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Moment Bildverarbeitung Momente siehe Momente einer Verteilung sind in der Bildverarbeitung bestimmte gewichtete Mittelw

Moment (Bildverarbeitung)

Momente, siehe Momente einer Verteilung, sind in der Bildverarbeitung bestimmte gewichtete Mittelwerte aus den Helligkeitswerten der einzelnen Pixel eines Bildes. Sie werden gewöhnlich so gewählt, dass sie gewünschte Eigenschaften des Bildes widerspiegeln oder gewisse geometrische Interpretationen besitzen. Momente sind hilfreich, um einzelne Objekte in einem segmentierten Bild zu beschreiben. Grundlegende Eigenschaften von Bildern, die durch Momente berechnet werden können, sind Fläche (oder Summe der Helligkeitswerte), Schwerpunkt und Ausrichtung.

Nicht zentrierte Momente Bearbeiten

Für eine zweidimensionale stetige Funktion ist das Moment -ten Grades definiert als

für

Auf digitale Grauwertbilder mit der Grauwertfunktion angewandt ergeben sich die nicht zentrierten Momente aus

In einigen Fällen können die nicht zentrierten Momente berechnet werden, indem die Grauwertfunktion als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aufgefasst wird. Dazu teilt man obige Formel durch

Laut dem Eindeutigkeitstheorem von Athanasios Papoulis (1991) existieren Momente jeglichen Grades, wenn stückweise stetig ist und nur in einem endlichen Teil der xy-Ebene ungleich Null wird. In diesem Fall ist die Folge von Momenten durch eindeutig bestimmt. Ebenso bestimmt die Funktion eindeutig. In der Praxis reichen jedoch meist wenige Momente niedrigen Grades aus um ein Bild hinreichend genau zu charakterisieren.

Beispiele Bearbeiten

Einfache Bildeigenschaften, die durch nicht zentrierte Momente bestimmt werden können, sind unter anderen:

  • Fläche (für Binärbilder) oder Summe der Grauwerte (für Grauwertbilder):
  • Schwerpunkt:

Zentrale Momente (translationsinvariante Momente) Bearbeiten

Zentrale Momente sind invariant bezüglich Translationen, sie sind definiert als

Auf digitale Grauwertbilder mit der Grauwertfunktion g(x,y) angewandt ergeben sich die Zentralen Momente μij aus

Die zentralen Momente bis zum Grad 3 sind:

Es kann gezeigt werden, dass:

Beispiele Bearbeiten

Informationen über die Ausrichtung des Bildes können gewonnen werden, indem man zuerst die drei zentralen Momente zweiten Grades verwendet, um eine Kovarianzmatrix zu berechnen.

Die Kovarianzmatrix des Bildes ist dann

Die Eigenvektoren dieser Matrix entsprechen der großen und kleinen Halbachse der Helligkeitswerte. Somit kann die Ausrichtung des Bildes aus dem Winkel des Eigenvektors mit dem größten Eigenwert gegenüber der Achse, die diesem Eigenvektor am nächsten liegt, bestimmt werden. Es kann gezeigt werden, dass dieser Winkel Θ durch die folgende Formel berechnet werden kann.

Die Eigenwerte der Kovarianzmatrix sind

Die Exzentrizität des Bildes ist

Skalierungsinvariante Momente Bearbeiten

Es können Momente ηi j mit i + j ≥ 2 konstruiert werden, die invariant bezüglich Skalierung und Translation sind, indem man das entsprechende zentrale Moment durch das entsprechend skalierte Moment vom Grad 0 teilt.

Rotationsinvariante Momente Bearbeiten

Es ist weiterhin möglich, Momente zu konstruieren, die zusätzlich invariant bezüglich einer Bildrotation sind. Häufig benutzt wird die Hu-Menge invarianter Momente.

Das erste, I1, ist ungefähr gleichzusetzen mit dem Trägheitsmoment um den Schwerpunkt des Bildes, wenn die Helligkeitswerte der Pixel als physikalische Dichte interpretiert werden.

Anwendungsbeispiele Bearbeiten

Momente sind für zweierlei Dinge gut geeignet. Zum einen dienen sie zur Klassifikation von Objekten in binarisierten, also Schwarzweiß-Bildern, welche das Ergebnis einer Vorverarbeitung sind, die entscheidet, welche Teile eines Bildes zu einem Objekt gehören (schwarz = 1) und welche nicht (weiß = 0). Auch ein Bild, das außer Schwarz und Weiß auch Grauwerte enthält, weil sich der vorverarbeitende Algorithmus nicht immer sicher war, ob ein Pixel zum Objekt oder zum Hintergrund gehört, ist verwertbar, indem die Graustufen auf den Wertebereich [0, 1] normiert werden.

Am Beispiel der Texterkennung sieht man, dass ein „T“ und ein „I“ zwar links–rechts-symmetrisch sind und sich somit im Schwerpunkt nicht unterscheiden, allerdings sich im Moment durch die unterschiedliche Varianz unterscheiden und außerdem im Moment stark abweichen. Für dieses Moment sollte aufgrund der Oben–Unten-Symmetrie für „I“ ein Wert nahe 0 herauskommen, während ein gescanntes T oben deutlich mehr Pixel aufweist als unten und hier einen stark negativen Wert erhält (für nach unten zunehmende y-Werte).

Zum anderen kann mit Momenten die Anordnung beliebiger extrahierter Features aus Bildern oder ähnlichem zueinander verglichen werden. Hat man beispielsweise mittels eines Eckenfinders einige Ecken extrahiert, lässt sich mithilfe der Momente feststellen, in welchem Teil des Bildes innerhalb einer Bildfolge (=Video) Veränderung stattfindet. Verwendet man hierfür die translationsinvarianten zentralen Momente, so ist die Erkennung stabil gegenüber Wackeln der Kamera.

Weblinks Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Zhihu Huang, Jinsong Leng: Analysis of Hu's moment invariants on image scaling and rotation. In: 2010 2nd International Conference on Computer Engineering and Technology. Band 7, April 2010, S. V7–476–V7–480, doi:10.1109/iccet.2010.5485542 (ieee.org [abgerufen am 25. November 2017]).
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Momente siehe Momente einer Verteilung sind in der Bildverarbeitung bestimmte gewichtete Mittelwerte aus den Helligkeitswerten der einzelnen Pixel eines Bildes Sie werden gewohnlich so gewahlt dass sie gewunschte Eigenschaften des Bildes widerspiegeln oder gewisse geometrische Interpretationen besitzen Momente sind hilfreich um einzelne Objekte in einem segmentierten Bild zu beschreiben Grundlegende Eigenschaften von Bildern die durch Momente berechnet werden konnen sind Flache oder Summe der Helligkeitswerte Schwerpunkt und Ausrichtung Inhaltsverzeichnis 1 Nicht zentrierte Momente 1 1 Beispiele 2 Zentrale Momente translationsinvariante Momente 2 1 Beispiele 3 Skalierungsinvariante Momente 4 Rotationsinvariante Momente 5 Anwendungsbeispiele 6 Weblinks 7 Quellen 8 EinzelnachweiseNicht zentrierte Momente BearbeitenFur eine zweidimensionale stetige Funktion f x y displaystyle f x y nbsp ist das Moment p q displaystyle p q nbsp ten Grades definiert als M p q x p y q f x y d x d y displaystyle M pq int limits infty infty int limits infty infty x p y q f x y dx dy nbsp fur p q 0 1 2 displaystyle p q 0 1 2 ldots nbsp Auf digitale Grauwertbilder mit der Grauwertfunktion g x y displaystyle g x y nbsp angewandt ergeben sich die nicht zentrierten Momente M i j displaystyle M ij nbsp aus M i j x y x i y j g x y displaystyle M ij sum x sum y x i y j g x y nbsp In einigen Fallen konnen die nicht zentrierten Momente berechnet werden indem die Grauwertfunktion als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aufgefasst wird Dazu teilt man obige Formel durch x y g x y displaystyle sum x sum y g x y nbsp Laut dem Eindeutigkeitstheorem von Athanasios Papoulis 1991 existieren Momente jeglichen Grades wenn f x y displaystyle f x y nbsp stuckweise stetig ist und nur in einem endlichen Teil der xy Ebene ungleich Null wird In diesem Fall ist die Folge von Momenten M p q displaystyle M pq nbsp durch f x y displaystyle f x y nbsp eindeutig bestimmt Ebenso bestimmt M p q displaystyle M pq nbsp die Funktion f x y displaystyle f x y nbsp eindeutig In der Praxis reichen jedoch meist wenige Momente niedrigen Grades aus um ein Bild hinreichend genau zu charakterisieren Beispiele Bearbeiten Einfache Bildeigenschaften die durch nicht zentrierte Momente bestimmt werden konnen sind unter anderen Flache fur Binarbilder oder Summe der Grauwerte fur Grauwertbilder M 00 displaystyle M 00 nbsp Schwerpunkt x y M 10 M 00 M 01 M 00 displaystyle bar x bar y left frac M 10 M 00 frac M 01 M 00 right nbsp Zentrale Momente translationsinvariante Momente BearbeitenZentrale Momente sind invariant bezuglich Translationen sie sind definiert als m p q x x p y y q f x y d x d y displaystyle mu pq int limits infty infty int limits infty infty x bar x p y bar y q f x y dx dy nbsp Auf digitale Grauwertbilder mit der Grauwertfunktion g x y angewandt ergeben sich die Zentralen Momente mij aus m i j x y x x i y y j g x y displaystyle mu ij sum x sum y x bar x i y bar y j g x y nbsp Die zentralen Momente bis zum Grad 3 sind m 00 M 00 displaystyle mu 00 M 00 nbsp m 01 0 displaystyle mu 01 0 nbsp m 10 0 displaystyle mu 10 0 nbsp m 11 M 11 x M 01 M 11 y M 10 displaystyle mu 11 M 11 bar x M 01 M 11 bar y M 10 nbsp m 20 M 20 x M 10 displaystyle mu 20 M 20 bar x M 10 nbsp m 02 M 02 y M 01 displaystyle mu 02 M 02 bar y M 01 nbsp m 21 M 21 2 x M 11 y M 20 2 x 2 M 01 displaystyle mu 21 M 21 2 bar x M 11 bar y M 20 2 bar x 2 M 01 nbsp m 12 M 12 2 y M 11 x M 02 2 y 2 M 10 displaystyle mu 12 M 12 2 bar y M 11 bar x M 02 2 bar y 2 M 10 nbsp m 30 M 30 3 x M 20 2 x 2 M 10 displaystyle mu 30 M 30 3 bar x M 20 2 bar x 2 M 10 nbsp m 03 M 03 3 y M 02 2 y 2 M 01 displaystyle mu 03 M 03 3 bar y M 02 2 bar y 2 M 01 nbsp Es kann gezeigt werden dass m p q m p n q p m q n x p m y q n M m n displaystyle mu pq sum m p sum n q p choose m q choose n bar x p m bar y q n M mn nbsp Beispiele Bearbeiten Informationen uber die Ausrichtung des Bildes konnen gewonnen werden indem man zuerst die drei zentralen Momente zweiten Grades verwendet um eine Kovarianzmatrix zu berechnen m 20 m 20 m 00 M 20 M 00 x 2 displaystyle mu 20 mu 20 mu 00 M 20 M 00 bar x 2 nbsp m 02 m 02 m 00 M 02 M 00 y 2 displaystyle mu 02 mu 02 mu 00 M 02 M 00 bar y 2 nbsp m 11 m 11 m 00 M 11 M 00 x y displaystyle mu 11 mu 11 mu 00 M 11 M 00 bar x bar y nbsp Die Kovarianzmatrix des Bildes g x y displaystyle g x y nbsp ist dann cov I x y m 20 m 11 m 11 m 02 displaystyle operatorname cov I x y begin bmatrix mu 20 amp mu 11 mu 11 amp mu 02 end bmatrix nbsp Die Eigenvektoren dieser Matrix entsprechen der grossen und kleinen Halbachse der Helligkeitswerte Somit kann die Ausrichtung des Bildes aus dem Winkel des Eigenvektors mit dem grossten Eigenwert gegenuber der Achse die diesem Eigenvektor am nachsten liegt bestimmt werden Es kann gezeigt werden dass dieser Winkel 8 durch die folgende Formel berechnet werden kann 8 1 2 arctan 2 m 11 m 20 m 02 displaystyle Theta frac 1 2 arctan left frac 2 mu 11 mu 20 mu 02 right nbsp Die Eigenwerte der Kovarianzmatrix sind l i m 20 m 02 2 4 m 11 2 m 20 m 02 2 2 displaystyle lambda i frac mu 20 mu 02 2 pm frac sqrt 4 mu 11 2 mu 20 mu 02 2 2 nbsp Die Exzentrizitat des Bildes ist 1 l 2 l 1 displaystyle sqrt 1 frac lambda 2 lambda 1 nbsp Skalierungsinvariante Momente BearbeitenEs konnen Momente hi j mit i j 2 konstruiert werden die invariant bezuglich Skalierung und Translation sind indem man das entsprechende zentrale Moment durch das entsprechend skalierte Moment vom Grad 0 teilt h i j m i j m 00 1 i j 2 displaystyle eta ij frac mu ij mu 00 left 1 frac i j 2 right nbsp Rotationsinvariante Momente BearbeitenEs ist weiterhin moglich Momente zu konstruieren die zusatzlich invariant bezuglich einer Bildrotation sind Haufig benutzt wird die Hu Menge invarianter Momente 1 I 1 h 20 h 02 I 2 h 20 h 02 2 2 h 11 2 I 3 h 30 3 h 12 2 3 h 21 h 03 2 I 4 h 30 h 12 2 h 21 h 03 2 I 5 h 30 3 h 12 h 30 h 12 h 30 h 12 2 3 h 21 h 03 2 3 h 21 h 03 h 21 h 03 3 h 30 h 12 2 h 21 h 03 2 I 6 h 20 h 02 h 30 h 12 2 h 21 h 03 2 4 h 11 h 30 h 12 h 21 h 03 I 7 3 h 21 h 03 h 30 h 12 h 30 h 12 2 3 h 21 h 03 2 h 30 3 h 12 h 21 h 03 3 h 30 h 12 2 h 21 h 03 2 displaystyle begin aligned I 1 amp eta 20 eta 02 I 2 amp eta 20 eta 02 2 2 eta 11 2 I 3 amp eta 30 3 eta 12 2 3 eta 21 eta 03 2 I 4 amp eta 30 eta 12 2 eta 21 eta 03 2 I 5 amp eta 30 3 eta 12 eta 30 eta 12 eta 30 eta 12 2 3 eta 21 eta 03 2 amp 3 eta 21 eta 03 eta 21 eta 03 3 eta 30 eta 12 2 eta 21 eta 03 2 I 6 amp eta 20 eta 02 eta 30 eta 12 2 eta 21 eta 03 2 4 eta 11 eta 30 eta 12 eta 21 eta 03 I 7 amp 3 eta 21 eta 03 eta 30 eta 12 eta 30 eta 12 2 3 eta 21 eta 03 2 amp eta 30 3 eta 12 eta 21 eta 03 3 eta 30 eta 12 2 eta 21 eta 03 2 end aligned nbsp Das erste I1 ist ungefahr gleichzusetzen mit dem Tragheitsmoment um den Schwerpunkt des Bildes wenn die Helligkeitswerte der Pixel als physikalische Dichte interpretiert werden Anwendungsbeispiele BearbeitenMomente sind fur zweierlei Dinge gut geeignet Zum einen dienen sie zur Klassifikation von Objekten in binarisierten also Schwarzweiss Bildern welche das Ergebnis einer Vorverarbeitung sind die entscheidet welche Teile eines Bildes zu einem Objekt gehoren schwarz 1 und welche nicht weiss 0 Auch ein Bild das ausser Schwarz und Weiss auch Grauwerte enthalt weil sich der vorverarbeitende Algorithmus nicht immer sicher war ob ein Pixel zum Objekt oder zum Hintergrund gehort ist verwertbar indem die Graustufen auf den Wertebereich 0 1 normiert werden Am Beispiel der Texterkennung sieht man dass ein T und ein I zwar links rechts symmetrisch sind und sich somit im Schwerpunkt x displaystyle bar x nbsp nicht unterscheiden allerdings sich im Moment m 20 displaystyle mu 20 nbsp durch die unterschiedliche Varianz unterscheiden und ausserdem im Moment m 03 displaystyle mu 03 nbsp stark abweichen Fur dieses Moment sollte aufgrund der Oben Unten Symmetrie fur I ein Wert nahe 0 herauskommen wahrend ein gescanntes T oben deutlich mehr Pixel aufweist als unten und hier einen stark negativen Wert erhalt fur nach unten zunehmende y Werte Zum anderen kann mit Momenten die Anordnung beliebiger extrahierter Features aus Bildern oder ahnlichem zueinander verglichen werden Hat man beispielsweise mittels eines Eckenfinders einige Ecken extrahiert lasst sich mithilfe der Momente feststellen in welchem Teil des Bildes innerhalb einer Bildfolge Video Veranderung stattfindet Verwendet man hierfur die translationsinvarianten zentralen Momente so ist die Erkennung stabil gegenuber Wackeln der Kamera Weblinks BearbeitenAnalysis of Binary Images University of Edinburgh Statistical Moments University of Edinburgh Merkmalsextraktion mittels Momenten Universitat OsnabruckQuellen BearbeitenMing Kuei Hu Visual Pattern Recognition by Moment Invariants doi 10 1109 TIT 1962 1057692Einzelnachweise Bearbeiten Zhihu Huang Jinsong Leng Analysis of Hu s moment invariants on image scaling and rotation In 2010 2nd International Conference on Computer Engineering and Technology Band 7 April 2010 S V7 476 V7 480 doi 10 1109 iccet 2010 5485542 ieee org abgerufen am 25 November 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Moment Bildverarbeitung amp oldid 230914971