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Magisches Polygon Ein magisches Polygon ist ein regelmäßiges n Eck n N displaystyle n in mathbb N dessen Ecken Seitenmit

Magisches Polygon

Ein magisches Polygon ist ein regelmäßiges n-Eck (), dessen Ecken, Seitenmitten und Mittelpunkt so mit den natürlichen Zahlen von bis belegt sind, dass die Summe der so belegten Zahlen auf jeder Seite und jeder Diagonalen gleich einer konstanten Zahl ist, die auch als magische Summe bezeichnet wird.

Grundeigenschaften magischer Polygone Bearbeiten

  • Die Zahl im Mittelpunkt des Polygons ist .
  • Die magische Summe beträgt .

Verallgemeinerte Definition Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung magischer n-seitiger regelmäßiger Polygone beruht auf einer konzentrischen Verschachtelung von n-seitigen untereinander ähnlichen regelmäßigen Polygonen mit gemeinsamem Mittelpunkt, wobei eine gerade natürliche Zahl ist.

Solche Polygone werden mit P(n,k) bezeichnet.

Laut dieser Definition enthalten die Seiten aller verschachtelten Polygone einschließlich ihres gemeinsamen Mittelpunktes insgesamt alle natürlichen Zahlen von bis . Die magische Summe beträgt dann .

Für den Spezialfall gilt die ursprüngliche Definition.

Degenerierte magische Polygone Bearbeiten

Sind verschachtelte n-seitige regelmäßige Polygone nicht konzentrisch um einen gemeinsamen Mittelpunkt angeordnet, besitzen aber stattdessen einen gemeinsamen Eckpunkt, so werden sie als degenerierte magische Polygone bezeichnet. Statt auf den gemeinsamen Diagonalen befindet sich die magische Summe auf den jeweiligen Verbindungsstrecken zwischen dem gemeinsamen Eckpunkt und den Eckpunkten des größten der regelmäßigen Polygone, die ebenfalls untereinander ähnlich sind.

Derartige Polygone werden mit D(n,k) bezeichnet.

Darüber hinaus ergibt sich auch in diesem Fall auf jeder Seite der Polygone die magische Summe, die bei den degenerierten magischen Polygonen beträgt.

Beispiele Bearbeiten

Das dreireihige Lo-Shu-Quadrat, eines der wohl bekanntesten Magischen Quadrate ist ein magisches Polygon. Wegen ist sein Mittelpunkt , und seine magische Summe beträgt , die sich auch durch Einsetzen von und in ergibt.

Die nachfolgenden sechs Beispiele zeigen weitere magische Polygone vom Typ , bzw. .

Weiterführende Themen Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Magic polygons – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Perimeter Magic Triangles aus recmath.org

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Victoria Jakicic, Rachelle Bouchat: Magic Polygons and Their Properties. arxiv:1801.02262 [math.CO], Seite 1.
  2. Victoria Jakicic, Rachelle Bouchat: Magic Polygons and Their Properties. arxiv:1801.02262 [math.CO], Seiten 2 und 3.
  3. Danniel Dias Augusto, Josimar da Silva Rocha: Magic Polygons and Degenerated Magic Polygons: Characterization and Properties arxiv:1906.11342 [math.CO], Seite 1 ff.
  4. Danniel Dias Augusto, Josimar da Silva Rocha: Magic Polygons and Degenerated Magic Polygons: Characterization and Properties. arxiv:1906.11342 [math.CO], Seite 13 ff.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein magisches Polygon ist ein regelmassiges n Eck n N displaystyle n in mathbb N dessen Ecken Seitenmitten und Mittelpunkt so mit den naturlichen Zahlen von 1 displaystyle 1 bis 2 n 1 displaystyle 2n 1 belegt sind dass die Summe der so belegten Zahlen auf jeder Seite und jeder Diagonalen gleich einer konstanten Zahl m displaystyle m ist die auch als magische Summe bezeichnet wird 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundeigenschaften magischer Polygone 2 Verallgemeinerte Definition 3 Degenerierte magische Polygone 4 Beispiele 5 Weiterfuhrende Themen 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseGrundeigenschaften magischer Polygone BearbeitenDie Zahl im Mittelpunkt des Polygons ist n 1 displaystyle n 1 nbsp Die magische Summe betragt 3 n 3 displaystyle 3n 3 nbsp 2 Verallgemeinerte Definition BearbeitenEine Verallgemeinerung magischer n seitiger regelmassiger Polygone beruht auf einer konzentrischen Verschachtelung von k 2 displaystyle frac k 2 nbsp n seitigen untereinander ahnlichen regelmassigen Polygonen mit gemeinsamem Mittelpunkt wobei k displaystyle k nbsp eine gerade naturliche Zahl ist Solche Polygone werden mit P n k bezeichnet Laut dieser Definition enthalten die Seiten aller verschachtelten Polygone einschliesslich ihres gemeinsamen Mittelpunktes insgesamt alle naturlichen Zahlen von 1 displaystyle 1 nbsp bis k 2 n 2 1 displaystyle frac k 2 n 2 1 nbsp Die magische Summe betragt dann k 1 k 2 n 4 4 displaystyle k 1 left frac k 2 n 4 4 right nbsp 3 Fur den Spezialfall k 2 displaystyle k 2 nbsp gilt die ursprungliche Definition Degenerierte magische Polygone BearbeitenSind k displaystyle k nbsp verschachtelte n seitige regelmassige Polygone nicht konzentrisch um einen gemeinsamen Mittelpunkt angeordnet besitzen aber stattdessen einen gemeinsamen Eckpunkt so werden sie als degenerierte magische Polygone bezeichnet Statt auf den gemeinsamen Diagonalen befindet sich die magische Summe auf den jeweiligen Verbindungsstrecken zwischen dem gemeinsamen Eckpunkt und den Eckpunkten des grossten der regelmassigen Polygone die ebenfalls untereinander ahnlich sind Derartige Polygone werden mit D n k bezeichnet Daruber hinaus ergibt sich auch in diesem Fall auf jeder Seite der Polygone die magische Summe die bei den degenerierten magischen Polygonen k 1 k 2 n 2 k 2 2 displaystyle k 1 left frac k 2 n 2 k 2 2 right nbsp betragt 4 Beispiele BearbeitenDas dreireihige Lo Shu Quadrat eines der wohl bekanntesten Magischen Quadrate ist ein magisches Polygon Wegen n 4 displaystyle n 4 nbsp ist sein Mittelpunkt n 1 4 1 5 displaystyle n 1 4 1 5 nbsp und seine magische Summe betragt 3 4 3 15 displaystyle 3 cdot 4 3 15 nbsp die sich auch durch Einsetzen von k 2 displaystyle k 2 nbsp und n 4 displaystyle n 4 nbsp in k 1 k 2 n 4 4 displaystyle k 1 left frac k 2 n 4 4 right nbsp ergibt Die nachfolgenden sechs Beispiele zeigen weitere magische Polygone vom Typ P n k displaystyle P n k nbsp bzw D n k displaystyle D n k nbsp nbsp P 4 2 Magische Summe 15 nbsp P 4 4 Magische Summe 85 verallgemeinerte Definition nbsp P 6 2 Magische Summe 21 nbsp P 8 2 Magische Summe 27 nbsp D 3 2 Magische Summe 12 gemeinsamer Eckpunkt 4 nbsp D 5 2 Magische Summe 24 gemeinsamer Eckpunkt 8 nbsp D 5 3 Magische Summe 64 gemeinsamer Eckpunkt 16 Weiterfuhrende Themen BearbeitenMagisches Quadrat Magischer Stern sternformige Anordnung naturlicher Zahlen mit magischer Summe Magischer Wurfel dreidimensionale Erweiterung magischer Quadrate Magisches Sechseck Anordnung von Zahlen in Wabenform Vollkommen perfektes magisches Quadrat magische Quadrate mit zusatzlichen Eigenschaften der Unterquadrate Magisches Klangquadrat Magischer GraphLiteratur BearbeitenHermann Schubert Mathematische Mussestunden dreizehnte Auflage Verlag Walter de Gruyter amp Co Berlin 1967 Seiten 166 und 167Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Magic polygons Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Perimeter Magic Triangles aus recmath orgEinzelnachweise Bearbeiten Victoria Jakicic Rachelle Bouchat Magic Polygons and Their Properties arxiv 1801 02262 math CO Seite 1 Victoria Jakicic Rachelle Bouchat Magic Polygons and Their Properties arxiv 1801 02262 math CO Seiten 2 und 3 Danniel Dias Augusto Josimar da Silva Rocha Magic Polygons and Degenerated Magic Polygons Characterization and Properties arxiv 1906 11342 math CO Seite 1 ff Danniel Dias Augusto Josimar da Silva Rocha Magic Polygons and Degenerated Magic Polygons Characterization and Properties arxiv 1906 11342 math CO Seite 13 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Magisches Polygon amp oldid 233622865