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Problem von Bernstein In der Mathematik bezeichnet man als die Fragestellung ob der Graph einer Funktion f R n 1 R displ

Problem von Bernstein

In der Mathematik bezeichnet man als Problem von Bernstein die Fragestellung, ob der Graph einer Funktion nur dann eine Minimalfläche im ist, wenn die Funktion affin ist. Die Antwort ist positiv für , aber negativ für .

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Für eine Funktion ist ihr Graph eine Hyperfläche im und er ist genau dann eine Minimalfläche, wenn eine Lösung der Differentialgleichung

ist. Offensichtlich sind alle affinen Funktionen Lösungen dieser Differentialgleichung, weil in diesem Fall eine Konstante ist. Das Problem von Bernstein fragt, ob es darüber hinaus noch weitere Lösungen dieser Differentialgleichung gibt.

Historie Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. S.N. Bernstein, Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov, Band 15, 1915–1917, S. 38–45
  2. E. de Giorgi, Una estensione del teorema di Bernstein. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 19, 79–85, 1965.
  3. F. Almgren, Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of the Bernstein's theorem, Ann. of Math., Band 85, 1966, S. 277–292
  4. J. Simons, Minimal varieties in Riemannian Manifolds, Annals of Mathematics, Band 88, 1968, S. 62–105.
  5. E. Bombieri, E, de Giorgi, E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Inventiones Mathematicae 7 (1969) 243–268
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In der Mathematik bezeichnet man als Problem von Bernstein die Fragestellung ob der Graph einer Funktion f R n 1 R displaystyle f colon mathbb R n 1 to mathbb R nur dann eine Minimalflache im R n displaystyle mathbb R n ist wenn die Funktion affin ist Die Antwort ist positiv fur n 8 displaystyle n leq 8 aber negativ fur n 9 displaystyle n geq 9 Mathematische Formulierung BearbeitenFur eine Funktion f R n 1 R displaystyle f colon mathbb R n 1 to mathbb R nbsp ist ihr Graph eine Hyperflache im R n displaystyle mathbb R n nbsp und er ist genau dann eine Minimalflache wenn f displaystyle f nbsp eine Losung der Differentialgleichung i 1 n 1 x i 1 1 j 1 n f x j 2 f x i 0 displaystyle sum i 1 n 1 frac partial partial x i left frac 1 sqrt 1 sum j 1 n left frac partial f partial x j right 2 frac partial f partial x i right 0 nbsp ist Offensichtlich sind alle affinen Funktionen f x 1 x n a 1 x 1 a n x n b displaystyle f x 1 ldots x n a 1 x 1 ldots a n x n b nbsp Losungen dieser Differentialgleichung weil in diesem Fall 1 1 j 1 n f x j 2 f x i displaystyle frac 1 sqrt 1 sum j 1 n left frac partial f partial x j right 2 frac partial f partial x i nbsp eine Konstante ist Das Problem von Bernstein fragt ob es daruber hinaus noch weitere Losungen dieser Differentialgleichung gibt Historie BearbeitenFur n 3 displaystyle n 3 nbsp wurde das Problem 1914 von Sergei Natanowitsch Bernstein gelost 1 Fur n 4 displaystyle n 4 nbsp wurde das Problem 1965 von Ennio De Giorgi gelost 2 Fur n 5 displaystyle n 5 nbsp wurde das Problem 1966 von Frederick Almgren gelost 3 Fur n 8 displaystyle n leq 8 nbsp wurde das Problem 1968 von James Simons gelost 4 Fur n 9 displaystyle n geq 9 nbsp bewiesen Enrico Bombieri Ennio de Giorgi und Enrico Giusti aufbauend auf der Arbeit von James Simons dass der Satz von Bernstein nicht zutrifft 5 Einzelnachweise Bearbeiten S N Bernstein Sur une theoreme de geometrie et ses applications aux equations derivees partielles du type elliptique Comm Soc Math Kharkov Band 15 1915 1917 S 38 45 E de Giorgi Una estensione del teorema di Bernstein Ann Scuola Norm Sup Pisa 3 19 79 85 1965 F Almgren Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of the Bernstein s theorem Ann of Math Band 85 1966 S 277 292 J Simons Minimal varieties in Riemannian Manifolds Annals of Mathematics Band 88 1968 S 62 105 E Bombieri E de Giorgi E Giusti Minimal cones and the Bernstein problem Inventiones Mathematicae 7 1969 243 268 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Problem von Bernstein amp oldid 238117497