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Oberflächengradient In der Vektoranalysis bezeichnet der einen Differentialoperator ähnlich dem Gradienten Dabei wird de

Oberflächengradient

In der Vektoranalysis bezeichnet der Oberflächengradient einen Differentialoperator ähnlich dem Gradienten. Dabei wird der Gradient entlang einer Fläche gebildet.

Definition Bearbeiten

Für eine Fläche in einem Skalarfeld wird der Oberflächengradient definiert als

Dabei bezeichnet den Normaleneinheitsvektor an die Fläche. Der Oberflächengradient stellt also den gewöhnlichen Gradienten ohne den zur Fläche normalen Anteil dar. Er ist daher tangential zur Fläche. Der Oberflächengradient kann auch als orthogonale Projektion des Gradienten auf die Fläche interpretiert werden.

In der Tensoranalysis wird der Oberflächengradient oft definiert als:

mit dem Flächenprojektionstensor .

Man kann diesen Gradienten jedoch auch allgemeiner definieren.

Sei ein Skalarfeld. Man wendet das tangentiale Vektorfeld mit einem Skalarprodukt an einen beliebigen Vektor an, dann ist der Oberflächengradient eines Skalarfeldes wie folgt definiert:

Sei ein räumliches Feld und sei ein Tensorfeld 2. Stufe. Dann transformiert dieses Tensorfeld ein beliebiges tangentiales Vektorfeld in allen Punkten auf der Oberfläche und der Oberflächengradient eines räumlichen Feldes ist folgendermaßen definiert:

Sei ein Tensorfeld 2. Stufe und sein ein Tensorfeld 3. Stufe. Dann transformiert dieses Tensorfeld ein beliebiges tangentiales Vektorfeld in allen Punkten auf der Oberfläche und der Oberflächengradient eines Tensorfeldes 2. Stufe ist folgendermaßen definiert:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R. Shankar Subramanian, Boundary Conditions in Fluid Mechanics (PDF; 34 kB).
  2. Efstathios Michaelides, Clayton T. Crowe, John D. Schwarzkopf: Multiphase Flow Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2016, ISBN 978-1-4987-0100-6, S. 940.
  3. John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 624 ff.
  4. John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 647 ff.
  5. John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 660 ff.
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In der Vektoranalysis bezeichnet der Oberflachengradient einen Differentialoperator ahnlich dem Gradienten Dabei wird der Gradient entlang einer Flache gebildet Definition BearbeitenFur eine Flache S displaystyle S nbsp in einem Skalarfeld u displaystyle u nbsp wird der Oberflachengradient definiert als 1 S u u n u n displaystyle nabla S u nabla u mathbf hat n cdot nabla u mathbf hat n nbsp Dabei bezeichnet n displaystyle mathbf hat n nbsp den Normaleneinheitsvektor an die Flache Der Oberflachengradient stellt also den gewohnlichen Gradienten ohne den zur Flache normalen Anteil dar Er ist daher tangential zur Flache Der Oberflachengradient kann auch als orthogonale Projektion des Gradienten auf die Flache interpretiert werden In der Tensoranalysis wird der Oberflachengradient oft definiert als 2 s P displaystyle nabla s P cdot nabla nbsp mit dem Flachenprojektionstensor P displaystyle P nbsp Man kann diesen Gradienten jedoch auch allgemeiner definieren Sei ϕ displaystyle phi nbsp ein Skalarfeld Man wendet das tangentiale Vektorfeld s ϕ displaystyle nabla sigma phi nbsp mit einem Skalarprodukt an einen beliebigen Vektor c displaystyle mathbf c nbsp an dann ist der Oberflachengradient eines Skalarfeldes wie folgt definiert 3 s ϕ c lim s 0 1 s ϕ y 1 s c 1 y 2 s c 2 ϕ y 1 y 2 displaystyle nabla sigma phi cdot mathbf c lim s to 0 frac 1 s left phi left y 1 sc 1 y 2 sc 2 right phi left y 1 y 2 right right nbsp Sei v displaystyle mathbf v nbsp ein raumliches Feld und sei s v displaystyle nabla sigma mathbf v nbsp ein Tensorfeld 2 Stufe Dann transformiert dieses Tensorfeld ein beliebiges tangentiales Vektorfeld c displaystyle mathbf c nbsp in allen Punkten auf der Oberflache und der Oberflachengradient eines raumlichen Feldes ist folgendermassen definiert 4 s v c lim s 0 1 s v y 1 s c 1 y 2 s c 2 v y 1 y 2 displaystyle nabla sigma mathbf v cdot mathbf c lim s to 0 frac 1 s left mathbf v left y 1 sc 1 y 2 sc 2 right mathbf v left y 1 y 2 right right nbsp Sei A displaystyle mathbf A nbsp ein Tensorfeld 2 Stufe und sein s A displaystyle nabla sigma mathbf A nbsp ein Tensorfeld 3 Stufe Dann transformiert dieses Tensorfeld ein beliebiges tangentiales Vektorfeld c displaystyle mathbf c nbsp in allen Punkten auf der Oberflache und der Oberflachengradient eines Tensorfeldes 2 Stufe ist folgendermassen definiert 5 s A c lim s 0 1 s A y 1 s c 1 y 2 s c 2 A y 1 y 2 displaystyle nabla sigma mathbf A cdot mathbf c lim s to 0 frac 1 s left mathbf A left y 1 sc 1 y 2 sc 2 right mathbf A left y 1 y 2 right right nbsp Einzelnachweise Bearbeiten R Shankar Subramanian Boundary Conditions in Fluid Mechanics PDF 34 kB Efstathios Michaelides Clayton T Crowe John D Schwarzkopf Multiphase Flow Handbook 2 Auflage CRC Press 2016 ISBN 978 1 4987 0100 6 S 940 John C Slattery Leonard SagisEun Suok Oh Interfacial Transport Phenomena Springer International Publishing AG Boston ISBN 978 0 387 38442 9 S 624 ff John C Slattery Leonard SagisEun Suok Oh Interfacial Transport Phenomena Springer International Publishing AG Boston ISBN 978 0 387 38442 9 S 647 ff John C Slattery Leonard SagisEun Suok Oh Interfacial Transport Phenomena Springer International Publishing AG Boston ISBN 978 0 387 38442 9 S 660 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Oberflachengradient amp oldid 227384411