Magisches Sechseck Dieser Artikel beschreibt das mathematische Konstrukt magisches Sechseck Zu dem gleichnamigen volkswi

Magisches Sechseck

Ein magisches Sechseck ist eine sechseckige Anordnung von Zahlen, bei der die Summen aller Reihen in den drei Richtungen jeweils den gleichen Wert ergeben. Insbesondere geht es darum, analog zum magischen Quadrat die ganzen Zahlen, beginnend ab 1, so in dem Sechseck anzuordnen, dass die Summen aller Reihen gleich sind. Abgesehen vom trivialen Fall , in dem das Sechseck nur aus einer Zahl besteht, ist dies nur bei der Seitenlänge möglich.

Magisches Sechseck

Aufgabenstellung Bearbeiten

Ein Sechseck mit der Seitenlänge enthält Zahlen und je Richtung Reihen. Die identische Summe jeder Reihe wird magische Zahl genannt. Für die unbekannten Zahlen des Sechsecks und die magische Zahl kann damit ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden. Lässt man beliebige ganze Zahlen als Lösung zu, ist das Gleichungssystem immer lösbar, aber nicht eindeutig.

Als Einschränkung wird gefordert, dass die Lösungszahlen aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind. Insbesondere wird eine Lösung mit den natürlichen Zahlen ab 1 gesucht. Lösungen, die durch Drehungen und Spiegelungen des Sechsecks ineinander überführt werden können, werden dabei als eine Lösung gezählt.

Lösung mit den natürlichen Zahlen ab 1 Bearbeiten

Eine Lösung, bei der die ganzen Zahlen von 1 bis in dem Sechseck angeordnet werden, existiert nur für den trivialen Fall und für . Im zweiten Fall hat das Sechseck Felder und die Summe der Zahlen in jeder Reihe ist . Hierfür gibt es genau eine Lösung, die seit Ende des 19. Jahrhunderts mehrfach gefunden wurde.

Um herzuleiten, für welche Lösungen existieren, wird zunächst die Summe aller Zahlen des Sechsecks, d. h. der Zahlen von 1 bis , berechnet. Mit erhält man:

Die Summe der Zahlen in einer Reihe ergibt sich, indem man diese Gesamtsumme durch die Anzahl der Reihen teilt:

Wird diese Gleichung mit 32 multipliziert:

steht links eine ganze Zahl. Damit auch die rechte Seite ganzzahlig ist, muss ganzzahlig sein. Dies ist nur für nur bei oder möglich.

Lösung mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen Bearbeiten

Lässt man beliebige aufeinanderfolgende ganze Lösungszahlen zu, gibt es für generell weitere Lösungen. Für die Summe muss man den Zahlenbereich von bis verwenden. Für andere Summen ergeben sich mit der Abweichung die folgenden Zahlenbereiche:

kleinste Zahl:
größte Zahl:
Summe:

Eine Formel, die für jedes das größte und kleinste abgibt, für das eine Lösung existiert, ist bisher nicht bekannt.

Im Fall gibt es keine Lösung.

Die in obigem Bild dargestellte Lösung für entspricht dem Wert . Außerdem gibt es bei für diese Zahlenbereiche Lösungen:

001 bis 19 mit der Summe 038: 01 Lösung
0−4 bis 14 mit der Summe 019: 36 Lösungen
0−9 bis 09 mit der Summe 000: 26 Lösungen; davon lassen sich 14 Lösungen durch komplette Vorzeichenänderung ineinander überführen; bei den restlichen 12 entspricht eine komplette Vorzeichenänderung einer Drehung um 180 Grad. Daraus ergeben sich 12+7*2(=26) Lösungen.
−14 bis 04 mit der Summe −19: 36 Lösungen (alle Vorzeichen gegenüber Lösung mit Summe 19 geändert)
−19 bis −1 mit der Summe −38: 01 Lösung (alle Vorzeichen gegenüber Lösung mit Summe 38 geändert)

Siehe auch Bearbeiten

Magisches Quadrat

Weblinks Bearbeiten

Commons: Magische Sechsecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 18:34 pm

Dieser Artikel beschreibt das mathematische Konstrukt magisches Sechseck Zu dem gleichnamigen volkswirtschaftlichen System siehe Magisches Viereck Ein magisches Sechseck ist eine sechseckige Anordnung von Zahlen bei der die Summen aller Reihen in den drei Richtungen jeweils den gleichen Wert ergeben Insbesondere geht es darum analog zum magischen Quadrat die ganzen Zahlen beginnend ab 1 so in dem Sechseck anzuordnen dass die Summen aller Reihen gleich sind Abgesehen vom trivialen Fall n 1 displaystyle n 1 in dem das Sechseck nur aus einer Zahl besteht ist dies nur bei der Seitenlange n 3 displaystyle n 3 moglich Magisches Sechseck Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 2 Losung mit den naturlichen Zahlen ab 1 3 Losung mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen 4 Siehe auch 5 WeblinksAufgabenstellung BearbeitenEin Sechseck mit der Seitenlange n displaystyle n nbsp enthalt H 3 n 2 3 n 1 displaystyle H 3n 2 3n 1 nbsp Zahlen und je Richtung r 2 n 1 displaystyle r 2n 1 nbsp Reihen Die identische Summe jeder Reihe wird magische Zahl M displaystyle M nbsp genannt Fur die unbekannten Zahlen des Sechsecks und die magische Zahl kann damit ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden Lasst man beliebige ganze Zahlen als Losung zu ist das Gleichungssystem immer losbar aber nicht eindeutig Als Einschrankung wird gefordert dass die Losungszahlen aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind Insbesondere wird eine Losung mit den naturlichen Zahlen ab 1 gesucht Losungen die durch Drehungen und Spiegelungen des Sechsecks ineinander uberfuhrt werden konnen werden dabei als eine Losung gezahlt Losung mit den naturlichen Zahlen ab 1 BearbeitenEine Losung bei der die ganzen Zahlen von 1 bis 3 n 2 3 n 1 displaystyle 3n 2 3n 1 nbsp in dem Sechseck angeordnet werden existiert nur fur den trivialen Fall n 1 displaystyle n 1 nbsp und fur n 3 displaystyle n 3 nbsp Im zweiten Fall hat das Sechseck H 19 displaystyle H 19 nbsp Felder und die Summe der Zahlen in jeder Reihe ist M 38 displaystyle M 38 nbsp Hierfur gibt es genau eine Losung die seit Ende des 19 Jahrhunderts mehrfach gefunden wurde Um herzuleiten fur welche n displaystyle n nbsp Losungen existieren wird zunachst die Summe S displaystyle S nbsp aller Zahlen des Sechsecks d h der Zahlen von 1 bis H displaystyle H nbsp berechnet Mit H 3 n 2 3 n 1 1 4 3 r 2 1 displaystyle H 3n 2 3n 1 tfrac 1 4 3r 2 1 nbsp erhalt man S 1 2 H H 1 1 32 9 r 4 18 r 2 5 displaystyle S frac 1 2 H H 1 frac 1 32 9r 4 18r 2 5 nbsp Die Summe der Zahlen in einer Reihe ergibt sich indem man diese Gesamtsumme durch die Anzahl der Reihen teilt M S r 1 32 9 r 3 18 r 5 r displaystyle M S r frac 1 32 9r 3 18r 5 r nbsp Wird diese Gleichung mit 32 multipliziert 32 M 9 r 3 18 r 5 r displaystyle 32M 9r 3 18r 5 r nbsp steht links eine ganze Zahl Damit auch die rechte Seite ganzzahlig ist muss 5 r 5 2 n 1 displaystyle tfrac 5 r tfrac 5 2n 1 nbsp ganzzahlig sein Dies ist nur fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp nur bei n 1 displaystyle n 1 nbsp oder n 3 displaystyle n 3 nbsp moglich Losung mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen Bearbeiten nbsp Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Lasst man beliebige aufeinanderfolgende ganze Losungszahlen zu gibt es fur n 3 displaystyle n geq 3 nbsp generell weitere Losungen Fur die Summe M 0 displaystyle M 0 nbsp muss man den Zahlenbereich von 3 n 2 3 n 2 displaystyle 3n 2 3n 2 nbsp bis 3 n 2 3 n 2 displaystyle 3n 2 3n 2 nbsp verwenden Fur andere Summen ergeben sich mit der Abweichung i displaystyle i nbsp die folgenden Zahlenbereiche kleinste Zahl i 2 n 1 3 n 2 3 n 2 i r H 1 2 displaystyle i 2n 1 3n 2 3n 2 ir H 1 2 nbsp grosste Zahl i 2 n 1 3 n 2 3 n 2 i r H 1 2 displaystyle i 2n 1 3n 2 3n 2 ir H 1 2 nbsp Summe i 3 n 2 3 n 1 i H displaystyle i 3n 2 3n 1 iH nbsp Eine Formel die fur jedes n displaystyle n nbsp das grosste und kleinste i displaystyle i nbsp abgibt fur das eine Losung existiert ist bisher nicht bekannt Im Fall n 2 displaystyle n 2 nbsp gibt es keine Losung Die in obigem Bild dargestellte Losung fur n 3 displaystyle n 3 nbsp entspricht dem Wert i 2 displaystyle i 2 nbsp Ausserdem gibt es bei n 3 displaystyle n 3 nbsp fur diese Zahlenbereiche Losungen 0 0 1 bis 19 mit der Summe 0 38 0 1 Losung 0 4 bis 14 mit der Summe 0 19 36 Losungen 0 9 bis 0 9 mit der Summe 0 0 0 26 Losungen davon lassen sich 14 Losungen durch komplette Vorzeichenanderung ineinander uberfuhren bei den restlichen 12 entspricht eine komplette Vorzeichenanderung einer Drehung um 180 Grad Daraus ergeben sich 12 7 2 26 Losungen 14 bis 0 4 mit der Summe 19 36 Losungen alle Vorzeichen gegenuber Losung mit Summe 19 geandert 19 bis 1 mit der Summe 38 0 1 Losung alle Vorzeichen gegenuber Losung mit Summe 38 geandert Siehe auch BearbeitenMagisches QuadratWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Magische Sechsecke Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien math uni bielefeld de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Magisches Sechseck amp oldid 218098525