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McShane Identität In der Mathematik ist die eine Aussage über die Längen kürzester Linien geschlossener Geodäten auf hyp

McShane-Identität

In der Mathematik ist die McShane-Identität eine Aussage über die Längen kürzester Linien (geschlossener Geodäten) auf hyperbolischen Flächen.

Sie ist unter anderem bemerkenswert, weil sie nicht von der hyperbolischen Metrik abhängt (obwohl Flächen einen hoch-dimensionalen Modulraum hyperbolischer Metriken besitzen), sowie wegen der Anwendungen ihrer verschiedenen Verallgemeinerungen in der höheren Teichmüller-Theorie.

McShane-Identität für hyperbolische Flächen Bearbeiten

Torus mit Loch Bearbeiten

(McShane 1991): Für die einfachen geschlossenen Geodäten in einem hyperbolischen Torus mit Loch gilt die Identität

wobei über alle geschlossenen einfachen Geodäten summiert wird und die Länge der geschlossenen Geodäte bezeichnet.

Beliebige hyperbolische Flächen Bearbeiten

Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet.

(McShane 1998): Für eine hyperbolische Fläche mit einer Spitze gilt

wobei über alle diejenigen Paare geschlossener einfacher Geodäten summiert wird, die gemeinsam mit der Spitze eine Hose beranden.

Mirzakhanis Verallgemeinerung Bearbeiten

Die folgende von Mirzakhani bewiesene Formel diente als Ausgangspunkt für ihre Berechnung des Weil-Petersson-Volumens der Modulräume hyperbolischer Metriken auf (berandeten) Flächen.

Für eine hyperbolische Fläche, deren Randkomponenten geschlossene Geodäten der Längen sind, gilt:

Hierbei ist die erste Summe über alle ungeordneten Paare geschlossener einfacher Geodäten , die mit eine Hose beranden, die zweite Summe ist über alle geschlossenen einfachen Geodäten , die mit eine Hose beranden. Die Funktionen werden durch die Geometrie der Hosen definiert, eine explizite Formel ist

Andere Lie-Gruppen Bearbeiten

Für eine quasifuchssche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit homotopieäquivalent zum Torus mit Loch (also eine quasifuchssche Darstellung der freien Gruppe vom Rang 2) gilt ebenfalls die Identität

wobei über alle geschlossenen einfachen Geodäten in summiert wird. (Bowditch 1997)

Andere Verallgemeinerungen der McShane-Identität existieren für eine Reihe weiterer Darstellungen von Flächengruppen in , zum Beispiel für quasifuchssche Darstellungen freier Gruppen (Akiyoshi-Miyachi-Sakuma), und auch für Hitchin-Darstellungen von Flächengruppen und freien Gruppen in (Labourie-McShane).

Literatur Bearbeiten

  • McShane, Gregory: A remarkable identity for lengths of curves, Ph.D. thesis, Univ. Warwick, Coventry, (1991).
  • Bowditch, B. H.: A proof of McShane's identity via Markoff triples. Bull. London Math. Soc. 28 (1996), no. 1, 73–78.
  • Bowditch, B. H.: A variation of McShane's identity for once-punctured torus bundles. Topology 36 (1997), no. 2, 325–334.
  • McShane, Gregory: Simple geodesics and a series constant over Teichmuller space. Invent. Math. 132 (1998), no. 3, 607–632.
  • Akiyoshi, Hirotaka; Miyachi, Hideki; Sakuma, Makoto: Variations of McShane's identity for punctured surface groups. Spaces of Kleinian groups, 151–185, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 329, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
  • Mirzakhani, Maryam: Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces. Invent. Math. 167 (2007), no. 1, 179–222.
  • Tan, Ser Peow; Wong, Yan Loi; Zhang, Ying: McShane's identity for classical Schottky groups. Pacific J. Math. 237 (2008), no. 1, 183–200.
  • Labourie, François; McShane, Gregory: Cross ratios and identities for higher Teichmüller-Thurston theory. Duke Math. J. 149 (2009), no. 2, 279–345.

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik ist die McShane Identitat eine Aussage uber die Langen kurzester Linien geschlossener Geodaten auf hyperbolischen Flachen Sie ist unter anderem bemerkenswert weil sie nicht von der hyperbolischen Metrik abhangt obwohl Flachen einen hoch dimensionalen Modulraum hyperbolischer Metriken besitzen sowie wegen der Anwendungen ihrer verschiedenen Verallgemeinerungen in der hoheren Teichmuller Theorie Inhaltsverzeichnis 1 McShane Identitat fur hyperbolische Flachen 1 1 Torus mit Loch 1 2 Beliebige hyperbolische Flachen 1 3 Mirzakhanis Verallgemeinerung 2 Andere Lie Gruppen 3 Literatur 4 WeblinksMcShane Identitat fur hyperbolische Flachen BearbeitenTorus mit Loch Bearbeiten McShane 1991 Fur die einfachen geschlossenen Geodaten in einem hyperbolischen Torus mit Loch gilt die Identitat g 1 1 e l g 1 2 displaystyle sum gamma frac 1 1 e l gamma frac 1 2 nbsp wobei uber alle geschlossenen einfachen Geodaten g displaystyle gamma nbsp summiert wird und l g displaystyle l gamma nbsp die Lange der geschlossenen Geodate bezeichnet Beliebige hyperbolische Flachen Bearbeiten nbsp Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet McShane 1998 Fur eine hyperbolische Flache mit einer Spitze gilt a b 1 1 e l a l b 2 1 2 displaystyle sum alpha beta frac 1 1 e frac l alpha l beta 2 frac 1 2 nbsp wobei uber alle diejenigen Paare geschlossener einfacher Geodaten summiert wird die gemeinsam mit der Spitze eine Hose beranden Mirzakhanis Verallgemeinerung Bearbeiten Die folgende von Mirzakhani bewiesene Formel diente als Ausgangspunkt fur ihre Berechnung des Weil Petersson Volumens der Modulraume hyperbolischer Metriken auf berandeten Flachen Fur eine hyperbolische Flache deren Randkomponenten b 1 b 2 b n displaystyle beta 1 beta 2 ldots beta n nbsp geschlossene Geodaten der Langen L 1 L 2 L n displaystyle L 1 L 2 ldots L n nbsp sind gilt g 1 g 2 D L 1 l g 1 l g 2 i 2 n g R L 1 L i l g L 1 displaystyle sum gamma 1 gamma 2 mathfrak D L 1 l gamma 1 l gamma 2 sum i 2 n sum gamma mathfrak R L 1 L i l gamma L 1 nbsp Hierbei ist die erste Summe uber alle ungeordneten Paare geschlossener einfacher Geodaten g 1 g 2 displaystyle gamma 1 gamma 2 nbsp die mit b 1 displaystyle beta 1 nbsp eine Hose beranden die zweite Summe ist uber alle geschlossenen einfachen Geodaten g displaystyle gamma nbsp die mit b 1 b i displaystyle beta 1 beta i nbsp eine Hose beranden Die Funktionen D R R 3 R displaystyle mathfrak D mathfrak R colon mathbb R 3 to mathbb R nbsp werden durch die Geometrie der Hosen definiert eine explizite Formel ist D x y z 2 log e x 2 e y z 2 e x 2 e y z 2 R x y z x log cosh y 2 cosh x z 2 cosh y 2 cosh x z 2 displaystyle mathfrak D x y z 2 log left frac e frac x 2 e frac y z 2 e frac x 2 e frac y z 2 right mathfrak R x y z x log left frac cosh frac y 2 cosh frac x z 2 cosh frac y 2 cosh frac x z 2 right nbsp Andere Lie Gruppen BearbeitenFur eine quasifuchssche hyperbolische 3 Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp homotopieaquivalent zum Torus mit Loch also eine quasifuchssche Darstellung r F 2 S L 2 C displaystyle rho colon F 2 to SL 2 mathbb C nbsp der freien Gruppe vom Rang 2 gilt ebenfalls die Identitat g 1 1 e l g 1 2 displaystyle sum gamma frac 1 1 e l gamma frac 1 2 nbsp wobei uber alle geschlossenen einfachen Geodaten in M r F 2 H 3 displaystyle M rho F 2 backslash mathbb H 3 nbsp summiert wird Bowditch 1997 Andere Verallgemeinerungen der McShane Identitat existieren fur eine Reihe weiterer Darstellungen von Flachengruppen in S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C nbsp zum Beispiel fur quasifuchssche Darstellungen freier Gruppen Akiyoshi Miyachi Sakuma und auch fur Hitchin Darstellungen von Flachengruppen und freien Gruppen in S L n R displaystyle SL n mathbb R nbsp Labourie McShane Literatur BearbeitenMcShane Gregory A remarkable identity for lengths of curves Ph D thesis Univ Warwick Coventry 1991 Bowditch B H A proof of McShane s identity via Markoff triples Bull London Math Soc 28 1996 no 1 73 78 Bowditch B H A variation of McShane s identity for once punctured torus bundles Topology 36 1997 no 2 325 334 McShane Gregory Simple geodesics and a series constant over Teichmuller space Invent Math 132 1998 no 3 607 632 Akiyoshi Hirotaka Miyachi Hideki Sakuma Makoto Variations of McShane s identity for punctured surface groups Spaces of Kleinian groups 151 185 London Math Soc Lecture Note Ser 329 Cambridge Univ Press Cambridge 2006 Mirzakhani Maryam Simple geodesics and Weil Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces Invent Math 167 2007 no 1 179 222 Tan Ser Peow Wong Yan Loi Zhang Ying McShane s identity for classical Schottky groups Pacific J Math 237 2008 no 1 183 200 Labourie Francois McShane Gregory Cross ratios and identities for higher Teichmuller Thurston theory Duke Math J 149 2009 no 2 279 345 Weblinks BearbeitenBridgeman Martin Tan Ser Peow Identities on hyperbolic manifolds Abgerufen von https de wikipedia org w index php title McShane Identitat amp oldid 223008290