Die Multivariate Gammafunktion ist die Verallgemeinerung der Gammafunktion Sie findet Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen und der multivariaten Statistik da sie unter anderem in der Wishart Verteilung und der matrixvariaten Beta Verteilung auftaucht Sie wird als G p displaystyle Gamma p notiert 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerungen 4 Ableitungen 5 QuellenDefinition BearbeitenSei S p displaystyle mathcal S p nbsp der Raum der symmetrischen positiv definiten reellen p p displaystyle p times p nbsp Matrizen Die multivariate Gammafunktion ist definiert als die Funktion G p a S p exp tr A det A a 1 2 p 1 d A displaystyle Gamma p a int mathcal S p exp left operatorname tr A right det A a frac 1 2 p 1 mathrm d A nbsp fur ℜ a gt 1 2 p 1 displaystyle Re a gt frac 1 2 p 1 nbsp hierin ist bezuglich aller nichtunteren Dreieckseintrage d h oberer Dreieckseintrage samt Hauptdiagonaleintragen des Argumentes A displaystyle A nbsp zu integrieren da S p R p p 1 2 displaystyle mathcal S p cong mathbb R frac p p 1 2 nbsp Eigenschaften BearbeitenFur Berechnungen eignet sich folgender Satz Sei ℜ a gt 1 2 p 1 displaystyle Re a gt frac 1 2 p 1 nbsp dann giltG p a p 1 4 p p 1 i 1 p G a 1 2 i 1 displaystyle Gamma p a pi frac 1 4 p p 1 prod limits i 1 p Gamma left a frac 1 2 i 1 right nbsp dd Beweis Idee Teile A T T T displaystyle A TT mathsf T nbsp wobei T displaystyle T nbsp eine untere Dreiecksmatrix ist Nutze den Transformationssatz mit der Funktionaldeterminante J A T t i j i j 1 p 2 p i 1 p t i i p 1 i displaystyle J A to T t i j i j 1 p mapsto 2 p prod i 1 p t i i p 1 i nbsp Rekursion G p a p 1 2 p 1 G a G p 1 a 1 2 p 1 2 p 1 G p 1 a G a 1 2 p 1 displaystyle begin aligned Gamma p a amp pi tfrac 1 2 p 1 Gamma a Gamma p 1 a tfrac 1 2 amp pi tfrac 1 2 p 1 Gamma p 1 a Gamma a tfrac 1 2 p 1 end aligned nbsp Somit G 1 a G a displaystyle Gamma 1 a Gamma a nbsp G 2 a p 1 2 G a G a 1 2 displaystyle Gamma 2 a pi tfrac 1 2 Gamma a Gamma a tfrac 1 2 nbsp G 3 a p 3 2 G a G a 1 2 G a 1 displaystyle Gamma 3 a pi tfrac 3 2 Gamma a Gamma a tfrac 1 2 Gamma a 1 nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenDie verallgemeinerte multivariate Gammafunktion ist definiert als G p a 1 a p S p exp tr A det A a p 1 2 p 1 a 1 p 1 det A a m a 1 d A displaystyle Gamma p a 1 dots a p int mathcal S p frac exp left operatorname tr A right det A a p frac 1 2 p 1 prod limits alpha 1 p 1 det A alpha m alpha 1 mathrm d A nbsp mit a j m 1 m j displaystyle a j m 1 cdots m j nbsp und ℜ a j gt 1 2 j 1 j 1 p displaystyle Re a j gt frac 1 2 j 1 j 1 dots p nbsp Ableitungen BearbeitenDie multivariate Digamma Funktion ps p a log G p a a i 1 p ps a 1 2 1 i displaystyle psi p a frac partial log Gamma p a partial a sum i 1 p psi a tfrac 1 2 1 i nbsp und die Verallgemeinerung als multivariate Polygammafunktion ps p n a n log G p a a n i 1 p ps n a 1 2 1 i displaystyle psi p n a frac partial n log Gamma p a partial a n sum i 1 p psi n a tfrac 1 2 1 i nbsp Quellen Bearbeiten A K Gupta D K Nagar Matrix variate distributions Chapman amp Hall CRC ISBN 1 58488 046 5 S 18 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Multivariate Gammafunktion amp oldid 227756363
