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Misiurewicz Punkt Der auch Misiurewicz Thurston Punkt ist nach dem polnischen Mathematiker Misiurewicz benannt Ein solch

Misiurewicz-Punkt

Der Misiurewicz-Punkt (auch Misiurewicz-Thurston-Punkt) ist nach dem polnischen Mathematiker Misiurewicz benannt. Ein solcher Punkt wird berechnet, um die Ähnlichkeit einer zusammenhängenden Julia-Menge mit dem Rand der Mandelbrot-Menge für den gleichen Misiurewicz-Punkt in grafischer Darstellung nachzuweisen. In einer Veröffentlichung über die Ähnlichkeit der Mandelbrot-Menge und Julia-Menge zeigte Tan Lei, dass die an einem Misiurewicz-Punkt gelegene Darstellung der Mandelbrot-Menge, bis auf einen Vergrößerungsfaktor und eine Drehung, ein deformiertes Abbild der Julia-Menge an demselben Misiurewicz-Punkt ist.

Des Weiteren werden Misiurewicz-Punkte für die grafische Darstellung der Selbstähnlichkeit der Mandelbrot-Menge, Multibrot-Menge und bei Fraktalen verwendet.

Definition Bearbeiten

In der Literatur findet sich folgende Definition für den Misiurewicz-Punkt:

Diese Definition basiert auf Eigenschaften einer rekursiven Folge, die im Folgenden erläutert werden.

Für ein komplexes quadratisches Polynom sei eine Rekursion in der Darstellung gegeben. Der Startwert ist ein fest vorgegebener Anfangswert und der komplexe Parameter ist eine frei wählbare Variable. Mit diesen Festlegungen hat die rekursive Folge folgende Form:

Hierbei bedeutet und die n-malige Hintereinanderausführung von und darf nicht als n-te Potenz aufgefasst werden.

Sei nun der komplexe Parameter für die weitere Berechnung auf den Wert festgelegt und zur Abkürzung, dort wo es sinnvoll ist, . Dann hat die rekursive Folge für die -te und -te Hintereinanderausführung, unter der Bedingung, dass ein Misiurewicz-Punkt vorliegt, die Darstellung:

Die Eigenschaften dieser Folge lassen sich wie folgt zusammenfassen:

  • Bis zum -ten Folgenglied wird ein präperiodischer Orbit erzeugt. Der präperiodische Orbit hat die Darstellung und es gilt , da Bestandteil des präperiodischen Orbit sein muss.
  • Ab dem -ten Folgeglied entsteht ein zyklischer Orbit und daher muss sein.
  • Mittels Induktion kann gezeigt werden, dass für ein beliebiges gilt.

Beispiele Bearbeiten

  • Für den Startwert ergibt sich für mit die rekursive Folge:
Der präperiodische Orbit lautet und mündet in einen periodischen Orbit . Demnach ist ein Misiurewicz-Punkt.
  • Bei einem Startwert lautet für mit die rekursive Folge:
ist kein Misiurewicz-Punkt, denn es existiert kein präperiodischer Orbit und kein periodischer Orbit.

Literatur Bearbeiten

  • Dierk Schleicher: On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets, in: M.Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, American Mathematical Society (2004), 477–507, 1999, pdf

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Tan Lei: Similarity between the Mandelbrot set and the Julia sets, Communications in Mathematical Physics, Vol 134 Number 3, pp. 587–617, 1990, pdf
  2. Dierk Schleicher: rational Parameter Rays of the Multibrot Sets, 2015, pdf
  3. Dierk Schleicher: rational Parameter Rays of the Multibrot Sets, Seite 30, 2015, pdf
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Der Misiurewicz Punkt auch Misiurewicz Thurston Punkt ist nach dem polnischen Mathematiker Misiurewicz benannt Ein solcher Punkt wird berechnet um die Ahnlichkeit einer zusammenhangenden Julia Menge mit dem Rand der Mandelbrot Menge fur den gleichen Misiurewicz Punkt in grafischer Darstellung nachzuweisen In einer Veroffentlichung uber die Ahnlichkeit der Mandelbrot Menge und Julia Menge zeigte Tan Lei dass die an einem Misiurewicz Punkt gelegene Darstellung der Mandelbrot Menge bis auf einen Vergrosserungsfaktor und eine Drehung ein deformiertes Abbild der Julia Menge an demselben Misiurewicz Punkt ist 1 Des Weiteren werden Misiurewicz Punkte fur die grafische Darstellung der Selbstahnlichkeit der Mandelbrot Menge Multibrot Menge und bei Fraktalen verwendet 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIn der Literatur findet sich folgende Definition fur den Misiurewicz Punkt 3 Der Parameterwert c 0 displaystyle c 0 nbsp ist genau dann ein Misiurewicz Punkt wenn der praperiodische Orbit in einen periodischen Orbit mundet Diese Definition basiert auf Eigenschaften einer rekursiven Folge die im Folgenden erlautert werden Fur ein komplexes quadratisches Polynom sei eine Rekursion in der Darstellung f c C C z z 2 c displaystyle f c colon overline mathbb C mapsto overline mathbb C z mapsto z 2 c nbsp gegeben Der Startwert z 0 0 displaystyle z 0 0 nbsp ist ein fest vorgegebener Anfangswert und der komplexe Parameter c displaystyle c nbsp ist eine frei wahlbare Variable Mit diesen Festlegungen hat die rekursive Folge folgende Form f c 0 0 f c 1 0 f c 2 0 f c 3 0 f c n 0 displaystyle f c 0 0 mapsto f c 1 0 mapsto f c 2 0 mapsto f c 3 0 mapsto cdots mapsto f c n 0 nbsp Hierbei bedeutet f c 0 z 0 displaystyle f c 0 z 0 nbsp und f c n displaystyle f c n nbsp die n malige Hintereinanderausfuhrung von f c displaystyle f c nbsp und darf nicht als n te Potenz aufgefasst werden Sei nun der komplexe Parameter c displaystyle c nbsp fur die weitere Berechnung auf den Wert c 0 displaystyle c 0 nbsp festgelegt und zur Abkurzung dort wo es sinnvoll ist f c l c 0 a displaystyle f c l c 0 alpha nbsp Dann hat die rekursive Folge fur die l displaystyle l nbsp te und p displaystyle p nbsp te Hintereinanderausfuhrung unter der Bedingung dass ein Misiurewicz Punkt vorliegt die Darstellung 0 c 0 f c c 0 f c l c 0 a f c f c l c 0 f c a f c p a f c a displaystyle 0 mapsto c 0 mapsto f c c 0 mapsto cdots mapsto f c l c 0 alpha mapsto f c f c l c 0 f c alpha mapsto cdots mapsto f c p alpha f c alpha mapsto cdots nbsp Die Eigenschaften dieser Folge lassen sich wie folgt zusammenfassen Bis zum l displaystyle l nbsp ten Folgenglied wird ein praperiodischer Orbit erzeugt Der praperiodische Orbit hat die Darstellung 0 c 0 f c c 0 f c l c 0 displaystyle 0 c 0 f c c 0 cdots f c l c 0 nbsp und es gilt l 1 displaystyle l geq 1 nbsp da c 0 displaystyle c 0 nbsp Bestandteil des praperiodischen Orbit sein muss Ab dem p displaystyle p nbsp ten Folgeglied entsteht ein zyklischer Orbit g f c p a f c 2 p 1 a displaystyle gamma f c p alpha cdots f c 2p 1 alpha nbsp und daher muss p 1 displaystyle p geq 1 nbsp sein Mittels Induktion kann gezeigt werden dass f c k p a f c p a displaystyle f c k cdot p alpha f c p alpha nbsp fur ein beliebiges k N displaystyle k in mathbb N nbsp gilt Beispiele BearbeitenFur den Startwert c i displaystyle c i nbsp ergibt sich fur f i z z 2 i displaystyle f i colon z mapsto z 2 i nbsp mit z 0 0 displaystyle z 0 0 nbsp die rekursive Folge 0 i i 1 i i 1 i 1 i i 1 displaystyle 0 mapsto i mapsto i 1 mapsto i mapsto i 1 mapsto ldots mapsto i 1 mapsto i mapsto i 1 mapsto ldots nbsp dd Der praperiodische Orbit lautet 0 i displaystyle 0 i nbsp und mundet in einen periodischen Orbit g i 1 i displaystyle gamma i 1 i nbsp Demnach ist i displaystyle i nbsp ein Misiurewicz Punkt Bei einem Startwert c 1 2 displaystyle c tfrac 1 2 nbsp lautet fur f 1 2 z z 2 1 2 displaystyle f 1 2 colon z mapsto z 2 tfrac 1 2 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