Die Omega Konstante W displaystyle Omega ist eine mathematische Konstante die implizit durch W e W 1 displaystyle Omega e Omega 1 mit der Eulerschen Zahl e displaystyle e definiert ist Es gilt W W 1 displaystyle Omega W 1 wobei W displaystyle W die Lambertsche W Funktion ist Die Bezeichnung W displaystyle Omega kommt von Omegafunktion dem zweiten Namen der Lambertschen W Funktion Die ersten Dezimalstellen von W displaystyle Omega lauten W 0 567 143290409783872999968662210 displaystyle Omega 0 567143290409783872999968662210 dots 1 Eigenschaften BearbeitenW ln 1 W displaystyle Omega ln left frac 1 Omega right nbsp W ln W displaystyle Omega ln Omega nbsp W e W displaystyle Omega e Omega nbsp bzw 1 W e W displaystyle 1 Omega e Omega nbsp d h an der Stelle W displaystyle Omega nbsp schneiden sich die Exponentialfunktion e x displaystyle e x nbsp und die Funktion f x 1 x displaystyle f x 1 x nbsp Wenn man einen Potenzturm der mit e displaystyle e nbsp beginnt und mit e displaystyle e nbsp nach oben geht anlegt bekommt man W displaystyle Omega nbsp W e e e displaystyle Omega e e e cdot cdot cdot nbsp dd In etwas anderen Worten bedeutet dies dass W displaystyle Omega nbsp der Grenzwert der durchW n 1 e W n displaystyle Omega n 1 e Omega n nbsp dd mit beliebigem Startwert W 0 displaystyle Omega 0 nbsp rekursiv definierten Folge ist DurchW e 1 lim n e 1 n displaystyle Omega e 1 uparrow uparrow infty lim n to infty e 1 uparrow uparrow n nbsp dd kommt in der sog Pfeilschreibweise die BeziehungW 1 e 1 e 1 e displaystyle Omega 1 e 1 e 1 e cdot cdot cdot nbsp dd zum Ausdruck dass W displaystyle Omega nbsp also der Wert dieses unendlichen Potenzturmes mit lauter gleichen Basen 1 e displaystyle 1 e nbsp ist was wiederum nur eine ziemlich triviale Umformulierung der beiden vorstehenden Eigenschaften darstellt d t e t t 2 p 2 1 1 W 0 638 103743365110778522407385519 displaystyle int infty infty frac text d t e t t 2 pi 2 frac 1 1 Omega 0 638103743365110778522407385519 dots nbsp 2 W 1 p Re 0 p log e e i t e i t e e i t e i t d t displaystyle Omega frac 1 pi operatorname Re int 0 pi log left frac e e it e it e e it e it right text d t nbsp 3 wobei mittels Re displaystyle operatorname Re nbsp der Realteil des Integrals gebildet wird W displaystyle Omega nbsp ist eine transzendente Zahl Ware namlich W displaystyle Omega nbsp eine algebraische Zahl wurde nach dem Satz von Lindemann Weierstrass e W displaystyle e Omega nbsp transzendent Das widerspricht aber e W W displaystyle e Omega Omega nbsp sodass W displaystyle Omega nbsp eine transzendente Zahl sein muss Einzelnachweise Bearbeiten Folge A030178 in OEIS Folge A115287 in OEIS Istvan Mezo An integral representation for the principal branch of Lambert the W function Abgerufen am 19 November 2018 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Omega Constant In MathWorld englisch Folge A030178 in OEIS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Omega Konstante amp oldid 230167051
