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Modifizierte diskrete Kosinustransformation Die modifizierte diskrete Kosinustransformation englisch modified discrete c

Modifizierte diskrete Kosinustransformation

Die modifizierte diskrete Kosinustransformation (englisch modified discrete cosine transform, kurz: MDCT) ist eine reellwertige, diskrete, lineare, orthogonale Transformation, die zu der Gruppe der diskreten Fouriertransformationen (DFT) zählt und eine Modifikation der namensgebenden diskreten Kosinustransformation (DCT) ist.

Die MDCT wurde in den Jahren 1986, 1987 von John P. Princen, A. W. Johnson und Alan B. Bradley entwickelt.

Die MDCT ist die zentrale Transformation der Audiodatenkompressionsverfahren Advanced Audio Coding (AAC),Dolby Digital (AC-3), Ogg Vorbis, aber auch MPEG Audio Layer 3 (MP3), Opus Windows Media Audio (WMA), ATRAC, Cook, LDAC, High-Definition Coding (HDC),Dolby AC-4,MPEG-H 3D Audio,ATRAC benutzen u. a. die MDCT als Spektraltransformation. Weiterhin wird sie in den Sprachkomprimierer AAC-LD (LD-MDCT), G.722.1, G.729.1,CELT und Opus verwendet.

Daneben existiert die ähnlich aufgebaute modifizierte diskrete Sinustransformation (MDST), die auf der diskreten Sinustransformation basiert, die aber im Bereich der digitalen Signalverarbeitung keine wesentliche Bedeutung hat.

Motivation Bearbeiten

Die MDCT basiert auf dem Typ IV der diskreten Kosinustransformation, auch als DCT-IV bezeichnet, und verwendet am Anfang der zu transformierenden Eingangssignalfolge, beispielsweise ist dies eine endliche Anzahl von Abtastwerten eines Audiosignals, eine gerade Fortsetzung und am Ende der Signalfolge eine ungerade Fortsetzung. Das Eingangssignal wird in aufeinander folgende Blöcke unterteilt, wobei jeder Block getrennt der Transformation unterworfen wird. Bei der MDCT werden die Signalfolgen zur Bildung der einzelnen Blöcke teilweise miteinander überlappt, um die geraden bzw. ungeraden Fortsetzungen der Blockbildung zu kompensieren. In der meist englischsprachigen Fachliteratur wird dies als time-domain aliasing cancellation (TDAC) bezeichnet. Ähnliche Verfahren finden im Rahmen der DFT beim Overlap-Add-Verfahren und dem Overlap-Save-Verfahren Anwendung, um die dort periodische Fortsetzung der DFT in die aperiodische Faltungsoperation zu überführen.

Die MDCT vermeidet das, was bei der DCT der JPEG-Kompression als Blockartefakte bekannt ist: Sprünge zwischen Abtastwerten benachbarter Transformationsblöcken. Das menschliche Gehör reagiert auf diese Form von Störungen noch wesentlich empfindlicher als das Auge, sodass ein Verfahren gefunden werden musste, das zwischen benachbarten Blöcken nicht schlagartig, sondern allmählich wechselt. Dies erfolgt durch eine Vergrößerung der in eine Transformation eingehenden Abtastwerte unter Verwendung einer Fensterfunktion. Dabei besteht aber das Problem, dass damit normalerweise die Datenmenge vergrößert würde, da Abtastwerte in Berechnungen mehrfach eingehen und redundant abgespeichert würden. Dieses Problem umgeht die MDCT, indem zwar Abtastwerte als Ausgangswerte in die Transformation eingehen, aber nur Spektralwerte entstehen. Normalerweise wäre so eine Transformation hochgradig verlustbehaftet, allerdings löschen sich diese Fehler bei der Rücktransformation und beim Addieren von benachbarten rücktransformierten Blöcken unter gewissen Bedingungen wieder aus.

So besteht die Möglichkeit, eine Spektraltransformation mit Fensterfunktion durchzuführen, ohne dass sich die Anzahl der Werte vergrößert. Diese Fensterfunktion führt zu einer besseren Spektralauflösung bei der MDCT und zu weniger Artefakten bei der IMDCT.

Definition Bearbeiten

Transformation Bearbeiten

Durch die Überlappung ist bei der MDCT und im Unterschied zu symmetrischen Frequenztransformationen die Menge der Eingangssamples aus dem Zeitbereich doppelt so groß wie die daraus gebildeten spektralen Ausgangsdaten. Formal werden bei der Transformation reelle Zahlen auf reelle Zahlen nach folgender Beziehung abgebildet:

In der Literatur werden manchmal, in nicht einheitlicher Form und zur Normierung, in dieser Beziehung zusätzliche konstante Faktoren eingebracht, welche aber die Transformation nicht grundsätzlich verändern.

Inverse Transformation Bearbeiten

Die inverse MDCT, abgekürzt IMDCT, stellt die Umkehrung zur obigen Transformation dar. Da die Eingangs- bzw. Ausgangsfolge eine unterschiedliche Anzahl umfassen, ist zur Umkehrung eine Addition im Zeitbereich der aufeinander folgenden Blöcke und der zeitlich überlappenden Bereiche im Rahmen der time-domain aliasing cancellation (TDAC) nötig.

Formal werden bei der IMDCT reelle Zahlen in reelle Zahlen übergeführt:

Wie bei der DCT-IV, als eine Form von orthogonaler Transformation, ist die Rücktransformation bis auf einen Faktor identisch zu der Vorwärtstransformation.

Verwendung Bearbeiten

Mehrere überlappende TDAC-MDCTs für Frequenzgang y(t) = cos (ct³)

Die MDCT ist die Basisoperation moderner Audiokompressionsverfahren. Dazu wird das Eingangssignal in sich zur Hälfte überlappende Blöcke der Länge geteilt, die jeweils vom Abtastwert reichen.

Die Transformation wird blockweise jeweils für jeden Block unter Verwendung einer Fensterfunktion (die gewisse Eigenschaften haben muss) durchgeführt:

Die Rücktransformation erfolgt für ein Sample mit und

MDCT Fensterfunktionen
blau: Kosinus, rot: Sinus-Kosinus,
grün/d'grün: modifizierte Kaiser-Bessel mit α=6 bzw. 4
Leakage der MDCT Fensterfunktionen
blau: Kosinus, rot: Sinus-Kosinus,
grün/d'grün: modifizierte Kaiser-Bessel mit α=6 bzw. 4

Die Fenster-Funktion muss folgende Eigenschaften haben:

  • Für die Analyse wie die Synthese eines Blocks ist die gleiche Funktion zu verwenden. Sonst funktioniert das TDAC nicht.
  • Für jeden Abtastwert wird die Fensterfunktion sowohl bei der Analyse wie bei der Synthese je 2-mal angewendet. Diese beiden Werte müssen ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Gleichung erfüllen. Die Bedingung nennt sich Princen-Bradley-Bedingung. Ein Nebeneffekt dieser Bedingung erzwingt, dass die Funktionen bei und ihrer Fensterbreite den Wert annehmen.
  • sollte eine möglich glatte Funktion sein, um den Leck-Effekt gering zu halten, der
    • bei der Analyse die Konzentration dominierender Signalkomponenten verringern würde und
    • bei der Synthese Störsignale entfernt von dominierenden Signalkomponenten erzeugen würde (DC-Anteile würden z. B. durch Sprünge an Blockgrenzen ein Knattern verursachen).

Durch die zweite Bedingung unterscheidet sich die Fensterfunktion erheblich von den normalerweise üblichen Fensterfunktionen. Im Wesentlichen finden folgende drei Fensterfunktionen Anwendung:

  • Kosinusfenster (MPEG Layer-3, AAC)
  • modifizierte Kaiser-Bessel-Fenster (AAC, AC-3)
  • Sinus-Kosinus-Fenster (Ogg Vorbis)

Berechnungsaufwand Bearbeiten

Die direkte Berechnung der MDCT nach obiger Formel benötigt Operationen. Ähnlich wie bei der schnellen Fourier-Transformation (FFT), als eine Form der effizienten Berechnung der DFT, existieren auch bei der MDCT-Algorithmen die ähnlich wie der Radix-2-Algorithmus aufgebaut sind, um die Anzahl der Rechenoperationen auf O(N log N) zu reduzieren.

Zudem lässt sich die MDCT mittels Pre- und Postprocessing und einer FFT berechnen.

Literatur Bearbeiten

  • Henrique S. Malvar: Signal Processing with Lapped Transforms. Artech House, 1992, ISBN 0-89006-467-9.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John P. Princen, Alan B. Bradley: Analysis/Synthesis filter bank design based on time domain aliasing cancellation. In: IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. Band 34, Nr. 5, Oktober 1986, S. 1153–1161, doi:10.1109/TASSP.1986.1164954.
  2. J. Princen, A. Johnson, A. Bradley: Subband/Transform coding using filter bank designs based on time domain aliasing cancellation. In: Acoustics, Speech, and Signal Processing, IEEE International Conference on ICASSP ’87. Band 12, 1987, S. 2161–2164, doi:10.1109/ICASSP.1987.1169405 (Erstmalige Erwähnung des Begriffes MDCT).
  3. Fa-Long Luo: Mobile Multimedia Broadcasting Standards: Technology and Practice. Springer Science & Business Media, 2008, ISBN 978-0-387-78263-8, S. 590 (google.com).
  4. Graham A. Jones, David H. Layer, Thomas G. Osenkowsky: National Association of Broadcasters Engineering Handbook: NAB Engineering Handbook. Taylor & Francis, 2013, ISBN 978-1-136-03410-7, S. 558-9 (google.com).
  5. Dolby AC-4: Audio Delivery for Next-Generation Entertainment Services. In: Dolby Laboratories. Juni 2015, abgerufen am 11. November 2019.
  6. R. L. Bleidt, D. Sen, A. Niedermeier, B. Czelhan, S. Füg, et al.: Development of the MPEG-H TV Audio System for ATSC 3.0. In: IEEE Transactions on Broadcasting. 63. Jahrgang, Nr. 1, 2017, S. 202–236, doi:10.1109/TBC.2017.2661258 (fraunhofer.de [PDF]).
  7. Markus Schnell, Markus Schmidt, Manuel Schmidt, Tobias Albert, Ralf Geiger, Vesa Ruoppila, Per Ekstrand, Grill Bernhard: MPEG-4 Enhanced Low Delay AAC - A New Standard for High Quality Communication. 125th AES Convention. Audio Engineering Society, Oktober 2008 (englisch, fraunhofer.de [PDF; abgerufen am 20. Oktober 2019]).
  8. Manfred Lutzky, Gerald Schuller, Marc Schuller, Ulrich Krämer, Stefan Wabnik: A guideline to audio codec delay. 116th AES Convention. Audio Engineering Society, Mai 2004 (englisch, fraunhofer.de [PDF; abgerufen am 24. Oktober 2019]).
  9. Sivannarayana Nagireddi: VoIP Voice and Fax Signal Processing. John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-37786-4, S. 69 (google.com).
  10. (Memento vom 7. August 2011 im Internet Archive) by Timothy B. Terriberry (65 minutes of video, see also presentation slides in PDF)
  11. Opus Codec. In: Opus. Xiph.org Foundation, abgerufen am 31. Juli 2012.
  12. Peter Bright: Newly standardized Opus audio codec fills every role from online chat to music. In: Ars Technica. 12. September 2012, abgerufen am 28. Mai 2014.
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Veröffentlichungsdatum:
Die modifizierte diskrete Kosinustransformation englisch modified discrete cosine transform kurz MDCT ist eine reellwertige diskrete lineare orthogonale Transformation die zu der Gruppe der diskreten Fouriertransformationen DFT zahlt und eine Modifikation der namensgebenden diskreten Kosinustransformation DCT ist Die MDCT wurde in den Jahren 1986 1987 von John P Princen A W Johnson und Alan B Bradley entwickelt 1 2 Die MDCT ist die zentrale Transformation der Audiodatenkompressionsverfahren Advanced Audio Coding AAC 3 Dolby Digital AC 3 Ogg Vorbis aber auch MPEG Audio Layer 3 MP3 Opus Windows Media Audio WMA ATRAC Cook LDAC High Definition Coding HDC 4 Dolby AC 4 5 MPEG H 3D Audio 6 ATRAC benutzen u a die MDCT als Spektraltransformation Weiterhin wird sie in den Sprachkomprimierer AAC LD LD MDCT 7 G 722 1 8 G 729 1 9 CELT 10 und Opus 11 12 verwendet Daneben existiert die ahnlich aufgebaute modifizierte diskrete Sinustransformation MDST die auf der diskreten Sinustransformation basiert die aber im Bereich der digitalen Signalverarbeitung keine wesentliche Bedeutung hat Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Definition 2 1 Transformation 2 2 Inverse Transformation 2 3 Verwendung 2 4 Berechnungsaufwand 3 Literatur 4 EinzelnachweiseMotivation BearbeitenDie MDCT basiert auf dem Typ IV der diskreten Kosinustransformation auch als DCT IV bezeichnet und verwendet am Anfang der zu transformierenden Eingangssignalfolge beispielsweise ist dies eine endliche Anzahl von Abtastwerten eines Audiosignals eine gerade Fortsetzung und am Ende der Signalfolge eine ungerade Fortsetzung Das Eingangssignal wird in aufeinander folgende Blocke unterteilt wobei jeder Block getrennt der Transformation unterworfen wird Bei der MDCT werden die Signalfolgen zur Bildung der einzelnen Blocke teilweise miteinander uberlappt um die geraden bzw ungeraden Fortsetzungen der Blockbildung zu kompensieren In der meist englischsprachigen Fachliteratur wird dies als time domain aliasing cancellation TDAC bezeichnet Ahnliche Verfahren finden im Rahmen der DFT beim Overlap Add Verfahren und dem Overlap Save Verfahren Anwendung um die dort periodische Fortsetzung der DFT in die aperiodische Faltungsoperation zu uberfuhren Die MDCT vermeidet das was bei der DCT der JPEG Kompression als Blockartefakte bekannt ist Sprunge zwischen Abtastwerten benachbarter Transformationsblocken Das menschliche Gehor reagiert auf diese Form von Storungen noch wesentlich empfindlicher als das Auge sodass ein Verfahren gefunden werden musste das zwischen benachbarten Blocken nicht schlagartig sondern allmahlich wechselt Dies erfolgt durch eine Vergrosserung der in eine Transformation eingehenden Abtastwerte unter Verwendung einer Fensterfunktion Dabei besteht aber das Problem dass damit normalerweise die Datenmenge vergrossert wurde da Abtastwerte in Berechnungen mehrfach eingehen und redundant abgespeichert wurden Dieses Problem umgeht die MDCT indem zwar 2 N displaystyle mathrm 2N nbsp Abtastwerte als 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amp X b k quad cos left frac pi mathrm N left n frac 1 2 frac mathrm N 2 right left k frac 1 2 right right Bigg end aligned nbsp nbsp MDCT Fensterfunktionenblau Kosinus rot Sinus Kosinus grun d grun modifizierte Kaiser Bessel mit a 6 bzw 4 nbsp Leakage der MDCT Fensterfunktionenblau Kosinus rot Sinus Kosinus grun d grun modifizierte Kaiser Bessel mit a 6 bzw 4Die Fenster Funktion w n displaystyle w n nbsp muss folgende Eigenschaften haben Fur die Analyse wie die Synthese eines Blocks b displaystyle b nbsp ist die gleiche Funktion zu verwenden Sonst funktioniert das TDAC nicht Fur jeden Abtastwert wird die Fensterfunktion sowohl bei der Analyse wie bei der Synthese je 2 mal angewendet Diese beiden Werte mussen ohne Beschrankung der Allgemeinheit die Gleichung w p r e v 2 w n e x t 2 1 displaystyle w mathrm prev 2 w mathrm next 2 1 nbsp erfullen Die Bedingung nennt sich Princen Bradley Bedingung Ein Nebeneffekt dieser Bedingung erzwingt dass die Funktionen bei 1 4 displaystyle 1 4 nbsp und 3 4 displaystyle 3 4 nbsp ihrer Fensterbreite den Wert 2 2 0 707 1 displaystyle sqrt 2 2 approx 0 7071 nbsp annehmen w n displaystyle w n nbsp sollte eine moglich glatte Funktion sein um den Leck Effekt gering zu halten der bei der Analyse die Konzentration dominierender Signalkomponenten verringern wurde und bei der Synthese Storsignale entfernt von dominierenden Signalkomponenten erzeugen wurde DC Anteile wurden z B durch Sprunge an Blockgrenzen ein Knattern verursachen Durch die zweite Bedingung unterscheidet sich die Fensterfunktion erheblich von den normalerweise ublichen Fensterfunktionen Im Wesentlichen finden folgende drei Fensterfunktionen Anwendung Kosinusfenster MPEG Layer 3 AAC modifizierte Kaiser Bessel Fenster AAC AC 3 Sinus Kosinus Fenster Ogg Vorbis Berechnungsaufwand Bearbeiten Die direkte Berechnung der MDCT nach obiger Formel benotigt O N 2 displaystyle O N 2 nbsp Operationen Ahnlich wie bei der schnellen Fourier Transformation FFT als eine Form der effizienten Berechnung der DFT existieren auch bei der MDCT Algorithmen die ahnlich wie der Radix 2 Algorithmus aufgebaut sind um die Anzahl der Rechenoperationen auf O N log N zu reduzieren Zudem lasst sich die MDCT mittels Pre und Postprocessing und einer FFT berechnen Literatur BearbeitenHenrique S Malvar Signal Processing with Lapped Transforms Artech House 1992 ISBN 0 89006 467 9 Einzelnachweise Bearbeiten John P Princen Alan B Bradley Analysis Synthesis filter bank design based on time domain aliasing cancellation In IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing Band 34 Nr 5 Oktober 1986 S 1153 1161 doi 10 1109 TASSP 1986 1164954 J Princen A Johnson A Bradley Subband Transform coding using filter bank designs based on time domain aliasing cancellation In Acoustics Speech and Signal Processing IEEE International Conference on ICASSP 87 Band 12 1987 S 2161 2164 doi 10 1109 ICASSP 1987 1169405 Erstmalige Erwahnung des Begriffes MDCT Fa Long Luo Mobile Multimedia Broadcasting Standards Technology and Practice Springer Science amp Business Media 2008 ISBN 978 0 387 78263 8 S 590 google com Graham A Jones David H Layer Thomas G Osenkowsky National Association of Broadcasters Engineering Handbook NAB Engineering Handbook Taylor amp Francis 2013 ISBN 978 1 136 03410 7 S 558 9 google com Dolby AC 4 Audio Delivery for Next Generation Entertainment Services In Dolby Laboratories Juni 2015 abgerufen am 11 November 2019 R L Bleidt D Sen A Niedermeier B Czelhan S Fug et al Development of the MPEG H TV Audio System for ATSC 3 0 In IEEE Transactions on Broadcasting 63 Jahrgang Nr 1 2017 S 202 236 doi 10 1109 TBC 2017 2661258 fraunhofer de PDF Markus Schnell Markus Schmidt Manuel Schmidt Tobias Albert Ralf Geiger Vesa Ruoppila Per Ekstrand Grill Bernhard MPEG 4 Enhanced Low Delay AAC A New Standard for High Quality Communication 125th AES Convention Audio Engineering Society Oktober 2008 englisch fraunhofer de PDF abgerufen am 20 Oktober 2019 Manfred Lutzky Gerald 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