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Persistente Homologie ist eine algebraische Methode um topologische Eigenschaften von Daten zu erkennen Daten sind in de

Persistente Homologie

Persistente Homologie ist eine algebraische Methode, um topologische Eigenschaften von Daten zu erkennen.

Daten sind in der Regel als diskrete Punktmengen gegeben und haben insoweit keine interessante Topologie. Man kann ihnen aber ihren Vietoris-Rips-Komplex zukommen lassen, indem man für eine feste Zahl Punkte vom paarweisen Abstand kleiner zu Simplizes zusammenfasst. Für sehr kleine erhält man eine diskrete Menge und für sehr große einen vollständigen Simplizialkomplex mit trivialer (d. h. zusammenziehbarer) Topologie. Für dazwischenliegende Werte von können "Löcher" (nichttriviale Elemente in Homologiegruppen) erscheinen und wieder verschwinden. Die "Persistenz" einer Homologieklasse besteht aus Intervallen : die Homologieklasse erscheint beim Maßstab und verschwindet wieder beim Maßstab . Die Gesamtheit dieser Intervalle nennt man den "Strichcode" der Homologieklasse. Die Strichcodes einer Datenmenge sind stabil unter geringfügigen Störungen der Daten.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Simplizialkomplex mit einer Filtrierung

Für induziert die Inklusion einen Homomorphismus der simplizialen Homologiegruppen für jede Dimension . Man sagt, dass eine Homologieklasse in geboren wird, wenn sie nicht im Bild von ist, und man sagt, dass sie in stirbt, wenn und . Man bezeichnet dann als Persistenz der Homologieklasse und als ihr Persistenzintervall.

Das Persistenzdiagramm (in Dimension ) ordnet jeder Zahl die (Multi-)Menge der Persistenzintervalle von Homologieklassen zu.

Literatur Bearbeiten

  • H. Edelsbruner, J. Harer: Persistent homology—a survey. Surveys on discrete and computational geometry, 257–282, Contemp. Math., 453, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008.
  • H. Edelsbrunner, D. Morozov: Persistent homology: theory and practice. European Congress of Mathematics, 31–50, Eur. Math. Soc., Zürich, 2013.
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Persistente Homologie ist eine algebraische Methode um topologische Eigenschaften von Daten zu erkennen Daten sind in der Regel als diskrete Punktmengen gegeben und haben insoweit keine interessante Topologie Man kann ihnen aber ihren Vietoris Rips Komplex zukommen lassen indem man fur eine feste Zahl d displaystyle d Punkte vom paarweisen Abstand kleiner d displaystyle d zu Simplizes zusammenfasst Fur sehr kleine d displaystyle d erhalt man eine diskrete Menge und fur sehr grosse d displaystyle d einen vollstandigen Simplizialkomplex mit trivialer d h zusammenziehbarer Topologie Fur dazwischenliegende Werte von d displaystyle d konnen Locher nichttriviale Elemente in Homologiegruppen erscheinen und wieder verschwinden Die Persistenz einer Homologieklasse besteht aus Intervallen d 1 d 2 displaystyle d 1 d 2 die Homologieklasse erscheint beim Massstab d 1 displaystyle d 1 und verschwindet wieder beim Massstab d 2 displaystyle d 2 Die Gesamtheit dieser Intervalle nennt man den Strichcode der Homologieklasse Die Strichcodes einer Datenmenge sind stabil unter geringfugigen Storungen der Daten Definition BearbeitenGegeben sei ein Simplizialkomplex K displaystyle K nbsp mit einer Filtrierung K 0 K 1 K n K displaystyle emptyset K 0 subseteq K 1 subseteq cdots subseteq K n K nbsp Fur 0 i j n displaystyle 0 leq i leq j leq n nbsp induziert die Inklusion K i K j displaystyle K i hookrightarrow K j nbsp einen Homomorphismus f p i j H p K i Z 2 Z H p K j Z 2 Z displaystyle f p i j H p K i mathbb Z 2 mathbb Z rightarrow H p K j mathbb Z 2 mathbb Z nbsp der simplizialen Homologiegruppen fur jede Dimension p displaystyle p nbsp Man sagt dass eine Homologieklasse a H p K i Z 2 Z displaystyle alpha in H p K i mathbb Z 2 mathbb Z nbsp in K i displaystyle K i nbsp geboren wird wenn sie nicht im Bild von f p i 1 i displaystyle f p i 1 i nbsp ist und man sagt dass sie in K j displaystyle K j nbsp stirbt wenn f p i j 1 a 0 displaystyle f p i j 1 alpha not 0 nbsp und f p i j a 0 displaystyle f p i j alpha 0 nbsp Man bezeichnet dann j i displaystyle j i nbsp als Persistenz der Homologieklasse a displaystyle alpha nbsp und i j displaystyle left i j right nbsp als ihr Persistenzintervall Das Persistenzdiagramm in Dimension p displaystyle p nbsp ordnet jeder Zahl 0 k n displaystyle 0 leq k leq n nbsp die Multi Menge der Persistenzintervalle i j displaystyle left i j right nbsp von Homologieklassen a H p K k Z 2 Z displaystyle alpha in H p K k mathbb Z 2 mathbb Z nbsp zu Literatur BearbeitenH Edelsbruner J Harer Persistent homology a survey Surveys on discrete and computational geometry 257 282 Contemp Math 453 Amer Math Soc Providence RI 2008 H Edelsbrunner D Morozov Persistent homology theory and practice European Congress of Mathematics 31 50 Eur Math Soc Zurich 2013 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Persistente Homologie amp oldid 217354230