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Photosedimentation Die zählt zu den wichtigsten Verfahren der Partikelgrößenanalyse 1 Bei dieser Technik wird die Größe

Photosedimentation

Die Photosedimentation zählt zu den wichtigsten Verfahren der Partikelgrößenanalyse. Bei dieser Technik wird die Größe von Partikeln bestimmt, indem die Geschwindigkeit gemessen wird, mit der die Teilchen auf den Boden eines Gefäßes sinken (Sedimentationsgeschwindigkeit). Dies geschieht unter kontinuierlicher Messung der Extinktion der Probe.

Funktionsweise Bearbeiten

Im Allgemeinen lässt sich die Photosedimentation als photometrische Messung der Sedimentationsgeschwindigkeit von Partikeln beschreiben. Um diese Messungen zu realisieren, wird zunächst eine Dispersion der zu untersuchenden Probe und einer Flüssigkeit, auch Dispersionsmittel genannt, hergestellt. Bei der Wahl des Dispersionsmittels ist insbesondere zu beachten, dass es eine geringere Dichte hat als die zu untersuchenden Partikel, damit die Partikel im Rahmen einer Sedimentation nach unten sinken können. Weiterhin ist es wichtig, dass die Partikel mit dem Dispersionsmittel nicht reagieren dürfen und dass sie vom Dispersionsmittel laminar umströmt werden.
Die Dispersion wird so lange gerührt, bis angenommen werden kann, dass die Partikel homogen verteilt sind. Ausgehend von dieser Homogenität kann die Sedimentationsgeschwindigkeit der Partikel gemessen werden. Abhängig von der Partikelgröße werden unterschiedliche Verfahren zur Sedimentation angewendet:

  • Sind die Partikel größer als 5 μm, wird die Sedimentation durch die Gravitationskraft ausgelöst. Dazu wird die zuvor hergestellte Dispersion ruhen gelassen und die Partikel beginnen aufgrund der Gravitationskraft nach unten zu sinken. Dabei sedimentieren die größten Teilchen am schnellsten und die kleinsten Teilchen am langsamsten.
Modell des Sedimentationsprozesses
  • Sind die Partikel hingegen kleiner als 5 μm, würde die Sedimentation, ausgelöst durch die Gravitationskraft, so lange dauern, dass sie von der Brown’schen Bewegung beeinflusst werden würde. Aus diesem Grund wird die Sedimentation durch das Wirken der Zentrifugalkraft beschleunigt. Um gute Messergebnisse zu erhalten, sollte die zuvor hergestellte Probendispersion mit einer Flüssigkeit im Überschichtungsverfahren in eine Zelle der Zentrifuge gefüllt werden.
Überschichtung von Probendispersion und Dispersionsmittel

Mit dem Einsetzen der Sedimentation startet die photometrische Messung. Hierfür wird die Probe in einem bestimmten Bereich (Messbereich oder Messebene genannt) bestrahlt und die Transmission bzw. Extinktion gemessen. Diese Größen stehen in Abhängigkeit von der Konzentration der Partikel, weil die Strahlung durch Absorptions-, Brechungs- und Streuerscheinungen der Partikel in der Probe abgeschwächt wird. Ist die Teilchenkonzentration hoch, so ist die Extinktion ebenfalls hoch, weil die Strahlung stark abgeschwächt wird.

Um Aussagen über die Sedimentationsgeschwindigkeit der Partikel treffen zu können und damit auch über ihre Größe, wird die Extinktion in Abhängigkeit von der Zeit gemessen. Dazu wird in der Messebene bestimmt, wann sich die Extinktion ändert. Da die größten Teilchen die höchste Sedimentationsgeschwindigkeit aufweisen, verlassen sie als erstes die Messebene, sodass die Extinktion zu diesem Zeitpunkt abnimmt. Die Extinktion sinkt erneut, sobald die Partikel, die etwas kleiner sind, die Messebene verlassen haben usw. Durch die Anwendung mathematischer Formeln kann über die Extinktion eine Aussage über die Größe der Teilchen gemacht werden. Darauf wird im Abschnitt Mathematischer Hintergrund näher eingegangen.

Schematischer Aufbau eines Photosedimentationsgerätes Bearbeiten

Photosedimentationen werden mithilfe eines Photosedimentationsgerätes durchgeführt. Dabei gibt es entsprechend der Beschreibung im Abschnitt Funktionsweise Geräte, bei denen die Sedimentation in einer Zentrifuge oder solche, bei denen die Sedimentation nur durch Gravitation stattfindet.
Bei den Geräten, bei denen die Sedimentation nur im Gravitationsfeld stattfindet, bestrahlt eine Strahlungsquelle (1) die Probendispersion in der Probenzelle (3) in Höhe der Messebene. Damit nur diese Ebene getroffen wird, wird vor die Probenzelle eine Blende (2) aufgebaut. Die transmittierte Strahlung gelangt zum Probenphotodetektor (4) und wird von dort aus über den Signalprozessor (5) zum Computer (6) geleitet und verarbeitet. Durch den Referenzphotodetektor (7) wird zusätzlich Strahlung der Lichtquelle gemessen.

Schematische Übersicht eines Photosedimentationsgerätes, bei dem die Sedimentation durch Gravitationskraft stattfindet

Wird die Sedimentation durch eine Zentrifuge beschleunigt, so sieht der Aufbau etwas anders aus: Durch einen Motor (1) wird die Zentrifuge (2) angetrieben, die mit einer Probenzelle (3) und einer Referenzzelle (4) gefüllt ist. Diese Zellen werden mit den Lichtquellen (5 und 6) bestrahlt, wobei die transmittierte Strahlung von der Probenzelle auf den Detektor (7) und von der Referenzzelle auf Detektor (8) trifft. Diese Signale werden über den Signalprozessor (9) an den Computer (10) geleitet. Dort werden sie schließlich verarbeitet. Durch den Computer wird über die Kontrollstelle (11) die Geschwindigkeit der Zentrifuge reguliert.

Schematische Übersicht eines Photosedimentationsgerätes, bei dem die Sedimentation durch Zentrifugalkraft stattfindet

Anwendung Bearbeiten

Die Photosedimentation wird allgemein in der Qualitätssicherung eingesetzt. Sie dient dazu, die Größe von z. B. Polymeren und Farbstoffen oder von Partikeln in Medikamenten zu bestimmen. Ein mögliches Einsatzgebiet des vorgestellten Verfahrens ist pharmazeutischen Industrie. Hier werden bspw. Asthmasprays hergestellt, die den Wirkstoff in Form von kleinsten Partikeln direkt in die Lunge abgeben. Aufgrund dieser direkten Abgabe ist es wichtig die Partikelgröße zu kontrollieren, was mithilfe der Photosedimentation geschehen kann.

Mathematischer Hintergrund Bearbeiten

Um das Messprinzip eines Photosedimentationsgerätes zu verstehen, müssen die Abhängigkeit zwischen der Sedimentationsgeschwindigkeit und der Partikelgröße sowie die Beziehung der Extinktion und der Partikelgröße geklärt werden.

Beziehung zwischen der Sedimentationsgeschwindigkeit und der Partikelgröße Bearbeiten

Am einfachsten sind Berechnungen für Partikel durchzuführen, die rund wie eine Kugel sind. Da aber nicht davon ausgegangen werden kann, dass die zu untersuchenden Partikel wie eine Kugel geformt sind, wird ihnen der Äquivalentdurchmesser einer solchen zugeordnet. Dies bedeutet, dass ein Partikel einer Kugel mit einem bestimmten Durchmesser gleichgesetzt wird, die aus dem gleichen Material besteht und die gleiche Sedimentationsgeschwindigkeit besitzt.
Da vor allem sehr kleine Partikel untersucht werden und weil die Partikel vom Dispersionsmittel laminar umströmt werden sollen, kann dieser Durchmesser mithilfe des Gesetzes von Stokes bestimmt werden. Dieser Äquivalentdurchmesser der Partikel nennt sich Stokes-Durchmesser und stellt den Durchmesser in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit dar.

Für die Sedimentation durch Gravitation wird der Stokes-Durchmesser wie folgt berechnet:

Für die Sedimentation in der Zentrifuge lautet die Formel für den Stokes-Durchmesser:

Herleitung des Stokes-Durchmessers  
Es wird ein Teilchen betrachtet, dass sich im Dispersionsmittel befindet. Auf dieses Teilchen wirken u. a. eine Kraft, wie die Gravitationskraft , die es zum Absinken bringt und eine Auftriebskraft . Ist nun bspw. die Gravitationskraft größer, sinkt das Teilchen hinab und wird dabei beschleunigt. Dadurch, dass die Geschwindigkeit immer mehr zunimmt, nimmt auch die Reibungskraft , die auf das Teilchen wirkt, immer mehr zu. Infolgedessen wird also die Beschleunigung, die das Teilchen erfährt, immer geringer, sodass es sich schließlich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Es ist dann:

Diese Kräfte lassen sich auch wie folgt beschreiben:

mit Dichte des Partikels, Volumen des Partikels, Erdbeschleunigung
mit Dichte des Dispersionsmittels, Volumen des Partikels, Erdbeschleunigung
mit Absinkgeschwindigkeit bzw. Sedimentationsgeschwindigkeit, Reibungskoeffizient

Damit ist also:

Werden diese beiden Gleichungen eingesetzt, ergibt sich:

Nach umgestellt, ist:

Wird dies nach dem Durchmesser umgestellt, erhält man den Stokes-Durchmesser:

Wie im Kapitel zur Funktionsweise beschrieben wurde und im dort eingefügten Bild zu sehen ist, ist die Messebene festgelegt, sodass die Strecke vom Startpunkt bis zur Messebene als Sedimentationsstrecke bezeichnet werden kann. Da die Messung in Abhängigkeit von der Zeit erfolgt, kann bestimmt werden, in welcher Zeit die Sedimentationsstrecke zurückgelegt wurde. Die Sedimentationsgeschwindigkeit ist also:

Für den Stokes-Durchmesser ergibt sich damit:

Damit ist die Formel für die Berechnung der Stokes-Durchmesser im Gravitationsfeld hergeleitet worden.

Die Sedimentation von Partikeln, die kleiner als 5 μm sind, wird durch eine Zentrifuge beschleunigt. In dieser wirkt die Zentrifugalbeschleunigung , weshalb hier für den Stokes-Durchmesser gilt:

mit otationsgeschwindigkeit und Radius der Messebene

In einer Zentrifuge ergibt sich die Sedimentationsgeschwindigkeit des Partikels durch die Zeit , die das Partikel benötigt, um vom Startpunktradius zum Messradius zu gelangen. Es ist also:

Damit ergibt sich für den Stokes-Durchmesser eines Partikels in der Zentrifuge:

Beziehung zwischen der Extinktion und dem Durchmesser der Partikel Bearbeiten

Die Partikel sind so klein, dass die Sedimentationsgeschwindigkeit für einzelne Partikelgrößen nur schwer bestimmt werden kann. Aus diesem Grund muss eine weitere Bezugsgröße herangezogen werden, die von der Partikelgröße abhängig ist und die leichter bestimmt werden kann: Dies ist die Extinktion der Lösung, die bei konstanter Sedimentationsstrecke in Abhängigkeit von der Zeit gemessen wird.
Für die Extinktion der Messung im Gravitationsfeld ist die Sedimentationsstrecke die Höhe der Messebene , wie im Bild im Abschnitt Funktionsweise zu sehen ist. Es gilt:

Für die Extinktion der Messung im Zentrifugalfeld ist die Sedimentationsstrecke die Differenz des Radius der Messebene und des Radius des Startbereiches und es gilt:

Kommt es nun in der Zeitspanne und zur Änderung der Extinktion , dann befinden sich Partikel mit dem durchschnittlichen Stokes-Durchmesser in der Messebene.
Für die Messung im Gravitationsfeld gilt also:


Für die Messung in der Zentrifuge gilt entsprechend:


Mithilfe dieser Gleichung ist es möglich, über mathematische Verfahren den durchschnittlichen Durchmesser der Partikel zu berechnen, die sich in der Zeit der Absoprtionsänderung in der Messebene befinden. Dazu muss allerdings bekannt sein, wie sich der Absorptionskoeffizient mit sich ändernder Partikelgröße ändert. Falls dies nicht gegeben ist, wird eine Referenzprobe zur Kalibrierung genutzt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ D. A. Skoog, F. J. Holler, S. R. Crouch: Instrumentelle Analytik. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-38169-0, S. 931–934.
  2. R. O. Gumprecht, C. M. Sliepcevich: Measurement of Particle Sizes in Polydispersed Systems by Means of Light Transmission Measurements Combined with Differential Settling. In: The Journal of Physical Chemistry. Band 57, Nr. 1, 1953, S. 95–97, doi:10.1021/j150502a020.
  3. ↑ K. Leschonski: Kennzeichnung disperser Systeme, Teilchengrößenanalyse. In: Chemie Ingenieur Technik. Band 45, Nr. 1, 1973, S. 8–18, doi:10.1002/cite.330450103.
  4. ↑ M. Stieß: Mechanische Verfahrenstechnik – Partikeltechnologie 1. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-32551-2.
  5. B. Koglin, K. Leschonski, W. Alex: Teilchengrößenanalyse – 5. Sedimentationsanalyse. In: Chemie Ingenieur Technik. Band 46, Nr. 13, 1974, S. 563–566, doi:10.1002/cite.330461307.
  6. ↑ S. Will, K. Kraft, A. Reith, A. Leipertz: Korngrößenanalyse in der Prozeßmeßtechnik über die Photosedimentation. In: Chemie Ingenieur Technik. Band 67, Nr. 1, 1995, S. 113–117, doi:10.1002/cite.330670118.
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Die Photosedimentation zahlt zu den wichtigsten Verfahren der Partikelgrossenanalyse 1 Bei dieser Technik wird die Grosse von Partikeln bestimmt indem die Geschwindigkeit gemessen wird mit der die Teilchen auf den Boden eines Gefasses sinken Sedimentationsgeschwindigkeit Dies geschieht unter kontinuierlicher Messung der Extinktion der Probe 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionsweise 2 Schematischer Aufbau eines Photosedimentationsgerates 3 Anwendung 4 Mathematischer Hintergrund 4 1 Beziehung zwischen der Sedimentationsgeschwindigkeit und der Partikelgrosse 4 2 Beziehung zwischen der Extinktion und dem Durchmesser der Partikel 5 EinzelnachweiseFunktionsweise BearbeitenIm Allgemeinen lasst sich die Photosedimentation als photometrische Messung der Sedimentationsgeschwindigkeit von Partikeln beschreiben 1 Um diese Messungen zu realisieren wird zunachst eine Dispersion der zu untersuchenden Probe und einer Flussigkeit auch Dispersionsmittel genannt hergestellt 1 Bei der Wahl des Dispersionsmittels ist insbesondere zu beachten dass es eine geringere Dichte hat als die zu untersuchenden Partikel damit die Partikel im Rahmen einer Sedimentation nach unten sinken konnen Weiterhin ist es wichtig dass die Partikel mit dem Dispersionsmittel nicht reagieren durfen und dass sie vom Dispersionsmittel laminar umstromt werden 3 1 Die Dispersion wird so lange geruhrt bis angenommen werden kann dass die Partikel homogen verteilt sind Ausgehend von dieser Homogenitat kann die Sedimentationsgeschwindigkeit der Partikel gemessen werden Abhangig von der Partikelgrosse werden unterschiedliche Verfahren zur Sedimentation angewendet 1 Sind die Partikel grosser als 5 mm wird die Sedimentation durch die Gravitationskraft ausgelost Dazu wird die zuvor hergestellte Dispersion ruhen gelassen und die Partikel beginnen aufgrund der Gravitationskraft nach unten zu sinken Dabei sedimentieren die grossten Teilchen am schnellsten und die kleinsten Teilchen am langsamsten 1 nbsp Modell des Sedimentationsprozesses Sind die Partikel hingegen kleiner als 5 mm wurde die Sedimentation ausgelost durch die Gravitationskraft so lange dauern dass sie von der Brown schen Bewegung beeinflusst werden wurde Aus diesem Grund wird die Sedimentation durch das Wirken der Zentrifugalkraft beschleunigt 1 Um gute Messergebnisse zu erhalten sollte die zuvor hergestellte Probendispersion mit einer Flussigkeit im Uberschichtungsverfahren in eine Zelle der Zentrifuge gefullt werden 4 3 nbsp Uberschichtung von Probendispersion und DispersionsmittelDiese Uberschichtung birgt die Gefahr dass es zu Konvektionsstromungen kommen kann Aus diesem Grund sollte in der Flussigkeit zusatzlich ein Dichtegradient vorliegen 5 Mit dem Einsetzen der Sedimentation startet die photometrische Messung Hierfur wird die Probe in einem bestimmten Bereich Messbereich oder Messebene genannt bestrahlt und die Transmission bzw Extinktion gemessen 1 4 Diese Grossen stehen in Abhangigkeit von der Konzentration der Partikel weil die Strahlung durch Absorptions Brechungs und Streuerscheinungen der Partikel in der Probe abgeschwacht wird 6 Ist die Teilchenkonzentration hoch so ist die Extinktion ebenfalls hoch weil die Strahlung stark abgeschwacht wird Um Aussagen uber die Sedimentationsgeschwindigkeit der Partikel treffen zu konnen und damit auch uber ihre Grosse wird die Extinktion in Abhangigkeit von der Zeit gemessen 1 Dazu wird in der Messebene bestimmt wann sich die Extinktion andert Da die grossten Teilchen die hochste Sedimentationsgeschwindigkeit aufweisen verlassen sie als erstes die Messebene sodass die Extinktion zu diesem Zeitpunkt abnimmt Die Extinktion sinkt erneut sobald die Partikel die etwas kleiner sind die Messebene verlassen haben usw 6 Durch die Anwendung mathematischer Formeln kann uber die Extinktion eine Aussage uber die Grosse der Teilchen gemacht werden Darauf wird im Abschnitt Mathematischer Hintergrund naher eingegangen Schematischer Aufbau eines Photosedimentationsgerates BearbeitenPhotosedimentationen werden mithilfe eines Photosedimentationsgerates durchgefuhrt Dabei gibt es entsprechend der Beschreibung im Abschnitt Funktionsweise Gerate bei denen die Sedimentation in einer Zentrifuge oder solche bei denen die Sedimentation nur durch Gravitation stattfindet Bei den Geraten bei denen die Sedimentation nur im Gravitationsfeld stattfindet bestrahlt eine Strahlungsquelle 1 die Probendispersion in der Probenzelle 3 in Hohe der Messebene Damit nur diese Ebene getroffen wird wird vor die Probenzelle eine Blende 2 aufgebaut Die transmittierte Strahlung gelangt zum Probenphotodetektor 4 und wird von dort aus uber den Signalprozessor 5 zum Computer 6 geleitet und verarbeitet Durch den Referenzphotodetektor 7 wird zusatzlich Strahlung der Lichtquelle gemessen 1 nbsp Schematische Ubersicht eines Photosedimentationsgerates bei dem die Sedimentation durch Gravitationskraft stattfindetWird die Sedimentation durch eine Zentrifuge beschleunigt so sieht der Aufbau etwas anders aus Durch einen Motor 1 wird die Zentrifuge 2 angetrieben die mit einer Probenzelle 3 und einer Referenzzelle 4 gefullt ist Diese Zellen werden mit den Lichtquellen 5 und 6 bestrahlt wobei die transmittierte Strahlung von der Probenzelle auf den Detektor 7 und von der Referenzzelle auf Detektor 8 trifft Diese Signale werden uber den Signalprozessor 9 an den Computer 10 geleitet Dort werden sie schliesslich verarbeitet Durch den Computer wird uber die Kontrollstelle 11 die Geschwindigkeit der Zentrifuge reguliert 1 nbsp Schematische Ubersicht eines Photosedimentationsgerates bei dem die Sedimentation durch Zentrifugalkraft stattfindetAnwendung BearbeitenDie Photosedimentation wird allgemein in der Qualitatssicherung eingesetzt Sie dient dazu die Grosse von z B Polymeren und Farbstoffen oder von Partikeln in Medikamenten zu bestimmen Ein mogliches Einsatzgebiet des vorgestellten Verfahrens ist pharmazeutischen Industrie Hier werden bspw Asthmasprays hergestellt die den Wirkstoff in Form von kleinsten Partikeln direkt in die Lunge abgeben Aufgrund dieser direkten Abgabe ist es wichtig die Partikelgrosse zu kontrollieren was mithilfe der Photosedimentation geschehen kann 1 Mathematischer Hintergrund BearbeitenUm das Messprinzip eines Photosedimentationsgerates zu verstehen mussen die Abhangigkeit zwischen der Sedimentationsgeschwindigkeit und der Partikelgrosse sowie die Beziehung der Extinktion und der Partikelgrosse geklart werden Beziehung zwischen der Sedimentationsgeschwindigkeit und der Partikelgrosse Bearbeiten Am einfachsten sind Berechnungen fur Partikel durchzufuhren die rund wie eine Kugel sind Da aber nicht davon ausgegangen werden kann dass die zu untersuchenden Partikel wie eine Kugel geformt sind wird ihnen der Aquivalentdurchmesser einer solchen zugeordnet Dies bedeutet dass ein Partikel einer Kugel mit einem bestimmten Durchmesser gleichgesetzt wird die aus dem gleichen Material besteht und die gleiche Sedimentationsgeschwindigkeit besitzt 1 Da vor allem sehr kleine Partikel untersucht werden und weil die Partikel vom Dispersionsmittel laminar umstromt werden sollen kann dieser Durchmesser mithilfe des Gesetzes von Stokes bestimmt werden 4 1 Dieser Aquivalentdurchmesser der Partikel nennt sich Stokes Durchmesser und stellt den Durchmesser in Abhangigkeit von der Geschwindigkeit dar Fur die Sedimentation durch Gravitation wird der Stokes Durchmesser wie folgt berechnet 1 d Stokes 18 h r P r D g u u h t d Stokes 18 h r P r D g h t displaystyle begin aligned amp d text Stokes sqrt frac 18 eta rho P rho D cdot g cdot u overset u frac h t implies amp d text Stokes sqrt frac 18 eta rho P rho D cdot g cdot frac h t end aligned nbsp h displaystyle eta nbsp steht hier fur die Viskositat des Dispersionsmittels r P displaystyle rho P nbsp fur die Dichte des Partikels r D displaystyle rho D nbsp fur die Dichte des Dispersionsmittels g displaystyle g nbsp fur die Erdbeschleunigung und u displaystyle u nbsp fur die Sedimentationsgeschwindigkeit die sich aus der Sedimentationsstrecke h displaystyle h nbsp sowie der Zeit t displaystyle t nbsp zusammensetzt dd Fur die Sedimentation in der Zentrifuge lautet die Formel fur den Stokes Durchmesser 1 d Stokes 18 h r P r D w 2 r M u u ln r M r 0 r M t d Stokes 18 h ln r M r 0 r P r D w 2 t displaystyle begin aligned amp d text Stokes sqrt frac 18 eta rho P rho D cdot omega 2 cdot r M cdot u overset u frac ln left frac r M r 0 right cdot r M t Longrightarrow amp d text Stokes sqrt frac 18 eta cdot ln left frac r M r 0 right rho P rho D cdot omega 2 cdot t end aligned nbsp w displaystyle omega nbsp steht fur die Rotationsgeschwindigkeit r M displaystyle r M nbsp fur den Radius der Messebene und r 0 displaystyle r 0 nbsp fur den Startpunktradius dd Herleitung des Stokes Durchmessers Es wird ein Teilchen betrachtet dass sich im Dispersionsmittel befindet Auf dieses Teilchen wirken u a eine Kraft wie die Gravitationskraft F G displaystyle F G nbsp die es zum Absinken bringt und eine Auftriebskraft F A displaystyle F A nbsp Ist nun bspw die Gravitationskraft grosser sinkt das Teilchen hinab und wird dabei beschleunigt Dadurch dass die Geschwindigkeit immer mehr zunimmt nimmt auch die Reibungskraft F R displaystyle F R nbsp die auf das Teilchen wirkt immer mehr zu Infolgedessen wird also die Beschleunigung die das Teilchen erfahrt immer geringer sodass es sich schliesslich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt Es ist dann 4 F G F A F R displaystyle F G F A F R nbsp Diese Krafte lassen sich auch wie folgt beschreiben 4 F G r P V P g displaystyle F G rho P cdot V P cdot g nbsp mit r P displaystyle rho P nbsp Dichte des Partikels V P displaystyle V P nbsp Volumen des Partikels g displaystyle g nbsp ErdbeschleunigungF A r D V P g displaystyle F A rho D cdot V P cdot g nbsp mit r D displaystyle rho D nbsp Dichte des Dispersionsmittels V P displaystyle V P nbsp Volumen des Partikels g displaystyle g nbsp ErdbeschleunigungF R u f displaystyle F R u cdot f nbsp mit u displaystyle u nbsp Absinkgeschwindigkeit bzw Sedimentationsgeschwindigkeit f displaystyle f nbsp ReibungskoeffizientDamit ist also r P V P g r D V P g u f r P r D V P g u f displaystyle begin alignedat 2 amp rho P cdot V P cdot g rho D cdot V P cdot g amp u cdot f Leftrightarrow amp rho P rho D cdot V P cdot g amp u cdot f end alignedat nbsp Da oben beschrieben wurde dass dem Partikel eine Kugel zugeordnet werden soll wird das Volumen des Partikels V P displaystyle V P nbsp wie das Volumen einer Kugel berechnet dd V P 4 3 p r 3 displaystyle V P frac 4 3 cdot pi cdot r 3 nbsp mit r displaystyle r nbsp Radius dd Ausserdem wurde gesagt dass das Gesetz von Stokes angewendet werden darf Der Reibungskoeffizient f displaystyle f nbsp lasst sich daher wie folgt schreiben 1 dd f 6 P h r displaystyle f 6 cdot Pi cdot eta cdot r nbsp mit h displaystyle eta nbsp Viskositat des Dispersionsmittels dd Werden diese beiden Gleichungen eingesetzt ergibt sich r P r D 4 3 p r 3 g u 6 P h r displaystyle rho P rho D cdot frac 4 3 cdot pi cdot r 3 cdot g u cdot 6 cdot Pi cdot eta cdot r nbsp Nach u displaystyle u nbsp umgestellt ist u r P r D g 18 h 2 r 2 r P r D g 18 h d 2 displaystyle u frac rho P rho D cdot g 18 eta 2r 2 frac rho P rho D cdot g 18 eta d 2 nbsp Wird dies nach dem Durchmesser d displaystyle d nbsp umgestellt erhalt man den Stokes Durchmesser d Stokes 18 h r P r D g u displaystyle d text Stokes sqrt frac 18 eta rho P rho D cdot g cdot u nbsp Wie im Kapitel zur Funktionsweise beschrieben wurde und im dort eingefugten Bild zu sehen ist ist die Messebene festgelegt sodass die Strecke vom Startpunkt bis zur Messebene als Sedimentationsstrecke h displaystyle h nbsp bezeichnet werden kann Da die Messung in Abhangigkeit von der Zeit erfolgt kann bestimmt werden in welcher Zeit t displaystyle t nbsp die Sedimentationsstrecke h displaystyle h nbsp zuruckgelegt wurde Die Sedimentationsgeschwindigkeit ist also 1 u h t displaystyle u frac h t nbsp Fur den Stokes Durchmesser d Stokes displaystyle d text Stokes nbsp ergibt sich damit d Stokes 18 h r P r D g h t displaystyle d text Stokes sqrt frac 18 eta rho P rho D cdot g cdot frac h t nbsp Damit ist die Formel fur die Berechnung der Stokes Durchmesser im Gravitationsfeld hergeleitet worden Die Sedimentation von Partikeln die kleiner als 5 mm sind wird durch eine Zentrifuge beschleunigt In dieser wirkt die Zentrifugalbeschleunigung w 2 r M displaystyle omega 2 cdot r M nbsp weshalb hier fur den Stokes Durchmesser d Stokes displaystyle d text Stokes nbsp gilt 1 d Stokes 18 h r P r D w 2 r M u displaystyle d text Stokes sqrt frac 18 eta rho P rho D cdot omega 2 cdot r M cdot u nbsp mit w displaystyle omega nbsp otationsgeschwindigkeit und r M displaystyle r M nbsp Radius der MessebeneIn einer Zentrifuge ergibt sich die Sedimentationsgeschwindigkeit u displaystyle u nbsp des Partikels durch die Zeit t displaystyle t nbsp die das Partikel benotigt um vom Startpunktradius r 0 displaystyle r 0 nbsp zum Messradius r M displaystyle r M nbsp zu gelangen Es ist also 1 u ln r M r 0 r M t displaystyle u frac ln left frac r M r 0 right cdot r M t nbsp Damit ergibt sich fur den Stokes Durchmesser d Stokes displaystyle d text Stokes nbsp eines Partikels in der Zentrifuge d Stokes 18 h ln r M r 0 r P r D w 2 t displaystyle d text Stokes sqrt frac 18 eta cdot ln left frac r M r 0 right rho P rho D cdot omega 2 cdot t nbsp Beziehung zwischen der Extinktion und dem Durchmesser der Partikel Bearbeiten Die Partikel sind so klein dass die Sedimentationsgeschwindigkeit fur einzelne Partikelgrossen nur schwer bestimmt werden kann Aus diesem Grund muss eine weitere Bezugsgrosse herangezogen werden die von der Partikelgrosse abhangig ist und die leichter bestimmt werden kann Dies ist die Extinktion A displaystyle A nbsp der Losung die bei konstanter Sedimentationsstrecke in Abhangigkeit von der Zeit gemessen wird Fur die Extinktion der Messung im Gravitationsfeld ist die Sedimentationsstrecke die Hohe der Messebene h displaystyle h nbsp wie im Bild im Abschnitt Funktionsweise zu sehen ist Es gilt 1 A t k c h i 0 i Stokes K i n i d i 2 displaystyle A t k cdot c cdot h cdot sum i 0 i text Stokes K i cdot n i cdot d i 2 nbsp Fur die Extinktion der Messung im Zentrifugalfeld ist die Sedimentationsstrecke die Differenz des Radius der Messebene und des Radius des Startbereiches r M r 0 displaystyle r M r 0 nbsp und es gilt 1 A t k c r M r 0 i 0 i Stokes K i n i d i 2 displaystyle A t k cdot c cdot r M r 0 cdot sum i 0 i text Stokes K i cdot n i cdot d i 2 nbsp Dabei steht k displaystyle k nbsp fur den Formfaktor c displaystyle c nbsp fur die Konzentration der Partikel h displaystyle h nbsp bzw r M r 0 displaystyle r M r 0 nbsp fur die Sedimentationsstrecke K i displaystyle K i nbsp fur den Absorptionskoeffizienten der Partikel mit dem Durchmesser d i displaystyle d i nbsp und n i displaystyle n i nbsp fur die Anzahl der Partikel mit dem Durchmesser d i displaystyle d i nbsp in der Messebene Es ist dabei zu beachten dass der Durchmesser d Stokes displaystyle d text Stokes nbsp der Stokes Durchmesser zur Zeit t displaystyle t nbsp ist 1 dd Kommt es nun in der Zeitspanne t displaystyle t nbsp und t D displaystyle t Delta nbsp zur Anderung der Extinktion D A t displaystyle Delta A t nbsp dann befinden sich Partikel mit dem durchschnittlichen Stokes Durchmesser d i displaystyle d i nbsp in der Messebene 1 Fur die Messung im Gravitationsfeld gilt also 1 D A t K i k c h n i d i 2 displaystyle frac Delta A t K i k cdot c cdot h cdot n i cdot d i 2 nbsp Fur die Messung in der Zentrifuge gilt entsprechend 1 D A t K i k c r M r 0 n i d i 2 displaystyle frac Delta A t K i k cdot c cdot r M r 0 cdot n i cdot d i 2 nbsp Mithilfe dieser Gleichung ist es moglich uber mathematische Verfahren den durchschnittlichen Durchmesser der Partikel zu berechnen die sich in der Zeit der Absoprtionsanderung in der Messebene befinden Dazu muss allerdings bekannt sein wie sich der Absorptionskoeffizient mit sich andernder Partikelgrosse andert Falls dies nicht gegeben ist wird eine Referenzprobe zur Kalibrierung genutzt 1 Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab D A Skoog F J Holler S R Crouch Instrumentelle Analytik 6 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 38169 0 S 931 934 R O Gumprecht C M Sliepcevich Measurement of Particle Sizes in Polydispersed Systems by Means of Light Transmission Measurements Combined with Differential Settling In The Journal of Physical Chemistry Band 57 Nr 1 1953 S 95 97 doi 10 1021 j150502a020 a b K Leschonski Kennzeichnung disperser Systeme Teilchengrossenanalyse In Chemie Ingenieur Technik Band 45 Nr 1 1973 S 8 18 doi 10 1002 cite 330450103 a b c d e M Stiess Mechanische Verfahrenstechnik Partikeltechnologie 1 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 32551 2 B Koglin K Leschonski W Alex Teilchengrossenanalyse 5 Sedimentationsanalyse In Chemie Ingenieur Technik Band 46 Nr 13 1974 S 563 566 doi 10 1002 cite 330461307 a b S Will K Kraft A Reith A Leipertz Korngrossenanalyse in der Prozessmesstechnik uber die Photosedimentation In Chemie Ingenieur Technik Band 67 Nr 1 1995 S 113 117 doi 10 1002 cite 330670118 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Photosedimentation amp oldid 238506814