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Mach Zehnder Interferometer Das ist eine Weiterentwicklung des Jamin Interferometers Es wurde 1891 1892 unabhängig vonei

Mach-Zehnder-Interferometer

Das Mach-Zehnder-Interferometer ist eine Weiterentwicklung des Jamin-Interferometers. Es wurde 1891/1892 unabhängig voneinander vom Österreicher Ludwig Mach (Sohn von Ernst Mach) und seinem Schweizer Kollegen Ludwig Zehnder entwickelt.

Skizze eines Mach-Zehnder-Interferometers:Licht der Intensität tritt in Port 1 in das Interferometer ein. Die Intensität in den beiden Output-Ports 3 und 4 hängt von der Phasendifferenz ab. Im Port 4 kommt ein Anteil der Inputintensität an und im Port 3 ein Anteil .

Funktionsweise Bearbeiten

Einfallendes Licht wird durch einen 50:50-Strahlteiler in zwei verschiedene Lichtstrahlen derselben Intensität und fester relativer Phase aufgeteilt und an einem zweiten Strahlteiler wieder überlagert. Da das Licht vom Eingang aus, jeden der beiden Ausgänge auf zwei verschiedenen Wegen erreichen kann, kommt es zur Interferenz zwischen den Lichtstrahlen, welche den „oberen“ bzw. den „unteren“ Weg genommen haben, wodurch die Intensität in beiden Ausgängen von der optischen Weglängendifferenz zwischen den beiden Wegen abhängt.

Ist die optische Weglänge für beide Wege gleich () dann ist die Intensität im Ausgang 4 (nach oben) maximal (konstruktive Interferenz) und im Ausgang 3 (nach rechts) null (destruktive Interferenz). Dies ergibt sich aus den Reflexions- und Transmissionsprozessen an den beiden Strahlteilern. Auf dem Weg von 1 nach 4 kommt es entweder zu zwei Reflexionen, die jeweils einen Phasensprung von 180º bewirken, (oberer Weg) oder zu zwei Transmissionen (keine Phasensprünge), sodass die Phasendifferenz insgesamt 360º beträgt und die beiden Wege im Ausgang 4 konstruktiv interferieren. Dagegen ergibt sich für die beiden Wege von 1 nach 3 eine Phasendifferenz von 180º zwischen oberen und unterem Weg (und damit destruktive Interferenz), da es zwar auf jedem der beiden Wege zu einer Reflexion kommt, aber nur auf dem oberen Weg eine Reflexion am optisch dichteren Medium stattfindet, während am zweiten Strahlteiler an der Grenze zum optisch dünneren Medium reflektiert wird, was keinen Phasensprung zur Folge hat.

Wird jetzt die optische Weglängendifferenz verändert, dann lässt sich die entstehende Phasendifferenz aus den Intensitäten in den beiden Ausgängen bestimmen. Dabei gilt der Zusammenhang:

Die Ursache der geänderten Weglängendifferenz kann eine Bewegung der Spiegel relativ zum Strahlteiler oder ein sich ändernder Brechungsindex in einen der Wege sein.

Quantenmechanische Beschreibung Bearbeiten

Im Formalismus der zweiten Quantisierung wird das Input-Feld durch einen bosonischen Operator beschrieben. Um die Erhaltung der Vertauschungsrelationen der bosonischen Kletteroperatoren (und die Unitarität der Zeitentwicklung) zu gewährleisten, muss nun auch das Feld im zweiten Eingang des Interferometers (von unten) betrachtet werden, selbst wenn dort kein Licht ins Interferometer eintritt (d. h., dort der Vakuumzustand des Feldes anliegt). Der Durchgang durch das Interferometer kann vereinfacht als eine Folge von drei Schritten (Streuprozessen) betrachtet werden: Im ersten Schritt wird das Input-Feld am ersten Strahlteiler gestreut und dadurch die Felder an den beiden Ausgängen das Strahlteilers, die als bezeichnet werden, da sie zum oberen und unteren Weg durch das Interferometer gehören, in Überlagerungen der Input-Felder transformiert. Und zwar gilt:

wobei das Minuszeichen der Phasendifferenz zwischen Reflexion und Transmission Rechnung trägt. Im zweiten Schritt propagieren die Felder und frei, wobei sie Phasen aufsammeln, die von der jeweiligen optischen Weglänge der beiden Wege bestimmt werden.

Im Folgenden ist nur die Phasendifferenz wichtig, und wir setzen . Im dritten Schritt transformiert der zweite Strahlteiler die Felder in die zwei Output-Felder gemäß:

Wenn man jetzt die drei Transformationen hintereinander anwendet findet man:

und die gemittelte Intensität ergibt sich folglich als

da .

Anwendungen Bearbeiten

Ein Mach-Zehnder-Interferometer kann sowohl zur Modulation von Licht durch gezielte Phasenmodulation in einem Arm des Interferometers als auch zur Messung von Phasenverschiebungen eingesetzt werden.

In der photonischen Nachrichtentechnik werden integrierte Mach-Zehnder-Interferometer zum wellenlängenabhängigen Demultiplexing eingesetzt.

In der Quantenoptik und Quanteninformatik findet das Mach-Zehnder-Interferometer in vielen Experimenten (und Gedankenexperimenten) Anwendung, so zum Beispiel in Delayed-Choice- und Quantenradierer-Experimenten, bei der Implementierung von Bell-Mesungen und Quantengattern oder im Elitzur-Vaidman Bombentest.

Literatur Bearbeiten

  • Ludwig Zehnder: Ein neuer Interferenzrefraktor. In: Zeitschrift für Instrumentenkunde. Nr. 11, 1891, S. 275–285.
  • Ludwig Mach: Über einen Interferenzrefraktor. In: Zeitschrift für Instrumentenkunde. Nr. 12, 1892, S. 89–93.
  • K. P. Zetie, S. F. Adams, R. M. Tocknell: How does a Mach-Zehnder interferometer work? In: Physics Education. Band 35, Nr. 1, 2000, S. 46, doi:10.1088/0031-9120/35/1/308 (princeton.edu [PDF; abgerufen am 9. September 2023]).

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Mach-Zehnder-Interferometer – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. K. P. Zetie, S. F. Adams, R. M. Tocknell: How does a Mach-Zehnder interferometer work? In: Physics Education. Band 35, Nr. 1, 2000, S. 46, doi:10.1088/0031-9120/35/1/308 (princeton.edu [PDF; abgerufen am 9. September 2023]).
  2. Siehe z. B. D. F. Walls, G. J. Milburn: Quantum Optics. 2. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-28573-1, S. 171f.
  3. Welche der beiden Eingangsmoden bei Reflexion einem Phasensprung unterliegt, hängt vom genauen Design des Strahlteilers ab, vgl. Zetie et al. Im Allgemeinen können 50:50 Strahlteiler gebaut werden, die die Input-Felder gemäß und transformieren, solange gilt, dass . Wir wählen im Folgenden , so dass der Input von links mit Phasensprung reflektiert wird und der von unten ohne.
  4. Saleh, Teich: Grundlagen der Photonik. 2. überarbeitete Auflage, 2008
  5. Carsten Schuck, Gerhard Huber, Christian Kurtsiefer, Harald Weinfurter: Complete Deterministic Linear Optics Bell State Analysis. In: Phys. Rev. Lett. Band 96, 2006, S. 190501, doi:10.1103/PhysRevLett.96.190501 (uni-muenchen.de [PDF]).
  6. Pieter Kok, W. J. Munro, Kae Nemoto, T. C. Ralph, Jonathan P. Dowling, G. J. Milburn: Linear optical quantum computing with photonic qubits. In: Rev. Mod. Phys. Band 79, 2007, S. 135, doi:10.1103/RevModPhys.79.135, arxiv:quant-ph/0512071.
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Das Mach Zehnder Interferometer ist eine Weiterentwicklung des Jamin Interferometers Es wurde 1891 1892 unabhangig voneinander vom Osterreicher Ludwig Mach Sohn von Ernst Mach und seinem Schweizer Kollegen Ludwig Zehnder entwickelt Skizze eines Mach Zehnder Interferometers Licht der Intensitat I 1 displaystyle I 1 tritt in Port 1 in das Interferometer ein Die Intensitat in den beiden Output Ports 3 und 4 hangt von der Phasendifferenz D F displaystyle Delta Phi ab Im Port 4 kommt ein Anteil cos 2 D F 2 displaystyle cos 2 Delta Phi 2 der Inputintensitat an und im Port 3 ein Anteil sin 2 D F 2 displaystyle sin 2 Delta Phi 2 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionsweise 2 Quantenmechanische Beschreibung 3 Anwendungen 4 Literatur 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseFunktionsweise BearbeitenEinfallendes Licht wird durch einen 50 50 Strahlteiler in zwei verschiedene Lichtstrahlen derselben Intensitat und fester relativer Phase aufgeteilt und an einem zweiten Strahlteiler wieder uberlagert Da das Licht vom Eingang aus jeden der beiden Ausgange auf zwei verschiedenen Wegen erreichen kann kommt es zur Interferenz zwischen den Lichtstrahlen welche den oberen bzw den unteren Weg genommen haben wodurch die Intensitat in beiden Ausgangen von der optischen Weglangendifferenz zwischen den beiden Wegen abhangt Ist die optische Weglange fur beide Wege gleich D F 0 displaystyle Delta Phi 0 nbsp dann ist die Intensitat im Ausgang 4 nach oben maximal konstruktive Interferenz und im Ausgang 3 nach rechts null destruktive Interferenz Dies ergibt sich aus den Reflexions und Transmissionsprozessen an den beiden Strahlteilern Auf dem Weg von 1 nach 4 kommt es entweder zu zwei Reflexionen die jeweils einen Phasensprung von 180º bewirken oberer Weg oder zu zwei Transmissionen keine Phasensprunge sodass die Phasendifferenz insgesamt 360º betragt und die beiden Wege im Ausgang 4 konstruktiv interferieren Dagegen ergibt sich fur die beiden Wege von 1 nach 3 eine Phasendifferenz von 180º zwischen oberen und unterem Weg und damit destruktive Interferenz da es zwar auf jedem der beiden Wege zu einer Reflexion kommt aber nur auf dem oberen Weg eine Reflexion am optisch dichteren Medium stattfindet wahrend am zweiten Strahlteiler an der Grenze zum optisch dunneren Medium reflektiert wird was keinen Phasensprung zur Folge hat 1 Wird jetzt die optische Weglangendifferenz verandert dann lasst sich die entstehende Phasendifferenz D F displaystyle Delta Phi nbsp aus den Intensitaten I 3 I 4 displaystyle I 3 I 4 nbsp in den beiden Ausgangen bestimmen Dabei gilt der Zusammenhang I 4 I 3 I 4 I 3 cos D F displaystyle frac I 4 I 3 I 4 I 3 cos Delta Phi nbsp Die Ursache der geanderten Weglangendifferenz kann eine Bewegung der Spiegel relativ zum Strahlteiler oder ein sich andernder Brechungsindex n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp in einen der Wege sein Quantenmechanische Beschreibung BearbeitenIm Formalismus der zweiten Quantisierung wird das Input Feld durch einen bosonischen Operator a in displaystyle a text in nbsp beschrieben 2 Um die Erhaltung der Vertauschungsrelationen der bosonischen Kletteroperatoren und die Unitaritat der Zeitentwicklung zu gewahrleisten muss nun auch das Feld a i n 2 displaystyle a mathrm in 2 nbsp im zweiten Eingang des Interferometers von unten betrachtet werden selbst wenn dort kein Licht ins Interferometer eintritt d h dort der Vakuumzustand des Feldes anliegt Der Durchgang durch das Interferometer kann vereinfacht als eine Folge von drei Schritten Streuprozessen betrachtet werden Im ersten Schritt wird das Input Feld am ersten Strahlteiler gestreut und dadurch die Felder an den beiden Ausgangen das Strahlteilers die als a o a u displaystyle a o a u nbsp bezeichnet werden da sie zum oberen und unteren Weg durch das Interferometer gehoren in Uberlagerungen der Input Felder transformiert Und zwar gilt a o 1 2 a i n 2 a i n 1 displaystyle a o frac 1 sqrt 2 a mathrm in 2 a mathrm in 1 nbsp a u 1 2 a i n 2 a i n 1 displaystyle a u frac 1 sqrt 2 a mathrm in 2 a mathrm in 1 nbsp wobei das Minuszeichen der Phasendifferenz zwischen Reflexion und Transmission Rechnung tragt 3 Im zweiten Schritt propagieren die Felder a u displaystyle a u nbsp und a o displaystyle a o nbsp frei wobei sie Phasen F u F o displaystyle Phi u Phi o nbsp aufsammeln die von der jeweiligen optischen Weglange der beiden Wege bestimmt werden a u e i F u a u a o e i F o a o displaystyle a u mapsto e i Phi u a u a o mapsto e i Phi o a o nbsp Im Folgenden ist nur die Phasendifferenz D F F o F u displaystyle Delta Phi Phi o Phi u nbsp wichtig und wir setzen F u 0 displaystyle Phi u 0 nbsp Im dritten Schritt transformiert der zweite Strahlteiler die Felder a u a o displaystyle a u a o nbsp in die zwei Output Felder a o u t 3 a o u t 4 displaystyle a mathrm out 3 a mathrm out 4 nbsp gemass a o u t 3 1 2 a u a o displaystyle a mathrm out 3 frac 1 sqrt 2 a u a o nbsp und a o u t 4 1 2 a u a o displaystyle a mathrm out 4 frac 1 sqrt 2 a u a o nbsp Wenn man jetzt die drei Transformationen hintereinander anwendet findet man a o u t 3 1 2 a i n 2 a i n 1 e i D F a i n 2 a i n 1 e i D F 2 i sin D F 2 a i n 1 cos D F 2 a i n 2 displaystyle a mathrm out 3 frac 1 2 left a mathrm in 2 a mathrm in 1 e i Delta Phi a mathrm in 2 a mathrm in 1 right e i Delta Phi 2 left i sin Delta Phi 2 a mathrm in 1 cos Delta Phi 2 a mathrm in 2 right nbsp a o u t 4 1 2 a i n 2 a i n 1 e i D F a i n 2 a i n 1 e i D F 2 cos D F 2 a i n 1 i sin D F 2 a i n 2 displaystyle a mathrm out 4 frac 1 2 left a mathrm in 2 a mathrm in 1 e i Delta Phi a mathrm in 2 a mathrm in 1 right e i Delta Phi 2 left cos Delta Phi 2 a mathrm in 1 i sin Delta Phi 2 a mathrm in 2 right nbsp und die gemittelte Intensitat ergibt sich folglich als I 3 a o u t 3 a o u t 3 sin 2 D F 2 a i n 1 a i n 1 displaystyle I 3 propto langle a mathrm out 3 dagger a mathrm out 3 rangle propto sin 2 Delta Phi 2 langle a mathrm in 1 dagger a mathrm in 1 rangle nbsp I 4 a o u t 4 a o u t 4 cos 2 D F 2 a i n 1 a i n 1 displaystyle I 4 propto langle a mathrm out 4 dagger a mathrm out 4 rangle propto cos 2 Delta Phi 2 langle a mathrm in 1 dagger a mathrm in 1 rangle nbsp da a i n 1 a i n 1 0 displaystyle langle a mathrm in 1 dagger a mathrm in 1 rangle 0 nbsp Anwendungen BearbeitenEin Mach Zehnder Interferometer kann sowohl zur Modulation von Licht durch gezielte Phasenmodulation in einem Arm des Interferometers als auch zur Messung von Phasenverschiebungen eingesetzt werden In der photonischen Nachrichtentechnik werden integrierte Mach Zehnder Interferometer zum wellenlangenabhangigen Demultiplexing eingesetzt 4 In der Quantenoptik und Quanteninformatik findet das Mach Zehnder Interferometer in vielen Experimenten und Gedankenexperimenten Anwendung so zum Beispiel in Delayed Choice und Quantenradierer Experimenten bei der Implementierung von Bell Mesungen 5 und Quantengattern 6 oder im Elitzur Vaidman Bombentest Literatur BearbeitenLudwig Zehnder Ein neuer Interferenzrefraktor In Zeitschrift fur Instrumentenkunde Nr 11 1891 S 275 285 Ludwig Mach Uber einen Interferenzrefraktor In Zeitschrift fur Instrumentenkunde Nr 12 1892 S 89 93 K P Zetie S F Adams R M Tocknell How does a Mach Zehnder interferometer work In Physics Education Band 35 Nr 1 2000 S 46 doi 10 1088 0031 9120 35 1 308 princeton edu PDF abgerufen am 9 September 2023 Siehe auch BearbeitenInterferometer Wechselwirkungsfreie Quantenmessung Mach Zehnder ModulatorWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Mach Zehnder Interferometer Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Mach Zehnder Interferometer englisch Einzelnachweise Bearbeiten K P Zetie S F Adams R M Tocknell How does a Mach Zehnder interferometer work In Physics Education Band 35 Nr 1 2000 S 46 doi 10 1088 0031 9120 35 1 308 princeton edu PDF abgerufen am 9 September 2023 Siehe z B D F Walls G J Milburn Quantum Optics 2 Auflage Springer 2008 ISBN 978 3 540 28573 1 S 171f Welche der beiden Eingangsmoden bei Reflexion einem Phasensprung unterliegt hangt vom genauen Design des Strahlteilers ab vgl Zetie et al Im Allgemeinen konnen 50 50 Strahlteiler gebaut werden die die Input Felder gemass a o e i ϕ 1 a i n 1 e i ϕ 2 a i n 2 2 displaystyle a o e i phi 1 a mathrm in 1 e i phi 2 a mathrm in 2 sqrt 2 nbsp und a u e i ϕ 3 a i n 1 e i ϕ 4 a i n 2 2 displaystyle a u e i phi 3 a mathrm in 1 e i phi 4 a mathrm in 2 sqrt 2 nbsp transformieren solange gilt dass ϕ 4 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 1 p displaystyle phi 4 phi 2 phi 3 phi 1 pi nbsp Wir wahlen im Folgenden ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 0 displaystyle phi 1 phi 2 phi 3 0 nbsp so dass der Input von links mit Phasensprung reflektiert wird und der von unten ohne Saleh Teich Grundlagen der Photonik 2 uberarbeitete Auflage 2008 Carsten Schuck Gerhard Huber Christian Kurtsiefer Harald Weinfurter Complete Deterministic Linear Optics Bell State Analysis In Phys Rev Lett Band 96 2006 S 190501 doi 10 1103 PhysRevLett 96 190501 uni muenchen de PDF Pieter Kok W J Munro Kae Nemoto T C Ralph Jonathan P Dowling G J Milburn Linear optical quantum computing with photonic qubits In Rev Mod Phys Band 79 2007 S 135 doi 10 1103 RevModPhys 79 135 arxiv quant ph 0512071 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mach Zehnder Interferometer amp oldid 238546173