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Omega beschränkter Raum Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die ω displaystyle omega Beschränktheit ei

Omega-beschränkter Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die -Beschränktheit eine Abschwächung des für die Theorie topologischer Räume zentralen Begriffs der Kompaktheit.

Definition Bearbeiten

Ein topologischer Raum heißt -beschränkt, wenn jede abzählbare Teilmenge in einer kompakten Teilmenge enthalten ist. Oft wird zusätzlich gefordert, dass der Raum hausdorffsch ist. Dem folgen wir hier nicht.

Zusammenhang mit anderen Kompaktheitsbegriffen Bearbeiten

  • Jeder kompakte Raum ist -beschränkt.
  • Jeder -beschränkte Raum ist abzählbar kompakt.
  • Für metrisierbare Räume sind die Begriffe kompakt, -beschränkt und abzählbar kompakt alle äquivalent. Insbesondere ist -Beschränktheit daher für alle Teilmengen des gleichbedeutend mit Kompaktheit.

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Abgeschlossene Teilmengen von -beschränkten Räumen sind -beschränkt.
  • Beliebige Produkte von -beschränkten Räumen sind -beschränkt. Dies ist für abzählbar kompakte Räume im Allgemeinen nicht richtig.

Zusammenhang mit 2-Mannigfaltigkeiten und das Bagpipe Theorem Bearbeiten

Eine 2-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff-Raum, der lokal homöomorph zur Euklidischen Ebene ist. Gewöhnlicherweise wird noch Zweitabzählbarkeit gefordert. Da sich solche Räume immer in einen einbetten lassen, sind für sie -Beschränktheit und Kompaktheit äquivalent. Die -beschränkten (also kompakten) 2-Mannigfaltigkeiten sind alle komplett klassifiziert: Jede solche entsteht aus einer Sphäre durch Ankleben von endlich vielen Henkeln oder Kreuzhauben (Siehe Klassifikation der Flächen).

Wenn man in der Definition der Mannigfaltigkeit die Zweitabzählbarkeit weglässt, so gibt es deutlich mehr -beschränkte 2-Mannigfaltigkeiten. Das Bagpipe Theorem (auf deutsch etwa Dudelsack-Satz) von Peter Nyikos besagt, dass jede solche Mannigfaltigkeit trotzdem durch endlich viele Schritte aus einer Sphäre entsteht, indem man Henkel, Kreuzhauben oder sogenannte lange Pfeifen (englisch long pipes) anklebt, wodurch mit viel Phantasie eine Ähnlichkeit zu einem Dudelsack entsteht. Die genaue Definition einer langen Pfeife werden wir hier nicht angeben.

Literatur Bearbeiten

  • David Gauld: Nonmetrisable Manifolds. Springer, Auckland 2014
  • Peter Nyikos: The theory of nonmetrizable manifolds. in Kunen,K.,Vaughan,J.E.(eds.)Handbook of Set-Theoretic Topology, Seiten. 634–684, Amsterdam 1984

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Gauld: Nonmetrisable Manifolds. 2014, Definition 4.6.
  2. Gauld: Nonmetrisable Manifolds. 2014, Lemma 4.9.
  3. Gauld: Nonmetrisable Manifolds. 2014, Corollary 4.8.
  4. Engelking: General Topology. 1989, Example 3.10.19.
  5. Gauld: Nonmetrisable Manifolds. 2014, Theorem A.49.
  6. Gauld: Nonmetrisable Manifolds. 2014, Theorem 4.18.
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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die w displaystyle omega Beschranktheit eine Abschwachung des fur die Theorie topologischer Raume zentralen Begriffs der Kompaktheit Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zusammenhang mit anderen Kompaktheitsbegriffen 3 Beispiele 4 Eigenschaften 5 Zusammenhang mit 2 Mannigfaltigkeiten und das Bagpipe Theorem 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin topologischer Raum heisst w displaystyle omega nbsp beschrankt wenn jede abzahlbare Teilmenge in einer kompakten Teilmenge enthalten ist 1 Oft wird zusatzlich gefordert dass der Raum hausdorffsch ist Dem folgen wir hier nicht Zusammenhang mit anderen Kompaktheitsbegriffen BearbeitenJeder kompakte Raum ist w displaystyle omega nbsp beschrankt Jeder w displaystyle omega nbsp beschrankte Raum ist abzahlbar kompakt 2 Fur metrisierbare Raume sind die Begriffe kompakt w displaystyle omega nbsp beschrankt und abzahlbar kompakt alle aquivalent 3 Insbesondere ist w displaystyle omega nbsp Beschranktheit daher fur alle Teilmengen des R n displaystyle mathbb R n nbsp gleichbedeutend mit Kompaktheit Beispiele BearbeitenBetrachtet man den Ordinalzahlraum 0 w 1 displaystyle 0 omega 1 nbsp mit Ordnungstopologie wobei w 1 displaystyle omega 1 nbsp die erste uberabzahlbare Ordinalzahl bezeichne so ist dieser topologische Raum w displaystyle omega nbsp beschrankt aber nicht kompakt Ebenso ist die Lange Gerade die mit dem vorherigen Beispiel eng verbunden ist w displaystyle omega nbsp beschrankt aber nicht kompakt Eigenschaften BearbeitenAbgeschlossene Teilmengen von w displaystyle omega nbsp beschrankten Raumen sind w displaystyle omega nbsp beschrankt Beliebige Produkte von w displaystyle omega nbsp beschrankten Raumen sind w displaystyle omega nbsp beschrankt Dies ist fur abzahlbar kompakte Raume im Allgemeinen nicht richtig 4 Zusammenhang mit 2 Mannigfaltigkeiten und das Bagpipe Theorem BearbeitenEine 2 Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff Raum der lokal homoomorph zur Euklidischen Ebene R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp ist Gewohnlicherweise wird noch Zweitabzahlbarkeit gefordert Da sich solche Raume immer in einen R n displaystyle mathbb R n nbsp einbetten lassen sind fur sie w displaystyle omega nbsp Beschranktheit und Kompaktheit aquivalent Die w displaystyle omega nbsp beschrankten also kompakten 2 Mannigfaltigkeiten sind alle komplett klassifiziert Jede solche entsteht aus einer Sphare durch Ankleben von endlich vielen Henkeln oder Kreuzhauben 5 Siehe Klassifikation der Flachen Wenn man in der Definition der Mannigfaltigkeit die Zweitabzahlbarkeit weglasst so gibt es deutlich mehr w displaystyle omega nbsp beschrankte 2 Mannigfaltigkeiten Das Bagpipe Theorem auf deutsch etwa Dudelsack Satz von Peter Nyikos besagt dass jede solche Mannigfaltigkeit trotzdem durch endlich viele Schritte aus einer Sphare entsteht indem man Henkel Kreuzhauben oder sogenannte lange Pfeifen englisch long pipes anklebt wodurch mit viel Phantasie eine Ahnlichkeit zu einem Dudelsack entsteht 6 Die genaue Definition einer langen Pfeife werden wir hier nicht angeben Literatur BearbeitenDavid Gauld Nonmetrisable Manifolds Springer Auckland 2014Peter Nyikos The theory of nonmetrizable manifolds in Kunen K Vaughan J E eds Handbook of Set Theoretic Topology Seiten 634 684 Amsterdam 1984Einzelnachweise Bearbeiten Gauld Nonmetrisable Manifolds 2014 Definition 4 6 Gauld Nonmetrisable Manifolds 2014 Lemma 4 9 Gauld Nonmetrisable Manifolds 2014 Corollary 4 8 Engelking General Topology 1989 Example 3 10 19 Gauld Nonmetrisable Manifolds 2014 Theorem A 49 Gauld Nonmetrisable Manifolds 2014 Theorem 4 18 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Omega beschrankter Raum amp oldid 198579606