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Montgomerys Paar Korrelation Vermutung ist eine Vermutung der Mathematik welche eine Aussage über die Verteilung der Nul

Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung

Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung ist eine Vermutung der Mathematik, welche eine Aussage über die Verteilung der Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion auf der kritischen Gerade macht. Die Vermutung verbindet die analytische Zahlentheorie mit der Theorie der Zufallsmatrizen. Sie ist somit Teil der stochastischen Zahlentheorie.

Sie wurde 1973 von Hugh Montgomery aufgestellt. Bei einem Gespräch mit Freeman Dyson fand man heraus, dass es sich um die Paar-Korrelationsfunktion der Eigenwerte von hermitischen Zufallsmatrizen (genauer aus dem gaußschen unitären Ensemble) handelt. Es handelt sich um den -Kern, der bei Betrachtung der Eigenwerte einer unendlich-dimensionaler hermitschen Zufallsmatrix innerhalb der "Bulk"-Region auftaucht (d. h. die Region der Eigenwerte, die sich nicht am Rand des Spektrums befinden).

Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung Bearbeiten

Unter Annahme der riemannschen Vermutung (RH).

Mit und bezeichne man zwei nicht-triviale Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion. bezeichnet das Diracmaß. Die Vermutung lautet:

Formulierung Bearbeiten

Sei fix, dann gilt mit

wobei mit Vielfachheiten gezählt, das heißt ist definiert als die Mächtigkeit dieser Menge.

Erläuterungen Bearbeiten

Der Faktor stammt von der Riemann-von-Mangoldt-Formel für die Anzahl der Nullstellen der Zeta-Funktion

Eine Interpretation des Ausdruckes ist, dass bis zur Höhe die Nullstellen einen asymptotischen Durchschnittsabstand von haben.

Herleitung durch Montgomery Bearbeiten

Montgomery studierte die Funktion

für wobei und eine Gewichtsfunktion ist, die nur aus rechnerischen Gründen eingeführt wurde.

Durch Anwendung der inversen Fourier-Transformation auf eine Testfunktion kann der Ausdruck umgeformt werden zu

wobei der Faktor wenig beiträgt und ignoriert werden kann.

Montgomerys Theorem Bearbeiten

Montgomery bewies unter der Annahme der RH, dass für die Funktion gleichmäßig konvergiert

Montgomerys F(α)-Vermutung Bearbeiten

Montgomery stellte basierend auf zahlentheoretischer Argumentation die F()-Vermutung auf, dass für

Die Vermutung wird auch Starke Paar-Korrelation-Vermutung genannt.

Kombinierte man nun alle Schritte, lässt sich die Paar-Korrelation-Vermutung herleiten.

Montgomerys Theorem hat interessante Konsequenzen für die Nullstellen der Zeta-Funktion. Es lässt sich zeigen, dass mindestens aller kritischen Nullstellen einfach sind

Roger Heath-Brown und Hung M. Bui haben die Grenze mittlerweile auf erhöht.

Wenn Montgomerys F()-Vermutung war ist (unter der Annahme der RH), dann sind fast alle kritischen Nullstellen einfach

wobei die Vielfachheiten der Nullstellen bezeichnet. Das heißt, es gibt kritische Nullstellen, die sehr nahe beieinander sind

Alternative Formulierung Bearbeiten

Sei fix. Seien skalierte Imaginärteile der Nullstellen, i.e. , dann gilt (für die Paare)

Evidenz Bearbeiten

Andrew Odlyzko berechnete numerisch nicht-triviale Nullstellen der riemannsche ζ-Funktion, deren Verteilung sich der Paar-Korrelationsfunktion des gaußschen unitären Ensemble näherte.

Hilbert-Pólya Vermutung Bearbeiten

In einem Brief von Andrew Odlyzko an George Pólya fragte er diesen, ob es einen physikalischen Grund gäbe, warum die Riemmanische Vermutung wahr sein sollte. Pólya antwortete ihm, dass ihm in Göttingen in der Zeit zwischen 1912 und 1914 von Edmund Landau dieselbe Frage gestellt worden sei. Er gab diesem damals die Antwort, dass er vermutet, dass die Imaginärteile der Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle mit den Eigenwerten eines selbstadjungierten Operators übereinstimmen.

Durch Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung bekam diese Vermutung über die Eigenwerte einer Matrix aus dem gaußschen unitären Ensemble eine solide Basis zu einem möglichen Lösungsansatz der riemannschen Vermutung.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hugh Montgomery: The Pair correlation of zeros of the zeta function. Abgerufen am 27. März 2021.
  2. ↑ D. A. Goldston, S.M. Gonek, A.E. Özlük und C. Snyder: On the pair correlation of zeros of the Riemann Zeta-Function. In: London Mathematical Society (Hrsg.): Proceedings of the London Mathematical Society. 2000, doi:10.1112/S0024611500012211.
  3. Adam Lott: Pair Correlation of the zeros of the Riemann Zeta Function. 2019.
  4. Hung M. Bui und D. R. Heath-Brown: On simple zeros of the Riemann zeta-function. In: Wiley (Hrsg.): Bulletin of the London Mathematical Society. Band 45, Nr. 5, 2013, S. 953–961, doi:10.1112/blms/bdt026.
  5. Tiago Pereira: Lectures on Random Matrices. Abgerufen am 1. April 2021.
  6. Andrew Odlyzko: Correspondence about the origins of the Hilbert-Polya Conjecture. University of Minnesota, abgerufen am 11. April 2021.
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Veröffentlichungsdatum:
Montgomerys Paar Korrelation Vermutung ist eine Vermutung der Mathematik welche eine Aussage uber die Verteilung der Nullstellen der riemannschen z Funktion auf der kritischen Gerade macht Die Vermutung verbindet die analytische Zahlentheorie mit der Theorie der Zufallsmatrizen Sie ist somit Teil der stochastischen Zahlentheorie Sie wurde 1973 von Hugh Montgomery aufgestellt Bei einem Gesprach mit Freeman Dyson fand man heraus dass es sich um die Paar Korrelationsfunktion der Eigenwerte von hermitischen Zufallsmatrizen genauer aus dem gaussschen unitaren Ensemble handelt 1 Es handelt sich um den Sine displaystyle operatorname Sine Kern der bei Betrachtung der Eigenwerte einer unendlich dimensionaler hermitschen Zufallsmatrix innerhalb der Bulk Region auftaucht d h die Region der Eigenwerte die sich nicht am Rand des Spektrums befinden Inhaltsverzeichnis 1 Montgomerys Paar Korrelation Vermutung 1 1 Formulierung 1 2 Erlauterungen 1 2 1 Herleitung durch Montgomery 1 2 1 1 Montgomerys Theorem 1 2 1 2 Montgomerys F a Vermutung 1 3 Alternative Formulierung 2 Evidenz 3 Hilbert Polya Vermutung 4 EinzelnachweiseMontgomerys Paar Korrelation Vermutung BearbeitenUnter Annahme der riemannschen Vermutung RH Mit r 1 2 i g displaystyle rho tfrac 1 2 i gamma nbsp und r 1 2 i g displaystyle rho tfrac 1 2 i gamma nbsp bezeichne man zwei nicht triviale Nullstellen der riemannschen z Funktion d 0 displaystyle delta 0 nbsp bezeichnet das Diracmass Die Vermutung lautet Formulierung Bearbeiten Sei a b displaystyle alpha leq beta nbsp fix dann gilt mit T displaystyle T to infty nbsp N T a b A 1 a b 1 sin p u p u 2 d u d 0 a b T 2 p log T displaystyle N T alpha beta colon sum A 1 sim left int limits alpha beta left 1 left frac sin pi u pi u right 2 right mathrm d u delta 0 alpha beta right frac T 2 pi log T nbsp wobei A g g 0 lt g g T und 2 p a log T g g 2 p b log T displaystyle A gamma gamma 0 lt gamma gamma leq T text und 2 pi alpha log T leq gamma gamma leq 2 pi beta log T nbsp mit Vielfachheiten gezahlt das heisst N T a b displaystyle N T alpha beta nbsp ist definiert als die Machtigkeit dieser Menge Erlauterungen Bearbeiten Der Faktor T 2 p log T displaystyle tfrac T 2 pi log T nbsp stammt von der Riemann von Mangoldt Formel fur die Anzahl der Nullstellen der Zeta Funktion N T 0 lt g T 1 T 2 p log T T displaystyle N T sum limits 0 lt gamma leq T 1 sim frac T 2 pi log T quad T to infty nbsp Eine Interpretation des Ausdruckes ist dass bis zur Hohe T displaystyle T nbsp die Nullstellen einen asymptotischen Durchschnittsabstand von T 2 p log T displaystyle tfrac T 2 pi log T nbsp haben Herleitung durch Montgomery Bearbeiten Montgomery studierte die Funktion 2 F a F T a T 2 p log T 1 0 lt g g T T i a g g w g g displaystyle F alpha F T alpha left frac T 2 pi log T right 1 sum limits 0 lt gamma gamma leq T T i alpha gamma gamma w gamma gamma nbsp fur T gt 2 displaystyle T gt 2 nbsp wobei a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp und w u 4 4 u 2 displaystyle w u tfrac 4 4 u 2 nbsp eine Gewichtsfunktion ist die nur aus rechnerischen Grunden eingefuhrt wurde Durch Anwendung der inversen Fourier Transformation auf eine Testfunktion g L 1 displaystyle g in L 1 nbsp kann der Ausdruck umgeformt werden zu 0 lt g g T g g g log T 2 p w g g T 2 p log T g a F a d a displaystyle sum limits 0 lt gamma gamma leq T g left gamma gamma frac log T 2 pi right w gamma gamma left frac T 2 pi log T right int infty infty widehat g alpha F alpha mathrm d alpha nbsp wobei der Faktor w g g displaystyle w gamma gamma nbsp wenig beitragt und ignoriert werden kann Montgomerys Theorem Bearbeiten Montgomery bewies unter der Annahme der RH dass fur a 1 displaystyle alpha leq 1 nbsp die Funktion gleichmassig konvergiert F a T 2 a log T 1 o 1 a o 1 T displaystyle F alpha T 2 alpha log T 1 mathcal o 1 alpha mathcal o 1 quad T to infty nbsp Montgomerys F a Vermutung Bearbeiten Montgomery stellte basierend auf zahlentheoretischer Argumentation die F a displaystyle alpha nbsp Vermutung auf dass fur a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp F a 1 o 1 T displaystyle F alpha 1 mathcal o 1 quad T to infty nbsp Die Vermutung wird auch Starke Paar Korrelation Vermutung genannt Kombinierte man nun alle Schritte lasst sich die Paar Korrelation Vermutung herleiten Montgomerys Theorem hat interessante Konsequenzen fur die Nullstellen der Zeta Funktion Es lasst sich zeigen dass mindestens 2 3 displaystyle 2 3 nbsp aller kritischen Nullstellen einfach sind 2 3 N s T 0 lt g T z 1 2 i g 0 1 2 i g simple 2 3 o 1 N T displaystyle N s T 0 lt gamma leq T colon zeta 1 2 i gamma 0 1 2 i gamma text simple geq left frac 2 3 mathcal o 1 right N T nbsp Roger Heath Brown und Hung M Bui haben die Grenze mittlerweile auf N s T 19 27 displaystyle N s T geq 19 27 nbsp erhoht 4 Wenn Montgomerys F a displaystyle alpha nbsp Vermutung war ist unter der Annahme der RH dann sind fast alle kritischen Nullstellen einfach 2 lim T 2 p T log T 0 lt g T m p 1 displaystyle lim limits T to infty frac 2 pi T log T sum limits 0 lt gamma leq T m p 1 nbsp wobei m p displaystyle m p nbsp die Vielfachheiten der Nullstellen p 1 2 i g displaystyle p tfrac 1 2 i gamma nbsp bezeichnet Das heisst es gibt kritische Nullstellen die sehr nahe beieinander sind lim inf n g n 1 g n log g n 2 p 0 displaystyle liminf limits n to infty gamma n 1 gamma n frac log gamma n 2 pi 0 nbsp Alternative Formulierung Bearbeiten Sei a lt b displaystyle alpha lt beta nbsp fix Seien g j displaystyle hat gamma j nbsp skalierte Imaginarteile der Nullstellen i e g j g j log g j 2 p displaystyle hat gamma j tfrac gamma j log gamma j 2 pi nbsp dann gilt fur die Paare 5 lim n j 1 j 2 1 j 1 j 2 n a lt g j 1 g j 2 lt b n a b 1 sin p u p u 2 d u displaystyle lim limits n to infty frac Big j 1 j 2 1 leq j 1 j 2 leq n alpha lt hat gamma j 1 hat gamma j 2 lt beta Big n int limits alpha beta left 1 left frac sin pi u pi u right 2 right mathrm d u nbsp Evidenz BearbeitenAndrew Odlyzko berechnete numerisch 10 5 displaystyle 10 5 nbsp nicht triviale Nullstellen der riemannsche z Funktion deren Verteilung sich der Paar Korrelationsfunktion des gaussschen unitaren Ensemble naherte Hilbert Polya Vermutung BearbeitenIn einem Brief von Andrew Odlyzko an George Polya fragte er diesen ob es einen physikalischen Grund gabe warum die Riemmanische Vermutung wahr sein sollte Polya antwortete ihm dass ihm in Gottingen in der Zeit zwischen 1912 und 1914 von Edmund Landau dieselbe Frage gestellt worden sei Er gab diesem damals die Antwort dass er vermutet dass die Imaginarteile der Nullstellen der riemannschen z Funktion an der Stelle r 1 2 i g displaystyle rho tfrac 1 2 i gamma nbsp mit den Eigenwerten eines selbstadjungierten Operators ubereinstimmen Durch Montgomerys Paar Korrelation Vermutung bekam diese Vermutung uber die Eigenwerte einer Matrix aus dem gaussschen unitaren Ensemble eine solide Basis zu einem moglichen Losungsansatz der riemannschen Vermutung 6 Einzelnachweise Bearbeiten Hugh Montgomery The Pair correlation of zeros of the zeta function Abgerufen am 27 Marz 2021 a b c D A Goldston S M Gonek A E Ozluk und C Snyder On the pair correlation of zeros of the Riemann Zeta Function In London Mathematical Society Hrsg Proceedings of the London Mathematical Society 2000 doi 10 1112 S0024611500012211 Adam Lott Pair Correlation of the zeros of the Riemann Zeta Function 2019 Hung M Bui und D R Heath Brown On simple zeros of the Riemann zeta function In Wiley Hrsg Bulletin of the London Mathematical Society Band 45 Nr 5 2013 S 953 961 doi 10 1112 blms bdt026 Tiago Pereira Lectures on Random Matrices Abgerufen am 1 April 2021 Andrew Odlyzko Correspondence about the origins of the Hilbert Polya Conjecture University of Minnesota abgerufen am 11 April 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Montgomerys Paar Korrelation Vermutung amp oldid 226092087