Die Kovarianzfunktion ist in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, eine spezielle reellwertige Funktion, die einem stochastischen Prozess zugeordnet wird. Ihre Bedeutung erlangt die Kovarianzfunktion dadurch, dass sich eine bestimmte Klasse von stochastischen Prozessen eindeutig durch ihre Kovarianzfunktion charakterisieren lässt. Kovarianzfunktionen finden sich häufig im Umfeld des Wiener-Prozesses und verwandter Konstruktionen. Die Kovarianzfunktion eines stochastischen Prozesses wird auch als Autokovarianzfunktion bezeichnet.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess mit Indexmenge und endlichen Varianzen, d. h. für alle . Dann heißt die Funktion
definiert durch
die Kovarianzfunktion oder Autokovarianzfunktion des stochastischen Prozesses. Dabei bezeichnet die Kovarianz zweier Zufallsvariablen und und bezeichnet den Erwartungswert einer Zufallsvariablen .
Beispiel Bearbeiten
Gegeben sei ein Wiener-Prozess . Ist o.B.d.A. , so ist
Da der Wiener Prozess aber ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, gilt und somit
da der Prozess normalverteilte Zuwächse hat. Somit gilt für den Wiener-Prozess
Eigenschaften Bearbeiten
- Die Kovarianzfunktion eines stochastischen Prozesses ist symmetrisch in den beiden Argumenten, es gilt also
- Es gilt
- Jeder Gauß-Prozess , der zentriert ist in dem Sinne, dass für alle gilt, wird durch seine Kovarianzfunktion eindeutig bestimmt. Denn sind gegeben, so lässt sich die Verteilung des Prozesses zu diesen Zeitpunkten wie folgt bestimmen: Da der Prozess zu diesen Zeitpunkten mehrdimensional normalverteilt ist und eine mehrdimensionale Normalverteilung eindeutig durch ihren Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix bestimmt ist, genügt es aufgrund der Zentriertheit die Kovarianzmatrix zu bestimmen. Diese ist aber durch die Kovarianzfunktion gegeben: Der Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ist genau .
Positive Semidefinitheit Bearbeiten
Jede Kovarianzfunktion eines stochastischen Prozesse ist positiv semidefinit, es gilt also
für beliebige , und .
Die Nichtnegativität ergibt sich aus (vergleiche Gleichung von Bienaymé)
Dies bedeutet auch, dass die quadratische Kovarianzmatrix des -dimensionalen Zufallsvektors , die aus den Elementen für besteht, eine positiv semidefinite Matrix ist.
Diese Eigenschaft zeigt auch, dass nicht jede Funktion als Kovarianzfunktion eines stochastischen Prozesses angesehen werden kann.
Korrelationsfunktion Bearbeiten
Ist für alle , so heißt
die Korrelationsfunktion oder Autokorrelationsfunktion des stochastischen Prozesses.
Verallgemeinerungen Bearbeiten
Es gibt ein analoges Konzept für komplexwertige stochastische Prozesse mit Realisierungen , wobei für gilt und die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet. Wenn der Prozess endliche Varianzen besitzt, dann heißt die Funktion ,
die Kovarianzfunktion des Prozesses . Dabei ist für eine komplexwertige Zufallsvariable der Erwartungswert als definiert und die komplexwertige Zufallsvariable bezeichnet die konjugiert komplexe Variable zu .
Wenn alle Varianzen positiv sind, ist ,
die Korrelationsfunktion (oder Autokorrelationsfunktion) des komplexwertigen stochastischen Prozesses.
Literatur Bearbeiten
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Kovarianzfunktion, S. 208–209.
Einzelnachweise Bearbeiten
- ↑ P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Kovarianzfunktion, S. 208–209.