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Diskrete Sinustransformation Die diskrete Sinustransformation DST englisch discrete sine transform ist eine reellwertige

Diskrete Sinustransformation

Die diskrete Sinustransformation (DST, englisch discrete sine transform) ist eine reellwertige, diskrete, lineare, orthogonale Transformation, die ähnlich wie der imaginäre Teil der diskreten Fouriertransformation (DFT) ein zeitdiskretes Signal vom Zeitbereich (bei Zeitsignalen) bzw. dem Ortsbereich (bei räumlichen Signalen) in den Frequenzbereich transformiert.

Sie ist eng verwandt mit der diskreten Kosinustransformation (DCT), basiert aber im Gegensatz auf der ungeraden Sinusfunktion.

Anwendung der DST, wie auch der DCT, liegen bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Bei dem Videostandard H.265 kann die DST bei bestimmten Einstellungen zum Einsatz kommen. Im Gegensatz zur DCT besitzt die DST in den meisten Fällen keine wesentliche Anwendung im Bereich der Signalverarbeitung und Datenkompression.

Definition Bearbeiten

Unterschiedliche periodische Fortsetzungen bei DST-I bis DST-IV an einer 9 Elemente langen Beispielfolge in rot.

Es gibt in Summe acht verschiedene Formen der DST, die in der Literatur mit DST-I bis DST-VIII bezeichnet werden. Sie unterscheiden sich durch die Art, wie die endliche Folge am Anfang der Folge ungerade fortgesetzt wird. Die DST-I bis DST-IV ist, bis auf einen konstanten Faktor, gleichwertig zur reellwertigen, ungeraden DFT mit gerader Ordnung. Die verschiedenen Arten der DST bilden dabei jeweils die reellwertige Eingabefolge, aus dem Orts- bzw. Zeitbereich, mit N Elementen x[n] auf eine reellwertige Ausgabefolge, den Spektralbereich, X[n] ab:

Die vier gebräuchlichsten DST-Arten sind DST-I bis DST-IV:

DST-I Bearbeiten

Die DST-I ist bezüglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um x−1 und ungerade am Ende um xN.

DST-II Bearbeiten

Die DST-II ist bezüglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um x−1/2 und ungerade am Ende um xN−1/2.

DST-III Bearbeiten

Die DST-III ist bezüglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um x−1 und gerade am Ende um xN−1.

DST-IV Bearbeiten

Die DST-IV ist bezüglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um x−1/2 und gerade am Ende um xN−1/2.

Inverse Transformation Bearbeiten

Wie jede Transformation besitzt auch die DST eine inverse Transformation. Die Inverse der DST-I ist die DST-I mit einem konstanten Faktor 2/(N+1). Die Inverse der DST-IV ist die DST-IV mit dem konstanten Faktor 2/N. Die Inverse der DST-II ist die DST-III mit einem Faktor 2/N und umgekehrt.

Ähnlich wie bei der DCT sind die Vorfaktoren der DST in der Literatur nicht einheitlich festgelegt. Beispielsweise wird von manchen Autoren ein zusätzlicher Faktor von eingeführt, um den zusätzlichen Faktor bei der inversen Operation zu vermeiden. Durch geeignete Wahl des konstanten Faktors kann die Transformationsmatrix eine orthogonale Matrix darstellen.

Literatur Bearbeiten

  • Vladimir Britanak, Patrick C. Yip, K. R. Rao: Discrete Cosine and Sine Transforms: General Properties, Fast Algorithms and Integer Approximations. Academic Press, 2007, ISBN 978-0-12-373624-6.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. S. A. Martucci: Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms, in Proceedings of the IEEE in Signal Processing, Ausgabe SP-42, 1994, S. 1038–1051.
  2. Martin Fiedler: Videokompressionsverfahren - von MPEG-1 bis H.264 und H.265. Abgerufen am 10. März 2014.
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Veröffentlichungsdatum:
Die diskrete Sinustransformation DST englisch discrete sine transform ist eine reellwertige diskrete lineare orthogonale Transformation die ahnlich wie der imaginare Teil der diskreten Fouriertransformation DFT ein zeitdiskretes Signal vom Zeitbereich bei Zeitsignalen bzw dem Ortsbereich bei raumlichen Signalen in den Frequenzbereich transformiert Sie ist eng verwandt mit der diskreten Kosinustransformation DCT basiert aber im Gegensatz auf der ungeraden Sinusfunktion 1 Anwendung der DST wie auch der DCT liegen bei der Losung von partiellen Differentialgleichungen Bei dem Videostandard H 265 kann die DST bei bestimmten Einstellungen zum Einsatz kommen 2 Im Gegensatz zur DCT besitzt die DST in den meisten Fallen keine wesentliche Anwendung im Bereich der Signalverarbeitung und Datenkompression Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 DST I 1 2 DST II 1 3 DST III 1 4 DST IV 2 Inverse Transformation 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Unterschiedliche periodische Fortsetzungen bei DST I bis DST IV an einer 9 Elemente langen Beispielfolge in rot Es gibt in Summe acht verschiedene Formen der DST die in der Literatur mit DST I bis DST VIII bezeichnet werden Sie unterscheiden sich durch die Art wie die endliche Folge am Anfang der Folge ungerade fortgesetzt wird Die DST I bis DST IV ist bis auf einen konstanten Faktor gleichwertig zur reellwertigen ungeraden DFT mit gerader Ordnung Die verschiedenen Arten der DST bilden dabei jeweils die reellwertige Eingabefolge aus dem Orts bzw Zeitbereich mit N Elementen x n auf eine reellwertige Ausgabefolge den Spektralbereich X n ab x n x 0 x N 1 X n X 0 X N 1 displaystyle x n x 0 ldots x N 1 Rightarrow X n X 0 ldots X N 1 nbsp Die vier gebrauchlichsten DST Arten sind DST I bis DST IV DST I Bearbeiten Die DST I ist bezuglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um x 1 und ungerade am Ende um xN X k n 0 N 1 x n sin p N 1 n 1 k 1 k 0 N 1 displaystyle X k sum n 0 N 1 x n sin left frac pi N 1 n 1 k 1 right quad quad k 0 dots N 1 nbsp DST II Bearbeiten Die DST II ist bezuglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um x 1 2 und ungerade am Ende um xN 1 2 X k n 0 N 1 x n sin p N n 1 2 k 1 k 0 N 1 displaystyle X k sum n 0 N 1 x n sin left frac pi N left n frac 1 2 right k 1 right quad quad k 0 dots N 1 nbsp DST III Bearbeiten Die DST III ist bezuglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um x 1 und gerade am Ende um xN 1 X k 1 k 2 x N 1 n 0 N 2 x n sin p N n 1 k 1 2 k 0 N 1 displaystyle X k frac 1 k 2 x N 1 sum n 0 N 2 x n sin left frac pi N n 1 left k frac 1 2 right right quad quad k 0 dots N 1 nbsp DST IV Bearbeiten Die DST IV ist bezuglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um x 1 2 und gerade am Ende um xN 1 2 X k n 0 N 1 x n sin p N n 1 2 k 1 2 k 0 N 1 displaystyle X k sum n 0 N 1 x n sin left frac pi N left n frac 1 2 right left k frac 1 2 right right quad quad k 0 dots N 1 nbsp Inverse Transformation BearbeitenWie jede Transformation besitzt auch die DST eine inverse Transformation Die Inverse der DST I ist die DST I mit einem konstanten Faktor 2 N 1 Die Inverse der DST IV ist die DST IV mit dem konstanten Faktor 2 N Die Inverse der DST II ist die DST III mit einem Faktor 2 N und umgekehrt Ahnlich wie bei der DCT sind die Vorfaktoren der DST in der Literatur nicht einheitlich festgelegt Beispielsweise wird von manchen Autoren ein zusatzlicher Faktor von 2 N displaystyle sqrt 2 N nbsp eingefuhrt um den zusatzlichen Faktor bei der inversen Operation zu vermeiden Durch geeignete Wahl des konstanten Faktors kann die Transformationsmatrix eine orthogonale Matrix darstellen Literatur BearbeitenVladimir Britanak Patrick C Yip K R Rao Discrete Cosine and Sine Transforms General Properties Fast Algorithms and Integer Approximations Academic Press 2007 ISBN 978 0 12 373624 6 Weblinks BearbeitenFFTW Eine quelloffene C Bibliothek unter der GPL zur Berechnung der DST I bis DST IV ein einer oder mehrerer Dimensionen The Design and Implementation of FFTW3 engl PDF 342 kB Einzelnachweise Bearbeiten S A Martucci Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms in Proceedings of the IEEE in Signal Processing Ausgabe SP 42 1994 S 1038 1051 Martin Fiedler Videokompressionsverfahren von MPEG 1 bis H 264 und H 265 Abgerufen am 10 Marz 2014 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Diskrete Sinustransformation amp oldid 200281351