www.wikidata.de-de.nina.az

Projektive Basis Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von n 2 displaystyle n 2 Punkten eines n display

Projektive Basis

Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von Punkten eines -dimensionalen projektiven Raums, von denen je projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.

In der projektiven Ebene bilden vier projektiv unabhängige Punkte eine projektive Basis

Definition Bearbeiten

Ein -Tupel von Punkten eines projektiven Raums über einem -Vektorraum heißt projektiv unabhängig, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

Ein -Tupel von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann .

Spezialfälle Bearbeiten

  • : drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
  • : vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
  • : fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.

Projektive Standardbasis Bearbeiten

Die projektive Standardbasis im projektiven Standardraum besteht aus den von den Standard-Basisvektoren des Koordinatenraums erzeugten Punkten

zusammen mit dem Einheitspunkt

In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:

  • In der projektiven Gerade über einem Körper bilden die Punkte und die projektive Standardbasis.
  • In der projektiven Ebene über einem Körper bilden die Punkte und die projektive Standardbasis.
  • Im -dimensionalen projektiven Raum über einem Körper bilden die Punkte und die projektive Standardbasis.

Verwendung Bearbeiten

Ist eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums , dann gibt es eine Basis von , sodass

gilt. Sind nun und zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen und , dann gibt es genau eine projektive Abbildung , sodass

für gilt. Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum mit der projektiven Basis mit Hilfe der projektiven Abbildung

homogene projektive Koordinaten definieren.

Literatur Bearbeiten

  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-96417-5, S. 142.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 142.
  2. ↑ Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 143.
  3. Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 144.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von n 2 displaystyle n 2 Punkten eines n displaystyle n dimensionalen projektiven Raums von denen je n 1 displaystyle n 1 projektiv unabhangig sind Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitaten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet In der projektiven Ebene bilden vier projektiv unabhangige Punkte eine projektive Basis Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Spezialfalle 3 Projektive Standardbasis 4 Verwendung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin n 1 displaystyle n 1 nbsp Tupel P 0 P n displaystyle P 0 ldots P n nbsp von Punkten eines projektiven Raums P V displaystyle P V nbsp uber einem K displaystyle K nbsp Vektorraum V displaystyle V nbsp heisst projektiv unabhangig wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen zutrifft Es gibt linear unabhangige Vektoren v 0 v n V displaystyle v 0 ldots v n in V nbsp mit P i K v i displaystyle P i K v i nbsp fur i 0 n displaystyle i 0 ldots n nbsp Jedes n 1 displaystyle n 1 nbsp Tupel v 0 v n displaystyle v 0 ldots v n nbsp von Vektoren aus V displaystyle V nbsp mit P i K v i displaystyle P i K v i nbsp fur i 0 n displaystyle i 0 ldots n nbsp ist linear unabhangig Fur die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt dim P 0 P 1 P n n displaystyle dim P 0 vee P 1 vee ldots vee P n n nbsp Ein n 2 displaystyle n 2 nbsp Tupel P 0 P n 1 displaystyle P 0 ldots P n 1 nbsp von Punkten eines projektiven Raums heisst projektive Basis des Raums wenn je n 1 displaystyle n 1 nbsp Punkte projektiv unabhangig sind Es gilt dann dim P V n displaystyle dim P V n nbsp 1 Spezialfalle Bearbeitenn 1 displaystyle n 1 nbsp drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis wenn sie paarweise verschieden sind n 2 displaystyle n 2 nbsp vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen Die vier Punkte bestimmen also ein vollstandiges Viereck n 3 displaystyle n 3 nbsp funf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis wenn keine vier davon in einer Ebene liegen Projektive Standardbasis BearbeitenDie projektive Standardbasis E 0 E n 1 displaystyle E 0 ldots E n 1 nbsp im projektiven Standardraum K P n displaystyle KP n nbsp besteht aus den von den Standard Basisvektoren e 0 e n displaystyle e 0 ldots e n nbsp des Koordinatenraums K n 1 displaystyle K n 1 nbsp erzeugten Punkten E i K e i i 0 n displaystyle E i K e i i 0 ldots n nbsp zusammen mit dem Einheitspunkt E n 1 K e 0 e n displaystyle E n 1 K left e 0 ldots e n right nbsp 2 In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen In der projektiven Gerade K P 1 displaystyle KP 1 nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp bilden die 3 displaystyle 3 nbsp Punkte 1 0 0 1 displaystyle left 1 0 right left 0 1 right nbsp und 1 1 displaystyle left 1 1 right nbsp die projektive Standardbasis In der projektiven Ebene K P 2 displaystyle KP 2 nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp bilden die 4 displaystyle 4 nbsp Punkte 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle left 1 0 0 right left 0 1 0 right left 0 0 1 right nbsp und 1 1 1 displaystyle left 1 1 1 right nbsp die projektive Standardbasis displaystyle ldots nbsp Im n displaystyle n nbsp dimensionalen projektiven Raum K P n displaystyle KP n nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp bilden die n 2 displaystyle n 2 nbsp Punkte 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle left 1 0 ldots 0 right left 0 1 ldots 0 right ldots left 0 0 ldots 1 right nbsp und 1 1 1 displaystyle left 1 1 ldots 1 right nbsp die projektive Standardbasis Verwendung BearbeitenIst P 0 P n 1 displaystyle P 0 ldots P n 1 nbsp eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums P V displaystyle P V nbsp dann gibt es eine Basis v 0 v n displaystyle v 0 ldots v n nbsp von V displaystyle V nbsp sodass P 0 K v 0 P n K v n und P n 1 K v 0 v n displaystyle P 0 K v 0 ldots P n K v n text und P n 1 K left v 0 ldots v n right nbsp gilt 2 Sind nun P V displaystyle P V nbsp und P W displaystyle P W nbsp zwei projektive Raume gleicher Dimension mit projektiven Basen P 0 P n 1 displaystyle P 0 ldots P n 1 nbsp und Q 0 Q n 1 displaystyle Q 0 ldots Q n 1 nbsp dann gibt es genau eine projektive Abbildung f P V P W displaystyle f colon P V to P W nbsp sodass f P i Q i displaystyle f P i Q i nbsp fur i 0 n 1 displaystyle i 0 ldots n 1 nbsp gilt 2 Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Raumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Grosse n 1 n 1 displaystyle n 1 times n 1 nbsp beschreiben Weiter lassen sich in einem projektiven Raum P V displaystyle P V nbsp mit der projektiven Basis P 0 P n 1 displaystyle P 0 ldots P n 1 nbsp mit Hilfe der projektiven Abbildung K P n P V E i P i fur i 0 n 1 displaystyle KP n to P V E i mapsto P i text fur i 0 ldots n 1 nbsp homogene projektive Koordinaten definieren 3 Literatur BearbeitenGerd Fischer Analytische Geometrie 3 Auflage Springer 2013 ISBN 978 3 322 96417 5 S 142 Einzelnachweise Bearbeiten Gerd Fischer Analytische Geometrie 3 Auflage Springer 2013 S 142 a b c Gerd Fischer Analytische Geometrie 3 Auflage Springer 2013 S 143 Gerd Fischer Analytische Geometrie 3 Auflage Springer 2013 S 144 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Projektive Basis amp oldid 197909900