In der Mathematik sind Milnor Faserungen ein haufig studiertes Beispiel der Singularitatentheorie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften der Milnor Faserung 3 Beispiel 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei f C n 1 C displaystyle f colon mathbb C n 1 to mathbb C nbsp ein Polynom in n 1 displaystyle n 1 nbsp Variablen fur das f 0 0 displaystyle f 0 0 nbsp und 0 C n 1 displaystyle 0 in mathbb C n 1 nbsp ein kritischer Punkt ist Sei V f x C n 1 f x 0 displaystyle V f left x in mathbb C n 1 colon f x 0 right nbsp und S ϵ x C n 1 x ϵ displaystyle S epsilon left x in mathbb C n 1 colon Vert x Vert epsilon right nbsp fur ein kleines ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp Als Milnor Faserung bezeichnet man die Abbildung f f S ϵ S ϵ V f S 1 displaystyle frac f Vert f Vert colon S epsilon setminus S epsilon cap V f to S 1 nbsp Als Milnor Fasern bezeichnet man die Fasern Urbilder dieser Abbildung Eigenschaften der Milnor Faserung BearbeitenFur B ϵ x C n 1 x ϵ displaystyle B epsilon left x in mathbb C n 1 colon Vert x Vert leq epsilon right nbsp ist B ϵ V f displaystyle B epsilon cap V f nbsp ein Kegel uber S ϵ V f displaystyle S epsilon cap V f nbsp Letzteres wird als Link der Singularitat bezeichnet Der Link der Singularitat S ϵ V f displaystyle S epsilon cap V f nbsp ist n 2 displaystyle n 2 nbsp zusammenhangend Die Abbildung f f S ϵ S ϵ V f S 1 displaystyle frac f Vert f Vert colon S epsilon setminus S epsilon cap V f to S 1 nbsp ist eine lokal triviale Faserung Wenn r displaystyle r nbsp die komplexe Dimension des Keims der kritischen Menge von f V f displaystyle f mid V f nbsp ist dann sind die Milnor Fasern n r 1 displaystyle n r 1 nbsp zusammenhangend Insbesondere sind im Fall isolierter Singularitaten die Milnor Fasern n 1 displaystyle n 1 nbsp zusammenhangend Die Milnor Fasern haben den Homotopietyp eines endlichen CW Komplexes der reellen Dimension n displaystyle n nbsp Im Fall isolierter Singularitaten haben die Milnor Fasern den Homotopietyp eines Bouquets von m displaystyle mu nbsp n displaystyle n nbsp Spharen Die Zahl m displaystyle mu nbsp heisst die Milnor Zahl der Singularitat Sie kann berechnet werden alsm dim C C z 1 z n 1 f z 1 f z n 1 displaystyle mu dim mathbb C left mathbb C left z 1 ldots z n 1 right left frac partial f partial z 1 ldots frac partial f partial z n 1 right right nbsp dd wobei C z 1 z n 1 displaystyle mathbb C left z 1 ldots z n 1 right nbsp die C displaystyle mathbb C nbsp Algebra der Keime analytischer Funktionen in 0 C n 1 displaystyle 0 in mathbb C n 1 nbsp ist Die Milnor Fasern sind parallelisierbar Monodromiesatz Sei h F F displaystyle h colon F to F nbsp die Monodromie der Milnor Faserung Dann sind die Eigenwerte vonh H i F C H i F C displaystyle h colon H i F mathbb C to H i F mathbb C nbsp dd stets Einheitswurzeln Tatsachlich gibt es positive Zahlen p displaystyle p nbsp und q i 1 displaystyle q i 1 nbsp so dass h p i d q 0 displaystyle h p id q 0 nbsp dd Beispiel BearbeitenFur f z 1 z 2 z 1 p z 2 q displaystyle f z 1 z 2 z 1 p z 2 q nbsp ist n 1 displaystyle n 1 nbsp S ϵ S 3 displaystyle S epsilon simeq S 3 nbsp S ϵ V f displaystyle S epsilon cap V f nbsp ein p q displaystyle p q nbsp Torusknoten und die Existenz der Milnor Faserung zeigt dass es sich bei Torusknoten um gefaserte Knoten handelt Die Faser ist eine nicht kompakte Flache welche den Homotopietyp eines Bouquets von Kreisen hat also eines 1 displaystyle 1 nbsp dimensionalen CW Komplexes Literatur BearbeitenJohn Milnor Singular points of complex hypersurfaces Princeton 1968 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Milnor Faserung amp oldid 224036766
