2 right gt f left x 1 right so nennt man die Funktion strikt pseudokonvex 1 Dabei bezeichnet f x displaystyle nabla f x den Gradienten von f displaystyle f an der Stelle x G displaystyle x in Gamma Ist G R displaystyle Gamma subset mathbb R also n 1 displaystyle n 1 so lautet die Bedingung zur Pseudokonvexitat einfach Aus f x1 x2 x1 0 displaystyle f x 1 x 2 x 1 geq 0 folgt f x2 f x1 displaystyle f x 2 geq f x 1 Eine Funktion heisst pseudokonkav wenn das Negative der Funktion pseudokonvex ist Beispiele und Eigenschaften Bearbeiten nbsp blau f x xex displaystyle f x xe x nbsp rot g x 11 x2 displaystyle textstyle g x frac 1 1 x 2 nbsp Differenzierbare konvexe Funktionen sind pseudokonvex Die Funktionen f x xex displaystyle f x xe x nbsp und g x 11 x2 displaystyle g x frac 1 1 x 2 nbsp sind Beispiele fur pseudokonvexe Funktionen R R displaystyle mathbb R rightarrow mathbb R nbsp die nicht konvex sind 2 Pseudokonvexe Funktionen auf konvexen Bereichen sind strikt quasikonvex 3 4 Bedeutung fur die Optimierung BearbeitenVerschwindet die Ableitung einer pseudokonvexen Funktion im Punkt x1 displaystyle x 1 nbsp so liegt dort ein Minimum vor Das folgt sofort aus der Definition denn in diesem Fall ist die Pramisse unabhangig von x2 displaystyle x 2 nbsp erfullt und es folgt f x2 f x1 displaystyle f x 2 geq f x 1 nbsp Die Definition der Pseudokonvexitat ist gerade so angelegt dass das gilt 5 Einzelnachweise Bearbeiten Karl Heinz Borgwardt Optimierung Operations Research Spieltheorie Birkhauser Basel 2001 ISBN 3 7643 6519 6 Definition 12 14 L Collatz W Wetterling Optimierungsaufgaben Springer Verlag 1966 ISBN 0 387 05616 5 Absatz 6 4 L Collatz W Wetterling Optimierungsaufgaben Springer Verlag 1966 ISBN 0 387 05616 5 6 Satz 10 D Jungnickel Optimierungsmethoden Springer Verlag 2008 ISBN 3 540 76789 4 Korollar 3 4 14 D Jungnickel Optimierungsmethoden Springer Verlag 2008 ISBN 3 540 76789 4 Satz 3 4 15 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pseudokonvexe Funktion amp oldid 188993519