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Optionale σ Algebra Die optionale σ Algebra bezeichnet in der Theorie der stochastischen Prozesse eine σ Algebra auf dem

Optionale σ-Algebra

Die optionale σ-Algebra bezeichnet in der Theorie der stochastischen Prozesse eine σ-Algebra auf dem Produktraum , die von den adaptierten Càdlàg-Prozessen erzeugt wird.

Ein Prozess, der messbar bezüglich dieser σ-Algebra ist, heißt optional.

Definition Bearbeiten

Sei ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, der die üblichen Bedingungen erfüllt.

Die optionale σ-Algebra (oder notiert) ist die σ-Algebra auf , die von den -adaptierten Càdlàg-Prozessen erzeugt wird. Ein Prozess, der messbar bezüglich dieser σ-Algebra ist, d. h. die Abbildung ist -messbar, heißt optional.

Eigenschaften Bearbeiten

Sei die vorhersagbare σ-Algebra und die progressiv messbare σ-Algebra. Dann gilt die Inklusion

Wichtige Sätze Bearbeiten

Die folgenden Sätze heißen Sektionssatz (englisch section theorem) und Projektionssatz (englisch projection theorem). Von beiden gibt es eine optionale Variante und eine vorhersagbare Variante.

Für beide Sätze setzen wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum voraus, der die üblichen Bedingungen erfüllt.

Optionaler Sektionssatz Bearbeiten

Für eine Stoppzeit definieren wir ihren Graphen , weiter definieren wir die kanonische Projektion .

Sei eine optionale Menge. Für jedes existiert eine Stoppzeit , so dass

  1. für den Graphen gilt.

Optionaler Projektionssatz Bearbeiten

Sei ein messbarer Prozess, der entweder positiv oder beschränkt ist. Dann existiert ein eindeutiger (bis auf Ununterscheidbarkeit) optionaler Prozess , so dass

Der Prozess heißt optionale Projektion und wird auch mit notiert.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999, S. 172 (englisch).
  2. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999, S. 172 (englisch).
  3. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999, S. 173 (englisch).
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Die optionale s Algebra bezeichnet in der Theorie der stochastischen Prozesse eine s Algebra auf dem Produktraum W R displaystyle Omega times mathbb R die von den adaptierten Cadlag Prozessen erzeugt wird Ein Prozess der messbar bezuglich dieser s Algebra ist heisst optional Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Wichtige Satze 3 1 Optionaler Sektionssatz 3 2 Optionaler Projektionssatz 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei W F F t P displaystyle Omega mathcal F mathcal F t P nbsp ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum der die ublichen Bedingungen erfullt Die optionale s Algebra O displaystyle mathcal O nbsp oder O F t displaystyle mathcal O mathcal F t nbsp notiert ist die s Algebra auf W R displaystyle Omega times mathbb R nbsp die von den F t displaystyle mathcal F t nbsp adaptierten Cadlag Prozessen X t t 0 displaystyle X t t geq 0 nbsp erzeugt wird Ein Prozess der messbar bezuglich dieser s Algebra ist d h die Abbildung w t X t w displaystyle omega t mapsto X t omega nbsp ist O displaystyle mathcal O nbsp messbar heisst optional 1 Eigenschaften BearbeitenSei P displaystyle mathcal P nbsp die vorhersagbare s Algebra und Prog displaystyle text Prog nbsp die progressiv messbare s Algebra Dann gilt die Inklusion P O Prog F B R displaystyle mathcal P subset mathcal O subset text Prog subset mathcal F infty otimes mathcal B mathbb R nbsp Wichtige Satze BearbeitenDie folgenden Satze heissen Sektionssatz englisch section theorem und Projektionssatz englisch projection theorem Von beiden gibt es eine optionale Variante und eine vorhersagbare Variante Fur beide Satze setzen wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum W A F t P displaystyle Omega mathcal A mathcal F t P nbsp voraus der die ublichen Bedingungen erfullt Optionaler Sektionssatz Bearbeiten Fur eine Stoppzeit S displaystyle S nbsp definieren wir ihren Graphen S w t W R S w t displaystyle S omega t in Omega times mathbb R S omega t nbsp weiter definieren wir die kanonische Projektion p W R W displaystyle pi Omega times mathbb R to Omega nbsp Sei A displaystyle A nbsp eine optionale Menge Fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp existiert eine Stoppzeit T displaystyle T nbsp so dass fur den Graphen T A displaystyle T subset A nbsp gilt P T lt P p A e displaystyle P T lt infty geq P pi A varepsilon nbsp 2 Optionaler Projektionssatz Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp ein messbarer Prozess der entweder positiv oder beschrankt ist Dann existiert ein eindeutiger bis auf Ununterscheidbarkeit optionaler Prozess Y displaystyle Y nbsp so dass E X T 1 T lt F T Y T 1 T lt displaystyle mathbb E X T 1 T lt infty mathcal F T Y T 1 T lt infty nbsp fast sicher fur jede Stoppzeit T displaystyle T nbsp Der Prozess Y displaystyle Y nbsp heisst optionale Projektion und wird auch mit o X displaystyle o X nbsp notiert 3 Einzelnachweise Bearbeiten Daniel Revuz und Marc Yor Continuous Martingales and Brownian Motion In Springer Hrsg Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 293 1999 S 172 englisch Daniel Revuz und Marc Yor Continuous Martingales and Brownian Motion In Springer Hrsg Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 293 1999 S 172 englisch Daniel Revuz und Marc Yor Continuous Martingales and Brownian Motion In Springer Hrsg Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 293 1999 S 173 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Optionale s Algebra amp oldid 227873035